Operátor řazení - Shift operator

v matematika, a zejména funkční analýza, operátor směny také známý jako překladatel je operátor, který přebírá funkci X ↦ F(X)k jeho překlad X ↦ F(X + A).^[1] v analýza časových řad, operátor směny se nazývá operátor zpoždění.

Příkladem jsou operátory řazení lineární operátory, důležité pro jejich jednoduchost a přirozený výskyt. V operaci hraje důležitou roli působení operátoru posunu na funkce reálné proměnné harmonická analýza, například se objevuje v definicích téměř periodické funkce, pozitivní určité funkce, a konvoluce.^[2] Posuny sekvencí (funkce celočíselné proměnné) se objevují v různých oblastech, jako např Odolné prostory, teorie abelianské odrůdy a teorie symbolická dynamika, pro které pekařská mapa je explicitní vyjádření.

Definice

Funkce reálné proměnné

Operátor směny T^t (t ∈ R) přebírá funkci F na R k jeho překladu F_t ,

${ displaystyle T ^ {t} f (x) = f_ {t} (x) = f (x + t) ~.}$

Praktické znázornění lineárního operátoru T^t ve smyslu prostého derivátu ^d⁄_dx byl představen Lagrange,

které lze operativně interpretovat prostřednictvím jeho formálního Taylorova expanze v t; a jehož působení na monomii Xⁿ je zřejmé z binomická věta, a tedy dál všechny série v X, a tak všechny funkce F(X) jak je uvedeno výše.^[3] Toto je tedy formální kódování Taylorovy expanze.

Provozovatel tak poskytuje prototyp^[4] protože Lie je oslavován advective flow pro abelianské skupiny,

${ displaystyle e ^ {t beta (x) { frac {d} {dx}}} f (x) = e ^ {t { frac {d} {dh}}} F (h) = F ( h + t) = f (h ^ {- 1} (h (x) + t)),}$

kde kanonické souřadnice h (Funkce Abel ) jsou definovány, s.t.

${ Displaystyle h '(x) equiv { frac {1} { beta (x)}} ~, qquad f (x) equiv F (h (x)).}$

Snadno z toho například vyplývá ${ displaystyle beta (x) = x}$ škálování výnosů,

${ displaystyle e ^ {tx { frac {d} {dx}}} f (x) = f (e ^ {t} x)}$,

proto ${ displaystyle e ^ {i pi x { frac {d} {dx}}} f (x) = f (-x)}$ (parita); rovněž, ${ displaystyle beta (x) = x ^ {2}}$ výnosy^[5]

${ displaystyle e ^ {tx ^ {2} { frac {d} {dx}}} f (x) = f left ({ frac {1-tx} {x}} right)}$,

${ displaystyle beta (x) = 1 / x}$ výnosy

${ displaystyle e ^ {{ frac {t} {x}} { frac {d} {dx}}} f (x) = f ({ sqrt {x ^ {2} + 2t}} ~)}$,

${ displaystyle beta (x) = e ^ {x}}$ výnosy

${ displaystyle exp left (te ^ {x} { frac {d} {dx}} right) f (x) = f left ( ln left ({ frac {1} { exp ( -x) -t}} vpravo) vpravo)}$,

atd.

Počáteční stav toku a vlastnost skupiny zcela určují celý Lieův tok a poskytují řešení translační funkční rovnice^[6]

${ displaystyle f_ {t} (f _ { tau} (x)) = f_ {t + tau} (x).}$

Sekvence

The levý Shift operátor jedná jednostranně nekonečná posloupnost čísel o

${ displaystyle S ^ {*} :( a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots) mapsto (a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, ldots)}$

a na dvoustranných nekonečných sekvencích

${ displaystyle T: (a_ {k}) _ {k = - infty} ^ { infty} mapsto (a_ {k + 1}) _ {k = - infty} ^ { infty}.}$

The pravý posun operátor jedná jednostranně nekonečná posloupnost čísel o

${ displaystyle S: (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots) mapsto (0, a_ {1}, a_ {2}, ldots)}$

a na dvoustranných nekonečných sekvencích

${ displaystyle T ^ {- 1} :( a_ {k}) _ {k = - infty} ^ { infty} mapsto (a_ {k-1}) _ {k = - infty} ^ { infty}.}$

Jsou voláni operátoři posunu doprava a doleva působící na oboustranné nekonečné sekvence bilaterální směny.

Abelianské skupiny

Obecně, jak je znázorněno výše, pokud F je funkce na abelianská skupina G, a h je prvek G, operátor směny T ^G mapy F na^[6][7]

${ displaystyle F_ {g} (h) = F (h + g).}$

Vlastnosti operátoru směny

Operátor posunu působící na funkce nebo sekvence se skutečnými nebo komplexními hodnotami je lineární operátor, který zachovává většinu standardu normy které se objevují ve funkční analýze. Proto je obvykle nepřetržitý operátor s normou jedna.

Akce na Hilbertových prostorech

Operátor řazení působící na oboustranné sekvence je a nečleněný operátor na ℓ₂(Z). Operátor posunu působící na funkce reálné proměnné je jednotkový operátor L₂(R).

V obou případech operátor posunu (vlevo) splňuje následující komutační vztah s Fourierovou transformací:

${ displaystyle { mathcal {F}} T ^ {t} = M ^ {t} { mathcal {F}},}$

kde M^t je operátor násobení podle exp (tj t X). Proto spektrum T^t je jednotkový kruh.

Jednostranný posun S jednající na ℓ₂(N) je správné izometrie s rozsah rovná se všem vektory které zmizí v první koordinovat. Operátor S je komprese z T⁻¹, V tom smyslu, že

${ displaystyle T ^ {- 1} y = Sx { text {pro každého}} x in ell ^ {2} ( mathbb {N}), ,}$

kde y je vektor v ℓ₂(Z) s y_i = X_i pro i ≥ 0 a y_i = 0 pro i < 0. Toto pozorování je jádrem konstrukce mnoha unitární dilatace izometrií.

Spektrum S je disk jednotky. Posun S je jedním příkladem a Operátor Fredholm; má Fredholmův index -1.

Zobecnění

Jean Delsarte představil pojem zobecněný operátor směny (také zvaný zobecněný operátor posunutí); dále jej vyvinul Boris Levitan.^[2][8][9]

Rodina operátorů {L^X}_X ∈ X působící na prostor Φ funkcí ze sady X na C se nazývá rodina zobecněných operátorů posunu, pokud platí následující vlastnosti:

1. Asociativita: nech (R^yF)(X) = (L^XF)(y). Pak L^XR^y = R^yL^X (není jasné proč, protože to vypadá spíše jako komutativita).
2. Tady existuje E v X takhle L^E je operátor identity.

V tomto případě sada X se nazývá a hyperskupina.

Viz také

• Aritmetický posun
• Logický posun
• Konečný rozdíl

Poznámky

Bibliografie

• Partington, Jonathan R. (15. března 2004). Lineární operátory a lineární systémy. Cambridge University Press. doi:10.1017 / cbo9780511616693. ISBN  978-0-521-83734-7.
• Marvin Rosenblum a James Rovnyak, Hardyho třídy a teorie operátorů, (1985) Oxford University Press.