Borelsovo lemma - Borels lemma - Wikipedia

v matematika, Borelovo lemma, pojmenoval podle Émile Borel, je důležitý výsledek používaný v teorii asymptotické expanze a parciální diferenciální rovnice.

Prohlášení

Předpokládat U je otevřená sada v Euklidovský prostor Rⁿa předpokládejme to F₀, F₁ ... je sekvence z hladký funkce na U.

Li Já je libovolný otevřený interval v R obsahující 0 (případně Já = R), pak existuje plynulá funkce F(t, X) definováno dne Já×U, takový, že

${ displaystyle displaystyle { left ({ frac { částečné ^ {k}} { částečné t ^ {k}}} F pravé) (0, x) = f_ {k} (x),}}$

pro k ≥ 0 a X v U.

Důkaz

Důkazy Borelova lemmatu lze najít v mnoha učebnicích o analýze, včetně Golubitsky & Guillemin (1974) a Hörmander (1990), ze kterého je převzat níže uvedený důkaz.

Všimněte si, že stačí prokázat výsledek pro malý interval Já = (−ε, ε), protože pokud ψ (t) je hladký bump funkce s kompaktní podporou v (−ε, ε) shodnou s 1 blízko 0, pak ψ (t) ⋅ F(t, X) dává řešení na R × U. Podobně pomocí hladké rozdělení jednoty na Rⁿ podřízen přikrytí otevřenými koulemi se středy v δ⋅Zⁿ, lze předpokládat, že všechny F_m mít kompaktní podporu v nějaké pevné uzavřené kouli C. Pro každého m, nechť

${ displaystyle displaystyle {F_ {m} (t, x) = {t ^ {m} přes m!} cdot psi vlevo ({t přes varepsilon _ {m}} vpravo) cdot f_ {m} (x),}}$

kde ε_m je zvolena dostatečně malá na to

${ displaystyle displaystyle { | částečné ^ { alfa} F_ {m} | _ { infty} leq 2 ^ {- m}}}$

pro | α | < m. Z těchto odhadů vyplývá, že každá částka

${ displaystyle displaystyle { součet _ {m geq 0} částečné ^ { alpha} F_ {m}}}$

je rovnoměrně konvergentní, a proto

${ displaystyle displaystyle {F = součet _ {m geq 0} F_ {m}}}$

je plynulá funkce s

${ displaystyle displaystyle { částečné ^ { alfa} F = součet _ {m geq 0} částečné ^ { alfa} F_ {m}.}}$

Podle konstrukce

${ displaystyle displaystyle { částečné _ {t} ^ {m} F (t, x) | _ {t = 0} = f_ {m} (x).}}$

Poznámka: Lze použít přesně stejnou konstrukci bez pomocného prostoru U, pro vytvoření plynulé funkce intervalu Já pro které derivace na 0 tvoří libovolnou sekvenci.

Viz také

• Neanalytické plynulé funkce.

Reference

• Erdélyi, A. (1956), Asymptotické expanze, Dover Publications, s. 22–25, ISBN  0486603180
• Golubitsky, M.; Guillemin, V. (1974), Stabilní zobrazení a jejich singularity, Postgraduální texty z matematiky, 14, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90072-1
• Hörmander, Larsi (1990), Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů, I. Teorie distribuce a Fourierova analýza (2. vyd.), Springer-Verlag, str. 16, ISBN  3-540-52343-X

Tento článek včlení materiál od Borel lemma na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.