Víceindexová notace je matematická notace který zjednodušuje vzorce používané v počet proměnných , parciální diferenciální rovnice a teorie distribuce zobecněním pojmu celé číslo index na objednané n-tice indexů.
Definice a základní vlastnosti An n -dimenzionální multi-index je n -n-tice
α = ( α 1 , α 2 , … , α n ) { displaystyle alpha = ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, alpha _ {n})} z nezáporná celá čísla (tj. prvek n -dimenzionální soubor z přirozená čísla , označeno N 0 n { displaystyle mathbb {N} _ {0} ^ {n}}
Pro multiindexy α , β ∈ N 0 n { displaystyle alpha, beta in mathbb {N} _ {0} ^ {n}} X = ( X 1 , X 2 , … , X n ) ∈ R n { displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) in mathbb {R} ^ {n}}
Součástí součet a rozdíl α ± β = ( α 1 ± β 1 , α 2 ± β 2 , … , α n ± β n ) { displaystyle alpha pm beta = ( alpha _ {1} pm beta _ {1}, , alpha _ {2} pm beta _ {2}, ldots, , alfa _ {n} pm beta _ {n})} Částečná objednávka α ≤ β ⇔ α i ≤ β i ∀ i ∈ { 1 , … , n } { displaystyle alpha leq beta quad Leftrightarrow quad alpha _ {i} leq beta _ {i} quad forall , i in {1, ldots, n }} Součet složek (absolutní hodnota) | α | = α 1 + α 2 + ⋯ + α n { displaystyle | alpha | = alpha _ {1} + alpha _ {2} + cdots + alpha _ {n}} Faktoriální α ! = α 1 ! ⋅ α 2 ! ⋯ α n ! { displaystyle alpha! = alpha _ {1}! cdot alpha _ {2}! cdots alpha _ {n}!} Binomický koeficient ( α β ) = ( α 1 β 1 ) ( α 2 β 2 ) ⋯ ( α n β n ) = α ! β ! ( α − β ) ! { displaystyle { binom { alpha} { beta}} = { binom { alpha _ {1}} { beta _ {1}}} { binom { alpha _ {2}} { beta _ {2}}} cdots { binom { alpha _ {n}} { beta _ {n}}} = { frac { alpha!} { Beta! ( Alpha - beta)!} }} Multinomiální koeficient ( k α ) = k ! α 1 ! α 2 ! ⋯ α n ! = k ! α ! { displaystyle { binom {k} { alpha}} = { frac {k!} { alpha _ {1}! alpha _ {2}! cdots alpha _ {n}!}} = { frac {k!} { alfa!}}} kde k := | α | ∈ N 0 { displaystyle k: = | alpha | in mathbb {N} _ {0}}
Napájení X α = X 1 α 1 X 2 α 2 … X n α n { displaystyle x ^ { alpha} = x_ {1} ^ { alpha _ {1}} x_ {2} ^ { alpha _ {2}} ldots x_ {n} ^ { alpha _ {n} }} Vyšší řád parciální derivace ∂ α = ∂ 1 α 1 ∂ 2 α 2 … ∂ n α n { displaystyle částečné ^ { alfa} = částečné _ {1} ^ { alfa _ {1}} částečné _ {2} ^ { alfa _ {2}} ldots částečné _ {n} ^ { alpha _ {n}}} kde ∂ i α i := ∂ α i / ∂ X i α i { displaystyle částečné _ {i} ^ { alfa _ {i}}: = částečné ^ { alfa _ {i}} / částečné x_ {i} ^ { alfa _ {i}}} 4-gradient ). Někdy notace D α = ∂ α { displaystyle D ^ { alpha} = částečné ^ { alpha}} [1]
Některé aplikace Notace s více indexy umožňuje rozšíření mnoha vzorců od elementárního počtu k odpovídajícímu případu s více proměnnými. Níže uvádíme několik příkladů. Ve všech následujících X , y , h ∈ C n { displaystyle x, y, h in mathbb {C} ^ {n}} R n { displaystyle mathbb {R} ^ {n}} α , ν ∈ N 0 n { displaystyle alpha, nu in mathbb {N} _ {0} ^ {n}} F , G , A α : C n → C { displaystyle f, g, a {{alfa} dvojtečka mathbb {C} ^ {n} do mathbb {C}} R n → R { displaystyle mathbb {R} ^ {n} do mathbb {R}}
Multinomiální věta ( ∑ i = 1 n X i ) k = ∑ | α | = k ( k α ) X α { displaystyle { biggl (} sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} { biggr)} ^ {k} = sum _ {| alpha | = k} { binom {k } { alpha}} , x ^ { alpha}} Věta o více binomiích ( X + y ) α = ∑ ν ≤ α ( α ν ) X ν y α − ν . { displaystyle (x + y) ^ { alpha} = součet _ { nu leq alpha} { binom { alpha} { nu}} , x ^ { nu} y ^ { alfa - nu}.} Všimněte si, že, protože X +y α (X 1 +y 1 )α 1 X n y n α n .
