Glosář algebraické geometrie - Glossary of algebraic geometry

Tohle je glosář algebraické geometrie.

Viz také glosář komutativní algebry, glosář klasické algebraické geometrie, a glosář prstenové teorie. Pro aplikace s teoretickými čísly viz glosář aritmetické a diofantické geometrie.

Pro zjednodušení je odkaz na základní schéma často vynechán; tj. schéma bude schéma přes nějaké pevné základní schéma S a morfismus a S-morfismus.

!$@

${ displaystyle eta}$

A obecný bod. Například bod přidružený k nule je ideální pro jakékoli integrované afinní schéma.

F(n), F(D)

1. Pokud X je projektivní schéma s Serreův kroutící se svazek ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (1)}$ a pokud F je ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$- tedy modul ${ displaystyle F (n) = F otimes _ {{ mathcal {O}} _ {X}} { mathcal {O}} _ {X} (n).}$

2. Pokud D je dělitelem Cartier a F je ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-modul (X libovolně) ${ displaystyle F (D) = F otimes _ {{ mathcal {O}} _ {X}} { mathcal {O}} _ {X} (D).}$ Li D je Weilův dělitel a F je reflexní, pak jeden nahradí F(D) jeho reflexním trupem (a výsledek klidně označit) F(D).)

|D|

The kompletní lineární systém a Weilův dělitel D na normální kompletní odrůdu X přes algebraicky uzavřené pole k; to je ${ displaystyle | D | = mathbf {P} ( Gamma (X, { mathcal {O}} _ {X} (D)))}$. Mezi množinou je bijekce k-racionální body |D| a soubor účinných dělitelů Weilu X které jsou lineárně ekvivalentní D.^[1] Stejná definice se použije, pokud D je Cartier dělitel na úplnou rozmanitost k.

[X / G]

The zásobník kvocientů řekněme algebraického prostoru X akcí skupinového schématu G.

${ displaystyle X / ! / G}$

The GIT kvocient systému X podle akce skupinového schématu G.

Lⁿ

Nejednoznačná notace. Obvykle to znamená n-tý tenzorový výkon L ale může to také znamenat počet křižovatek L. Li ${ displaystyle L = { mathcal {O}} _ {X}}$, svazek struktury zapnutý X, pak to znamená přímý součet n kopie ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$.

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (- 1)}$

The tautologický svazek linek. Je to dvojí Serreův kroutící se svazek ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (1)}$.

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (1)}$

Serreův kroutící se svazek. Je to dvojí z tautologický svazek linek ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (- 1)}$. Také se mu říká svazek nadroviny.

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (D)}$

1. Pokud D je efektivní dělitel Cartier na X, pak je inverzní k ideálnímu svazku D.

2. Většinu času, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (D)}$ je obraz D pod homomorfismem přirozené skupiny ze skupiny dělitelů Cartier do skupiny Picard ${ displaystyle operatorname {Pic} (X)}$ z X, skupina tříd izomorfismu svazků řádků X.

3. Obecně ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (D)}$ je svazek odpovídající a Weilův dělitel D (na normální schéma ). Nemusí to být pouze lokálně zdarma reflexní.

4. Pokud D je tedy div dělitelem ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (D)}$ je ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ nedílné součásti D.

${ displaystyle Omega _ {X} ^ {p}}$

1.  ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {1}}$ je svazek Kählerovy diferenciály na X.

2.  ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {p}}$ je str-tá vnější síla ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {1}}$.

${ displaystyle Omega _ {X} ^ {p} ( log D)}$

1. Pokud str je 1, to je svazek logaritmické Kählerovy diferenciály na X podél D (zhruba diferenciální formy s jednoduchými póly podél dělitele D.)

2.  ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {p} ( log D)}$ je str-tý vnější výkon ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {1} ( log D)}$.

P(PROTI)

Zápis je nejednoznačný. Jeho tradiční význam je projektivizace konečně-dimenzionální k-vektorový prostor PROTI; tj.,

${ displaystyle mathbf {P} (V) = operatorname {Proj} (k [V]) = operatorname {Proj} ( operatorname {Sym} (V ^ {*}))}$

(dále jen Proj z kruh polynomiálních funkcí k[PROTI]) a jeho k- body odpovídají řádkům v PROTI. Naproti tomu Hartshorne a EGA píší P(PROTI) pro Projekty symetrické algebry PROTI.

Q-faktoriál

Normální odrůda je ${ displaystyle mathbb {Q}}$-faktoriální, pokud každý ${ displaystyle mathbb {Q}}$-Dělitel Weil je ${ displaystyle mathbb {Q}}$-Cartier.

Spec (R)

Sada všech hlavních ideálů v kruhu R s topologií Zariski; nazývá se to prvotřídní spektrum z R.

Spec_X(F)

The relativní Spec z Ó_X-algebra F. Označuje to také Spec(F) nebo jednoduše Spec (F).

Spec^an(R)

Sada všech ocenění pro prsten R s určitou slabou topologií; nazývá se to Berkovichovo spektrum z R.

A

abelian

1. An abelianská odrůda je kompletní skupinová odrůda. Zvažte například složitou odrůdu ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n} / mathbb {Z} ^ {2n}}$ nebo eliptická křivka ${ displaystyle E}$ přes konečné pole ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$.

