The binomická aproximace je užitečné pro přibližně výpočet pravomoci součtu 1 a malého počtu X. Uvádí to

Platí, když
a
kde
a
možná nemovitý nebo komplexní čísla.
Výhodou této aproximace je to
se převede z exponenta na multiplikativní faktor. To může výrazně zjednodušit matematické výrazy (jako v příklad níže ) a je běžným nástrojem ve fyzice.[1]
Aproximaci lze prokázat několika způsoby a úzce souvisí s binomická věta. Podle Bernoulliho nerovnost, levá strana aproximace je kdykoli větší nebo rovna pravé straně
a
.
Odvození
Pomocí lineární aproximace
Funkce

je plynulá funkce pro X blízko 0. Tedy standardní lineární aproximace nástroje od počet platí: jeden má

a tak

Tím pádem

Podle Taylorova věta, chyba v této aproximaci se rovná
pro určitou hodnotu
která leží mezi 0 a X. Například pokud
a
, chyba je maximálně
. v malý o zápis, lze říci, že chyba je
, znamenající, že
.
Používání Taylor Series
Funkce

kde
a
mohou být skutečné nebo složité lze vyjádřit jako a Taylor Series o bodu nula.

Li
a
≪
, pak se pojmy v řadě postupně zmenšují a lze je zkrátit na
.
Tento výsledek z binomické aproximace lze vždy zlepšit zachováním dalších výrazů z Taylor Series výše. To je zvláště důležité, když
začíná přibližovat k jednomu, nebo při hodnocení složitějšího výrazu, kde se první dva výrazy v Taylorově řadě ruší (viz příklad ).
Někdy se to mylně tvrdí
≪
je dostatečná podmínka pro binomickou aproximaci. Jednoduchý protiklad je nechat
a
. V tomto případě
ale binomická aproximace se získá
. Pro malé
ale velký
, lepší aproximace je:

Příklady
Příklad zjednodušení
Zvažte následující výraz kde
a
jsou skutečné, ale
≫
.

Matematickou formu pro binomickou aproximaci lze získat rozložením velkého termínu
a připomínáme, že druhá odmocnina je stejná jako moc jedné poloviny.

Výraz je evidentně lineární
když
≫
což jinak není z původního výrazu zřejmé.
Příklad zachování kvadratického členu
Zvažte výraz:

kde
a
≪
. Pokud je zachován pouze lineární člen z binomické aproximace
pak se výraz neužitečně zjednoduší na nulu
.
I když je výraz malý, není přesně nula. Je možné extrahovat nenulové přibližné řešení zachováním kvadratického členu v Taylorově řadě, tj.
tak teď,

Tento výsledek je kvadratický v
což je důvod, proč se neobjevilo, když pouze lineární, pokud jde o
byly uchovány.
Reference
- ^ Například výpočet vícepólová expanze. Griffiths, D. (1999). Úvod do elektrodynamiky (Třetí vydání.). Pearson Education, Inc. str. 146–148.