Leibnizův vzorec Pro plynulé funkce F a G
∂ α ( F G ) = ∑ ν ≤ α ( α ν ) ∂ ν F ∂ α − ν G . { displaystyle částečné ^ { alfa} (fg) = součet _ { nu leq alpha} { binom { alpha} { nu}} , částečné ^ { nu} f , částečné ^ { alfa - nu} g.} Taylor série Pro analytická funkce F v n proměnné, které má člověk
F ( X + h ) = ∑ α ∈ N 0 n ∂ α F ( X ) α ! h α . { displaystyle f (x + h) = součet _ { alpha in mathbb {N} _ {0} ^ {n}} ^ {} {{ frac { částečné ^ { alpha} f (x )} { alpha!}} h ^ { alpha}}.} Ve skutečnosti pro dostatečně hladkou funkci máme podobné Taylorova expanze
F ( X + h ) = ∑ | α | ≤ n ∂ α F ( X ) α ! h α + R n ( X , h ) , { displaystyle f (x + h) = součet _ {| alfa | leq n} {{ frac { částečné ^ { alpha} f (x)} { alfa!}} h ^ { alfa }} + R_ {n} (x, h),} kde poslední člen (zbytek) závisí na přesné verzi Taylorova vzorce. Například pro Cauchyho vzorec (s integrálním zbytkem) jeden dostane
R n ( X , h ) = ( n + 1 ) ∑ | α | = n + 1 h α α ! ∫ 0 1 ( 1 − t ) n ∂ α F ( X + t h ) d t . { displaystyle R_ {n} (x, h) = (n + 1) součet _ {| alfa | = n + 1} { frac {h ^ { alpha}} { alfa!}} int _ {0} ^ {1} (1-t) ^ {n} částečné ^ { alpha} f (x + th) , dt.} Obecné lineární operátor částečného diferenciálu Formální lineární N - operátor částečného diferenciálního řádu v pořadí n proměnné se zapisuje jako
P ( ∂ ) = ∑ | α | ≤ N A α ( X ) ∂ α . { displaystyle P ( částečné) = součet _ {| alfa | leq N} {} {a _ { alpha} (x) částečné ^ { alfa}}.} Integrace po částech Pro plynulé funkce s kompaktní podpora v ohraničené doméně Ω ⊂ R n { displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}
∫ Ω u ( ∂ α proti ) d X = ( − 1 ) | α | ∫ Ω ( ∂ α u ) proti d X . { displaystyle int _ { Omega} {} {u ( částečné ^ { alpha} v)} , dx = (- 1) ^ {| alfa |} int _ { Omega} ^ {} {( částečné ^ { alfa} u) v , dx}.} Tento vzorec se používá pro definici distribuce a slabé deriváty .