2. An abelian schéma je (plochá) rodina abelianských odrůd.

adjunkční vzorec

1. Pokud D je efektivní dělitel Cartier na algebraické odrůdě X, oba přiznávají vizualizace snopů ${ displaystyle omega _ {D}, omega _ {X}}$, pak adjunkční vzorec říká:

${ displaystyle omega _ {D} = ( omega _ {X} otimes { mathcal {O}} _ {X} (D)) | _ {D}}$.

An algebraická množina přes pole k je redukované oddělené schéma konečného typu ${ displaystyle operatorname {specifikace} (k)}$. Neredukovatelná algebraická množina se nazývá algebraická odrůda.

An algebraická rozmanitost přes pole k je integrální oddělené schéma konečného typu ${ displaystyle operatorname {specifikace} (k)}$. Všimněte si, nepředpokládejte k je algebraicky uzavřeno způsobuje určitou patologii; například, ${ displaystyle operatorname {Spec} mathbb {C} times _ { mathbb {R}} operatorname {Spec} mathbb {C}}$ není odrůda od souřadnicového kruhu ${ displaystyle mathbb {C} další _ { mathbb {R}} mathbb {C}}$ není integrální doména.

The aritmetický rod projektivní odrůdy X dimenze r je ${ displaystyle (-1) ^ {r} ( chi ({ mathcal {O}} _ {X}) - 1)}$.

B

Funkce Behrend

The vážená Eulerova charakteristika (pěkného) stohu X s respektem k Funkce Behrend je stupeň virtuální základní třída z X.

Behrendův stopový vzorec

Behrendův stopový vzorec zevšeobecňuje Grothendieckův stopový vzorec; oba vzorce počítají stopu Frobenius na l- adic cohomology.

velký

A velký řádek L na X dimenze n je svazek řádků takový, že ${ displaystyle displaystyle limsup _ {l až infty} operatorname {dim} gama (X, L ^ {l}) / l ^ {n}> 0}$.

birational morphism

A birational morphism mezi schématy je morfismus, který se po omezení na nějakou otevřenou hustou podmnožinu stává izomorfismem. Jedním z nejběžnějších příkladů birational mapy je mapa vyvolaná zvětšením.

nafouknout

A nafouknout je biracní transformace, která nahrazuje uzavřený podsystém účinným dělitelem Cartier. Přesně, vzhledem k noetherianskému schématu X a uzavřený podsystém ${ displaystyle Z podmnožina X}$, vyhodit do vzduchu X podél Z je správný morfismus ${ displaystyle pi: { widetilde {X}} až X}$ takové, že (1) ${ displaystyle pi ^ {- 1} (Z) hookrightarrow { widetilde {X}}}$ je efektivní dělitel Cartier, který se nazývá výjimečný dělitel a (2) ${ displaystyle pi}$ je univerzální s ohledem na (1). Konkrétně je konstruován jako relativní Projev Reesovy algebry ${ displaystyle O_ {X}}$ s ohledem na určení ideálního svazku Z.

C

Calabi – Yau

1. The Metrika Calabi – Yau je Kählerova metrika, jejíž Ricciho zakřivení je nulové.

kanonický

1. The kanonický svazek na normální odrůdu X dimenze n je ${ displaystyle omega _ {X} = i _ {*} Omega _ {U} ^ {n}}$ kde i je zahrnutí hladký lokus U a ${ displaystyle Omega _ {U} ^ {n}}$ je svazek diferenciálních forem U stupně n. Pokud má základní pole namísto normality charakteristickou nulu, může být nahrazeno i rozlišením singularit.

2. The kanonická třída ${ displaystyle K_ {X}}$ na normální odrůdu X je třída dělitele taková, že ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (K_ {X}) = omega _ {X}}$.

3. The kanonický dělitel je zástupcem kanonické třídy ${ displaystyle K_ {X}}$ označeno stejným symbolem (a není dobře definováno.)

4. The kanonický prsten normální odrůdy X je prsten sekce kanonický svazek.

kanonický model

1. The kanonický model je Proj kanonického prstence (za předpokladu, že prsten je definitivně vygenerován.)

Cartier

1. Efektivní Cartier dělitel D na schématu X přes S je uzavřeným podsystémem X to je konec S a jehož ideální svazek je invertibilní (místně bez hodnosti jedna).

Castelnuovo – Mumford pravidelnost

The Castelnuovo – Mumford pravidelnost souvislého svazku F na projektivní prostor ${ displaystyle f: mathbf {P} _ {S} ^ {n} do S}$ přes schéma S je nejmenší celé číslo r takhle

${ displaystyle R ^ {i} f _ {*} F (r-i) = 0}$

pro všechny i > 0.

řetězovka

Schéma je řetězovka, pokud mají všechny řetězce mezi dvěma neredukovatelnými uzavřenými podsystémy stejnou délku. Mezi příklady patří prakticky vše, např. odrůd nad polem a je těžké vytvořit příklady, které nejsou řetězovým řetězcem.

centrální vlákno

1. Speciální vlákno.

Chow skupina

The k-th Chow skupina ${ displaystyle A_ {k} (X)}$ hladké odrůdy X je volná abelianská skupina generovaná uzavřenými poddruhy dimenze k (skupina k-cykly ) modulo racionální ekvivalence.

klasifikace zásobníku

Analog a třídicí prostor pro torzory v algebraické geometrii; vidět klasifikace zásobníku.

Zavřeno

Uzavřené podsystémy systému X jsou definovány jako ty, které se vyskytují v následující konstrukci. Nechat J být kvazi-koherentní svazek z ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-ideály. The Podpěra, podpora z kvocient snop ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} / J}$ je uzavřená podmnožina Z z X a ${ displaystyle (Z, ({ mathcal {O}} _ {X} / J) | _ {Z})}$ je schéma zvané uzavřený podsystém definovaný kvazi-koherentní svazek ideálů J.^[6] Důvod, proč se definice uzavřených podsystémů opírá o takovou konstrukci, je ten, že na rozdíl od otevřených podskupin nemá uzavřená podmnožina systému jedinečnou strukturu jako podsystém.

Cohen – Macaulay

Schéma se nazývá Cohen-Macaulay, pokud jsou všechny místní prsteny Cohen-Macaulay Například pravidelná schémata a Spec k[x, y]/(xy) jsou Cohen – Macaulay, ale není.

koherentní svazek

A koherentní svazek na Noetherian schématu X je kvazi-koherentní svazek, který je konečně generován jako Ó_X-modul.

kónický

An algebraická křivka stupně dva.

připojeno

Schéma je připojeno jako topologický prostor. Protože připojené komponenty upřesnit neredukovatelné komponenty je spojeno jakékoli neredukovatelné schéma, ale ne naopak. An afinní schéma Spec (R) je připojen iff prsten R má č idempotents jiné než 0 a 1; takový prsten se také nazývá a připojený prstenMezi příklady připojených schémat patří afinní prostor, projektivní prostor a příklad schématu, které není připojeno, jeSpec(k[X]×k[X])

zhutnění

Viz například Nagatova věta o zhutnění.

Coxův prsten

Zevšeobecnění homogenního souřadnicového kruhu. Vidět Coxův prsten.

crepant

A krepující morfismus ${ displaystyle f: X až Y}$ mezi normálními odrůdami je takový morfismus ${ displaystyle f ^ {*} omega _ {Y} = omega _ {X}}$.

křivka

Algebraická rozmanitost dimenze jedna.

D

deformace

Nechat ${ displaystyle S až S '}$ být morfismem schémat a X an S-systém. Pak deformace X'z X je S'-schéma spolu s návratovým čtvercem, ve kterém X je pullback z X' (typicky X„se předpokládá byt ).

místo degenerace

Vzhledem k mapě vektorových svazků ${ displaystyle f: E až F}$ přes rozmanitost X (to je schéma X-morfismus mezi celkovými prostory svazků), místo degenerace je (schéma-teoretický) lokus

${ displaystyle X_ {k} (f) = {x v X | operatorname {rk} (f (x)) leq k }}$.

1. Schéma X říká se degenerovat do schématu ${ displaystyle X_ {0}}$ (nazývá se limit X) pokud existuje schéma ${ displaystyle pi: Y to mathbf {A} ^ {1}}$ s generické vlákno X a speciální vlákno ${ displaystyle X_ {0}}$.

2. A plochá degenerace je taková degenerace ${ displaystyle pi}$ je plochá.

1. Stupeň svazku řádků L na úplné odrůdě je celé číslo d takhle ${ displaystyle chi (L ^ { otimes m}) = {d over n!} m ^ {n} + O (m ^ {n-1})}$.

2. Pokud X je cyklus plné rozmanitosti ${ displaystyle f: X to operatorname {Spec} k}$ přes pole k, pak je jeho stupeň ${ displaystyle f _ {*} (x) v A_ {0} ( operatorname {Spec} k) = mathbb {Z}}$.

Na projektu Schéma Cohen – Macaulay čisté dimenze n, vizualizace svazku je souvislý svazek ${ displaystyle omega}$ na X takhle

${ displaystyle H ^ {n-i} (X, F ^ { vee} otimes omega) simeq H ^ {i} (X, F) ^ {*}}$

platí pro jakýkoli lokálně volný svazek F na X; například pokud X je plynulá projektivní odrůda, pak je kanonický svazek.

E

Éléments de géométrie algébrique

The EGA byl neúplný pokus položit základ algebraické geometrie založené na pojmu systém, zobecnění algebraické odrůdy. Séminaire de géométrie algébrique pokračuje tam, kde EGA skončila. Dnes je to jeden ze standardních odkazů v algebraické geometrii.

eliptická křivka

An eliptická křivka je hladký projektivní křivka rodu jedna.

v podstatě konečného typu

Lokalizace schématu konečného typu.

étale

Morfismus F : Y → X je étale pokud je plochá a neramatizovaná. Existuje několik dalších ekvivalentních definic. V případě hladkých odrůd ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ přes algebraicky uzavřené pole, etalické morfismy jsou přesně ty, které indukují izomorfismus tečných prostorů ${ displaystyle df: T_ {y} Y rightarrow T_ {f (y)} X}$, který se shoduje s obvyklou představou mapy étale v diferenciální geometrii. Étale morfismy tvoří velmi důležitou třídu morfismů; používají se k stavbě tzv topologie étale a následně étale cohomology, který je dnes jedním ze základních kamenů algebraické geometrie.