Ukázková věta Li α , β ∈ N 0 n { displaystyle alpha, beta in mathbb {N} _ {0} ^ {n}} X = ( X 1 , … , X n ) { displaystyle x = (x_ {1}, ldots, x_ {n})}
∂ α X β = { β ! ( β − α ) ! X β − α -li α ≤ β , 0 v opačném případě. { displaystyle částečné ^ { alfa} x ^ { beta} = { začátek {případy} { frac { beta!} {( beta - alpha)!}} x ^ { beta - alfa } & { hbox {if}} , , alpha leq beta, 0 & { hbox {jinak.}} end {případy}}} Důkaz Důkaz vyplývá z pravidlo moci pro obyčejný derivát ; -li α a β jsou v {0, 1, 2,. . .}, pak
d α d X α X β = { β ! ( β − α ) ! X β − α -li α ≤ β , 0 v opačném případě. ( 1 ) { displaystyle { frac {d ^ { alpha}} {dx ^ { alpha}}} x ^ { beta} = { begin {cases} { frac { beta!} {( beta - alpha)!}} x ^ { beta - alpha} & { hbox {if}} , , alpha leq beta, 0 & { hbox {jinak.}} end {případy}} qquad (1)} Předpokládat α = ( α 1 , … , α n ) { displaystyle alpha = ( alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n})} β = ( β 1 , … , β n ) { displaystyle beta = ( beta _ {1}, ldots, beta _ {n})} X = ( X 1 , … , X n ) { displaystyle x = (x_ {1}, ldots, x_ {n})}
∂ α X β = ∂ | α | ∂ X 1 α 1 ⋯ ∂ X n α n X 1 β 1 ⋯ X n β n = ∂ α 1 ∂ X 1 α 1 X 1 β 1 ⋯ ∂ α n ∂ X n α n X n β n . { displaystyle { begin {aligned} částečné ^ { alpha} x ^ { beta} & = { frac { částečné ^ { vert alpha vert}} { částečné x_ {1} ^ { alpha _ {1}} cdots částečné x_ {n} ^ { alpha _ {n}}}} x_ {1} ^ { beta _ {1}} cdots x_ {n} ^ { beta _ { n}} & = { frac { částečné ^ { alpha _ {1}}} { částečné x_ {1} ^ { alpha _ {1}}}} x_ {1} ^ { beta _ {1}} cdots { frac { částečné ^ { alpha _ {n}}} { částečné x_ {n} ^ { alpha _ {n}}}} x_ {n} ^ { beta _ { n}}. end {zarovnáno}}} Pro každého i v 1, . . .,n }, funkce X i β i { displaystyle x_ {i} ^ { beta _ {i}}} X i { displaystyle x_ {i}} ∂ / ∂ X i { displaystyle částečné / částečné x_ {i}} d / d X i { displaystyle d / dx_ {i}} ∂ α X β { displaystyle částečné ^ { alpha} x ^ { beta}} αi > βi alespoň pro jednoho i v 1, . . .,n }. Pokud tomu tak není, tj. Pokud α ≤ β jako multiindexy
d α i d X i α i X i β i = β i ! ( β i − α i ) ! X i β i − α i { displaystyle { frac {d ^ { alpha _ {i}}} {dx_ {i} ^ { alpha _ {i}}}} x_ {i} ^ { beta _ {i}} = { frac { beta _ {i}!} {( beta _ {i} - alpha _ {i})!}} x_ {i} ^ { beta _ {i} - alpha _ {i}}} pro každého i { displaystyle i} ◻ { displaystyle Box}
Viz také Reference ^ Reed, M .; Simon, B. (1980). Metody moderní matematické fyziky: Funkční analýza I (Přepracované a zvětšené vydání). San Diego: Academic Press. str. 319. ISBN 0-12-585050-6 Saint Raymond, Xavier (1991). Základní úvod do teorie pseudodiferenciálních operátorů . Kap. 1.1. CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9 Tento článek včlení materiál z multi-indexového derivátu zapnutí PlanetMath , který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.