Eulerova sekvence

Přesný sled snopů:

${ displaystyle 0 to { mathcal {O}} _ { mathbf {P} ^ {n}} to { mathcal {O}} _ { mathbf {P} ^ {n}} (1) ^ { oplus (n + 1)} to T mathbf {P} ^ {n} to 0,}$

kde Pⁿ je projektivní prostor nad polem a poslední nenulový termín je tangenta snop, se nazývá Eulerova sekvence.

ekvivariační průniková teorie

Viz kapitola II http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf

F

F-pravidelný

Souvisí s Frobeniův morfismus.^[7]

Fano

A Odrůda Fano je hladký projektivní rozmanitost X jehož protikusový svazek ${ displaystyle omega _ {X} ^ {- 1}}$ je dostatek.

vlákno

Dáno ${ displaystyle f: X až Y}$ mezi režimy, vlákno F přes y je jako sada předobraz ${ displaystyle f ^ {- 1} (y) = {x v X | f (x) = y }}$; má přirozenou strukturu schématu nad zbytkové pole z y jako vláknový produkt ${ displaystyle X times _ {Y} {y }}$, kde ${ displaystyle {y }}$ má přirozenou strukturu schématu Y jako specifikace pole reziduí y.

vláknitý výrobek

1. Další výraz pro „zarazit "v kategorii teorie.

2. Stoh ${ displaystyle F times _ {G} H}$ dané pro ${ displaystyle f: F až G, g: H až G}$: objekt přes B je trojitý (X, y, ψ), X v F(B), y v H(B), ψ izomorfismus ${ displaystyle f (x) { přesahující { sim} { to}} g (y)}$ v G(B); šipka z (X, y, ψ) do (X', y', ψ ') je dvojice morfismů ${ displaystyle alpha: x to x ', beta: y to y'}$ takhle ${ Displaystyle psi ' circ f ( alpha) = g ( beta) circ psi}$. Výsledný čtverec se zjevnými projekcemi ne dojíždět; spíše dojíždí do přirozeného izomorfismu; tj. to 2 dojíždění.

finále

Jednou ze základních myšlenek Grothendiecka je zdůraznit relativní pojmy, tj. spíše podmínky na morfismy než podmínky na samotných schématech. Kategorie režimů má a konečný objekt, spektrum prstenu ${ displaystyle mathbb {Z}}$ celých čísel; takže jakékoli schéma ${ displaystyle S}$ je přes ${ displaystyle { textrm {Spec}} ( mathbb {Z})}$a jedinečným způsobem.

konečný

Morfismus F : Y → X je konečný -li ${ displaystyle X}$ mohou být pokryty afinními otevřenými sadami ${ displaystyle { text {Spec}} B}$ takové, že každý ${ displaystyle f ^ {- 1} ({ text {Spec}} B)}$ je afinní - řekněme o formě ${ displaystyle { text {Spec}} A}$ - a navíc ${ displaystyle A}$ je definitivně generován jako ${ displaystyle B}$-modul. Vidět konečný morfismus.Finitní morfismy jsou kvazi-konečné, ale ne všechny morfismy s konečnými vlákny jsou kvazi-konečné a morfismy konečného typu obvykle nejsou kvazi-konečné.

konečný typ (lokálně)

Morfismus F : Y → X je místně konečného typu -li ${ displaystyle X}$ mohou být pokryty afinními otevřenými sadami ${ displaystyle { text {Spec}} B}$ tak, že každý inverzní obraz ${ displaystyle f ^ {- 1} ({ text {Spec}} B)}$ je pokryta afinními otevřenými soubory ${ displaystyle { text {Spec}} A}$ kde každý ${ displaystyle A}$ je definitivně generován jako ${ displaystyle B}$-algebra. Morfismus F : Y → X je konečného typu -li ${ displaystyle X}$ mohou být pokryty afinními otevřenými sadami ${ displaystyle { text {Spec}} B}$ tak, že každý inverzní obraz ${ displaystyle f ^ {- 1} ({ text {Spec}} B)}$ je pokryta konečně mnoha afinními otevřenými soubory ${ displaystyle { text {Spec}} A}$ kde každý ${ displaystyle A}$ je definitivně generován jako ${ displaystyle B}$-algebra.

konečná vlákna

Morfismus F : Y → X má konečná vlákna pokud vlákno přes každý bod ${ displaystyle x v X}$ je konečná množina. Morfismus je kvazi-konečný pokud je konečného typu a má konečná vlákna.

konečná prezentace

Li y je bod Y, pak morfismus F je konečné prezentace na y (nebo konečně představen v y) pokud existuje otevřené afinní sousedství U z f (y) a otevřené afinní sousedství PROTI z y takhle F(PROTI) ⊆ U a ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y} (V)}$ je konečně představená algebra přes ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (U)}$. Morfismus F je místně konečné prezentace pokud je ve všech bodech konečně uveden Y. Li X je tedy místně Noetherian F je lokálně konečné prezentace tehdy a jen tehdy, je-li lokálně konečného typu.^[8]Morfismus F : Y → X je konečné prezentace (nebo Y je definitivně předložen X) pokud je lokálně konečné prezentace, kvazi kompaktní a kvazi oddělené. Li X je tedy místně Noetherian F je konečné prezentace, pokud a pouze pokud je konečného typu.^[9]

odrůda vlajky

The odrůda vlajky parametrizuje a vlajka vektorových prostorů.

byt

Morfismus ${ displaystyle f}$ je byt pokud to vede k a plochá mapa na stopkách. Při pohledu na morfismus F : Y → X jako rodina schémat parametrizovaných body ${ displaystyle X}$, geometrický význam plochosti lze zhruba popsat tvrzením, že vlákna ${ displaystyle f ^ {- 1} (x)}$ se příliš divoce nemění.

formální

Vidět formální schéma.

G

G^r_d.

Vzhledem k tomu, křivka C, dělitel D na něm a vektorový podprostor ${ displaystyle V podmnožina H ^ {0} (C, { mathcal {O}} (D))}$, říká se lineární systém ${ displaystyle mathbb {P} (V)}$ je g^r_d -li PROTI má rozměr r+1 a D má titul d. Jeden říká C má g^r_d pokud existuje takový lineární systém.

Věta o rekonstrukci Gabriel-Rosenberg

The Věta o rekonstrukci Gabriel-Rosenberg uvádí schéma X lze obnovit z kategorie kvazi-koherentní snopy na X.^[10] Věta je výchozím bodem pro nekomutativní algebraická geometrie protože, když vezmeme teorém jako axiom, definujeme a nekomutativní schéma znamená definovat kategorii kvazi-koherentních svazků. Viz také https://mathoverflow.net/q/16257

G-svazek

Hlavní svazek G.

obecný bod

Hustý bod.

rod

Vidět #aritmetický rod, #geometrický rod.

rodový vzorec

The rodový vzorec pro uzlovou křivku v projektivní rovině říká, že rod křivky je uveden jako

${ displaystyle g = (d-1) (d-2) / 2- delta}$

kde d je stupeň křivky a δ je počet uzlů (což je nula, pokud je křivka hladká).

geometrický rod

The geometrický rod hladké projektivní odrůdy X dimenze n je

${ displaystyle dim Gamma (X, Omega _ {X} ^ {n}) = dim operatorname {H} ^ {n} (X, { mathcal {O}} _ {X})}$

(kde je rovnost Serreova věta o dualitě.)

geometrický bod

Primární spektrum algebraicky uzavřeného pole.

geometrická vlastnost

Vlastnost schématu X přes pole k je "geometrický "pokud platí pro ${ displaystyle X_ {E} = X krát _ { operatorname {Spec} k} { operatorname {Spec} E}}$ pro jakékoli rozšíření pole ${ displaystyle E / k}$.

geometrický kvocient

The geometrický kvocient systému X s akcí skupinového schématu G je dobrý podíl, takže vlákna jsou oběžné dráhy.

gerbe

A gerbe je (drsný) a zásobník to je místně neprázdné a ve kterém jsou dva objekty místně izomorfní.

GIT kvocient

The GIT kvocient ${ displaystyle X / ! / G}$ je ${ displaystyle operatorname {Spec} (A ^ {G})}$ když ${ displaystyle X = operatorname {Spec} A}$ a ${ displaystyle operatorname {Proj} (A ^ {G})}$ když ${ displaystyle X = operatorname {Proj} A}$.

dobrý kvocient

The dobrý kvocient systému X s akcí skupinového schématu G je neměnný morfismus ${ displaystyle f: X až Y}$ takhle ${ displaystyle (f _ {*} { mathcal {O}} _ {X}) ^ {G} = { mathcal {O}} _ {Y}.}$

H

Hilbertův polynom

The Hilbertův polynom projektivního schématu X nad polem je Eulerova charakteristika ${ displaystyle chi ({ mathcal {O}} _ {X} (s))}$.

Balíček Hodge

The Balíček Hodge na prostor modulů křivek (fixního rodu) je zhruba vektorový svazek, jehož vlákno přes křivku C je vektorový prostor ${ displaystyle Gamma (C, omega _ {C})}$.

hyperelliptický

Křivka je hyperelliptický pokud má G¹₂ (tj. existuje lineární systém dimenze 1 a stupně 2.)

svazek nadroviny

Další výraz pro Serreův kroutící se svazek ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (1)}$. Je to dvojí z tautologický svazek linek (odtud termín).

Já

obraz

Li F : Y → X je jakýkoli morfismus schémat, schéma-teoretický obraz z F je jedinečný Zavřeno podsystém i : Z → X který splňuje následující univerzální vlastnictví:

1. F faktory i,
2. -li j : Z′ → X je jakékoli uzavřené podsystémy X takhle F faktory j, pak i také faktory prostřednictvím j.^[11][12]

Tato představa se liší od obvyklého množinově-teoretického obrazu F, F(Y). Například podkladový prostor Z vždy obsahuje (ale nemusí se nutně rovnat) uzavření Zariski F(Y) v X, takže když Y je jakékoli otevřené (a neuzavřené) podsystémy X a F je tedy mapa zařazení Z se liší od F(Y). Když Y se tedy sníží Z je uzavření Zariski z F(Y) obdařený strukturou omezeného uzavřeného podsystému. Ale obecně, pokud F je kvazi-kompaktní, konstrukce Z není místní na X.

ponoření

Ponoření F : Y → X jsou mapy, které procházejí izomorfismy s dílčími schématy. Konkrétně an otevřené ponoření faktory prostřednictvím izomorfismu s otevřeným podsystémem a uzavřené ponoření faktory prostřednictvím izomorfismu s uzavřeným podsystémem.^[13] Ekvivalentně F je uzavřené ponoření tehdy a jen tehdy, indukuje homeomorfismus ze spodního topologického prostoru Y do uzavřené podmnožiny podkladového topologického prostoru X, a pokud morfismus ${ displaystyle f ^ { sharp}: { mathcal {O}} _ {X} až f _ {*} { mathcal {O}} _ {Y}}$ je surjektivní.^[14] Složení ponoření je opět ponořením.^[15]Někteří autoři, například Hartshorne ve své knize Algebraická geometrie a Q. Liu ve své knize Algebraická geometrie a aritmetické křivky, definujte ponoření jako složené z otevřeného ponoření následovaného uzavřeným ponořením. Tato ponoření jsou ponoření ve výše uvedeném smyslu, ale obrácení je falešné. Podle této definice navíc složený ze dvou ponorů není nutně ponoření. Dvě definice jsou však ekvivalentní, když F je kvazi kompaktní.^[16]Všimněte si, že otevřené ponoření je zcela popsáno jeho obrazem ve smyslu topologických prostorů, zatímco uzavřené ponoření není: ${ displaystyle operatorname {Spec} A / I}$ a ${ displaystyle operatorname {Spec} A / J}$ mohou být homeomorfní, ale ne izomorfní. To se stane například, když Já je radikál z J ale J není radikálním ideálem. Při zadání uzavřené podmnožiny schématu bez uvedení struktury schématu, obvykle tzv snížena Schéma struktury je míněna, to znamená struktura schématu odpovídající jedinečnému radikálnímu ideálu skládajícímu se ze všech funkcí mizejících v této uzavřené podmnožině.

ind-schéma

An ind-schéma je indukční limit uzavřeného ponoření schémat.

invertibilní svazek

Místně volný svazek prvotřídní kvality. Ekvivalentně je to torzor pro multiplikativní skupinu ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ (tj. svazek řádků).

integrální

Je voláno schéma, které je redukované i neredukovatelné integrální. Pro lokálně Noetherian schémata, být integrál je ekvivalentní tomu, že je propojené schéma, které je pokryto spektry integrální domény. (Přísně vzato to není místní majetek, protože disjunktní unie dvou integrálních schémat není integrální. U neredukovatelných schémat je to však místní vlastnost.) Například schéma Spec k[t]/F, F neredukovatelný polynom je integrální, zatímco Spec A×B. (A, B ≠ 0) není.

neredukovatelné

Schéma X se říká, že je neredukovatelné když (jako topologický prostor) nejde o spojení dvou uzavřených podmnožin, kromě případů, kdy se jedna rovná X. To znamená použití korespondence hlavních ideálů a bodů v afinním schématu X je neredukovatelný iff X je připojen a kroužky A_i všechny mají přesně jeden minimální hlavní ideál. (Prsteny, které mají přesně jeden minimální primární ideál, se proto také nazývají neredukovatelné.) Libovolné noetherovské schéma lze jednoznačně napsat jako spojení konečně mnoha maximálních neredukovatelných neprázdných uzavřených podmnožin, nazývaných jeho neredukovatelné komponenty. Afinní prostor a projektivní prostor jsou neredukovatelné, zatímco Spec k[x, y]/(xy) = není.

J

Jacobian odrůda

The Jacobian odrůda projektivní křivky X je nulová část stupně Odrůda Picard ${ displaystyle operatorname {Pic} (X)}$.

K.

Kempfova věta o mizení

The Kempfova věta o mizení se týká zmizení vyšší kohomologie vlajkové odrůdy.

klt

Zkratka pro „terminál protokolu kawamata "

Dimenze Kodaira

1. The Dimenze Kodaira (nazývané také Dimenze Iitaka ) svazku polovičních řádků L je rozměr Projekce kruhového průřezu L.

2. Dimenze Kodaira normální odrůdy X je rozměr Kodaira jeho kanonického svazku.

Kodairaova věta o mizení

Viz Kodairaova věta o mizení.

Mapa Kuranishi

Vidět Kuranishi struktura.

L

Dlouhé číslo

Vidět Dlouhé číslo.

struktura úrovně

vidět http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf

linearizace

Další termín pro strukturu ekvivariantní svazek / vektorový svazek.

místní

Nejdůležitější vlastnosti schémat jsou místní v přírodě, tj. schéma X má určitou vlastnost P pouze a jen pro jakékoli krytí X otevřenými podsystémy X_i, tj. X=${ displaystyle cup}$ X_i, každý X_i má majetek P. Obvykle stačí zkontrolovat jeden obal, ne všechny možné. Jeden také říká, že určitá vlastnost je Zariski-místní, pokud je třeba rozlišovat mezi Zariski topologie a další možné topologie, například topologie étale Zvažte schéma X a kryt afinními otevřenými podsystémy Spec A_i. Pomocí slovníku mezi (komutativní) prsteny a afinní schémata místní vlastnosti jsou tedy vlastnosti prstenů A_i. Vlastnost P je lokální ve výše uvedeném smyslu, pokud je odpovídající vlastnost prstenů stabilní pod lokalizace Například můžeme mluvit o místně Noetherian schémata, jmenovitě ta, na která se vztahují spektra Noetherian prsteny. Skutečnost, že lokalizace noetherianského kruhu jsou stále noetherian, pak znamená, že vlastnost schématu být lokálně noetherianem je místní ve výše uvedeném smyslu (odtud název). Další příklad: pokud je prsten snížena (tj. nemá nenulovou hodnotu nilpotentní Prvky), pak jsou také jeho lokalizace. Příkladem pro nelokální vlastnost je odloučenost (definice viz níže). Jakékoli afinní schéma je oddělené, proto je jakékoli schéma lokálně oddělené. Afinní kousky se však mohou patologicky slepit, čímž se získá neoddělené schéma. Následuje (nevyčerpávající) seznam místních vlastností prstenů, které se na schémata vztahují. Nechat X = ${ displaystyle cup}$ Spec A_i být zastřešením systému otevřenými afinními podsystémy. Pro jistotu, pojďme k označit a pole v následujícím. Většina příkladů funguje také s celými čísly Z jako základna, nebo dokonce obecnější základny. Připojené, neredukovatelné, redukované, integrální, normální, pravidelné, Cohen-Macaulay, lokálně noetherian, dimenze, řetězovka,

místní úplná křižovatka

Místní kruhy jsou kompletní průnikové kroužky. Viz také: pravidelné vkládání.

místní uniformizace

The místní uniformizace je metoda konstrukce slabší formy rozlišení singularit pomocí oceňovací prsteny.

místně faktoriál

Místní kruhy jsou jedinečné faktorizační domény.

místně konečného typu

Morfismus F : Y → X je místně konečného typu -li ${ displaystyle X}$ mohou být pokryty afinními otevřenými sadami ${ displaystyle { text {Spec}} B}$ tak, že každý inverzní obraz ${ displaystyle f ^ {- 1} ({ text {Spec}} B)}$ je pokryta afinními otevřenými soubory ${ displaystyle { text {Spec}} A}$ kde každý ${ displaystyle A}$ je definitivně generován jako ${ displaystyle B}$-algebra.

místně Noetherian

The A_i jsou Noetherian prsteny. Pokud navíc konečný počet takových afinních spekter pokrývá X, schéma se nazývá noetherian. I když je pravda, že spektrum noetherianského kruhu je a noetherian topologický prostor, konverzace je nepravdivá. Například většina schémat v konečně-dimenzionální algebraické geometrii je lokálně noetherian, ale${ displaystyle GL _ { infty} = pohár GL_ {n}}$ není.

logaritmická geometrie

struktura protokolu

Vidět struktura protokolu. Tuto představu mají Fontaine-Illusie a Kato.

skupina smyček

Vidět skupina smyček (propojený článek nepojednává o skupině smyček v algebraické geometrii; nyní viz také ind-schéma ).

M

moduly

Viz například moduli prostor.

Zatímco většina z rané práce na modulech, zejména od [Mum65], kládla důraz na konstrukci jemných nebo hrubých prostorů modulů, v poslední době se důraz přesunul ke studiu rodin odrůd, tedy k funktorům modulů a modulům. Hlavním úkolem je pochopit, jaké objekty tvoří „pěkné“ rodiny. Jakmile bude vytvořen dobrý koncept „pěkných rodin“, měla by být existence prostoru hrubých modulů téměř automatická. Prostor hrubých modulů již není základním objektem, je to jen pohodlný způsob sledování určitých informací, které jsou latentní pouze v funktoru modulů nebo v modulu modulů.

Kollár, János, Kapitola 1 „Kniha o modulech povrchů“.

Moriho minimální modelový program

The minimální modelový program je výzkumný program s cílem udělat birational klasifikace algebraických odrůd dimenze větší než 2.

morfismus

1. A morfismus algebraických odrůd je dána lokálně polynomy.

2. A morfismus schémat je morfismus místně prstencované prostory.

3. Morfismus ${ displaystyle f: F až G}$ stohů (nad, řekněme, kategorii S-schemes) je funktor takový ${ displaystyle P_ {G} circ f = P_ {F}}$ kde ${ displaystyle P_ {F}, P_ {G}}$ jsou mapy struktur do základní kategorie.

N

nef

Vidět svazek nef linky.

nesmyslný

Archaický výraz pro „hladký“ jako v a hladká odrůda.

normální

1. Integrální schéma se nazývá normální, pokud jsou místní prsteny integrálně uzavřené domény. Například všechna běžná schémata jsou normální, zatímco singulární křivky nejsou.

2. Hladká křivka ${ displaystyle C podmnožina mathbf {P} ^ {r}}$ se říká, že je k- normální, pokud jsou hyperplochy stupně k vystřihněte celou lineární řadu ${ displaystyle | { mathcal {O}} _ {C} (k) |}$. to je projektivně normální Pokud to je k- normální pro všechny k > 0. Jeden tedy říká, že „křivka je projektivně normální, pokud je lineární systém, který ji vkládá, kompletní.“ Termín „lineárně normální“ je synonymem pro 1-normální.

3. Uzavřená podrodina ${ displaystyle X podmnožina mathbf {P} ^ {r}}$ se říká, že je projektivně normální, pokud afinní kryt přes X je normální schéma; tj. homogenní souřadnicový kruh X je integrálně uzavřená doména. Tento význam je v souladu s významem pro 2.

normální

1. Pokud X je uzavřený podsystém schématu Y s ideálním svazkem Já, pak normální svazek na X je ${ displaystyle (I / I ^ {2}) ^ {*} = { mathcal {H}} om _ {{ mathcal {O}} _ {Y}} (I / I ^ {2}, { mathcal {O}} _ {Y})}$. Pokud je vloženo X do Y je pravidelný, je místně zdarma a nazývá se normální svazek.

2. The normální kužel na X je ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {X} ( oplus _ {0} ^ { infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1})}$. -li X je pravidelně vložen do Y, pak je normální kužel isomorfní s ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {X} ({ mathcal {S}} ym (I / I ^ {2}))}$, celkový prostor normálního svazku do X.

normální přechody

Vidět normální přechody.

normálně generováno

Balíček řádků L na odrůdě X se říká, že je normálně generováno if, for each integer n > 0, přirozená mapa ${ displaystyle Gamma (X, L) ^ { mnohokrát n} až Gamma (X, L ^ { další krát}}}$ je surjektivní.

Ó

otevřeno

1. Morfismus F : Y → X schémat se nazývá otevřeno (Zavřeno), pokud je podkladová mapa topologických prostorů otevřeno (uzavřené), tj. pokud jsou otevřené podsystémy Y jsou mapovány tak, aby otevíraly dílčí schémata X (a podobně pro uzavřené). Například konečně prezentované ploché morfismy jsou otevřené a vlastní mapy jsou uzavřeny.

2. An otevřený podsystém systému X je otevřená podmnožina U se strukturou svazku ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} | _ {U}}$.^[14]

orbifold

V dnešní době orbifold je často definována jako a Deligne – Mumford stack v kategorii diferencovatelných potrubí.^[17]

P

str- dělitelná skupina

Vidět str- dělitelná skupina (zhruba analog torzních bodů abelianské odrůdy).

tužka

Lineární systém dimenze jedna.

Picardova skupina

The Picardova skupina z X je skupina tříd izomorfismu svazků řádků Xnásobení je tenzorový produkt.

Plücker vkládání

The Plücker vkládání je uzavřené vkládání z Grassmannianská odrůda do projektivního prostoru.

plurigenus

The n-th plurigenus hladké projektivní odrůdy je ${ displaystyle dim Gamma (X, omega _ {X} ^ { další krát}}}$. Viz také Hodge číslo.

Mapa zbytků Poincaré

Vidět Poincarého zbytek.

směřovat

Schéma ${ displaystyle S}$ je místně prstencový prostor, tak tím spíše A topologický prostor, ale významy bod ${ displaystyle S}$ jsou trojí:

1. bod ${ displaystyle P}$ podkladového topologického prostoru;
2. A ${ displaystyle T}$-hodnota bodu ${ displaystyle S}$ je morfismus z ${ displaystyle T}$ na ${ displaystyle S}$, pro jakékoli schéma ${ displaystyle T}$;
3. A geometrický bod, kde ${ displaystyle S}$ je definován nad (je vybaven morfismem na) ${ displaystyle { textrm {Spec}} (K)}$, kde ${ displaystyle K}$ je pole, je morfismus z ${ displaystyle { textrm {Spec}} ({ overline {K}})}$ na ${ displaystyle S}$ kde ${ displaystyle { overline {K}}}$ je algebraické uzavření z ${ displaystyle K}$.

Například geometrické body jsou v těch nejklasičtějších případech algebraické odrůdy to jsou složité potrubí, by byly body běžného smyslu. Body ${ displaystyle P}$ podkladového prostoru zahrnují analogy obecné body (ve smyslu Zariski, ne to z André Weil ), které se specializují na body běžného smyslu. The ${ displaystyle T}$- jsou hodnoceny hodnotné body, prostřednictvím Yonedovo lemma, jako způsob identifikace ${ displaystyle S}$ s reprezentativní funktor ${ displaystyle h_ {S}}$ nastavuje se. Historicky existoval proces, kterým projektivní geometrie přidal další body (např. složité body, čára v nekonečnu ) pro zjednodušení geometrie vylepšením základních objektů. The ${ displaystyle T}$-hodnocené body byly dalším masivním krokem. Jako součást převládajícího Grothendieckův přístup, existují tři odpovídající pojmy vlákno morfismu: první je jednoduchý inverzní obraz bodu. Další dva jsou tvořeny vytvořením výrobky z vláken dvou morfismů. Například a geometrické vlákno morfismu ${ displaystyle S ^ { prime} do S}$ je myšlenka jako

${ displaystyle S ^ { prime} times _ {S} { textrm {Spec}} ({ overline {K}})}$.

Tím je rozšíření z afinní schémata, kde je to jen tenzorový produkt R-algeber, pro všechna schémata provozu vláknového produktu významný (pokud je technicky anodynový) výsledek.

polarizace

vložení do projektivního prostoru

Proj

Vidět Stavba projektu.

projekční vzorec

The projekční vzorec říká, že pro morfismus ${ displaystyle f: X až Y}$ schémat, an ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-modul ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ a a místně zdarma ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y}}$-modul ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ konečné pozice, existuje přirozený izomorfismus

${ displaystyle f _ {*} (F otimes f ^ {*} E) = (f _ {*} F) otimes E}$

(ve zkratce, ${ displaystyle f _ {*}}$ je lineární vzhledem k působení lokálně volných snopů.)

projektivní

1. A projektivní rozmanitost je uzavřená podskupina projektivního prostoru.

2. A projektivní schéma přes schéma S je S-schéma, které ovlivňuje nějaký projektivní prostor ${ displaystyle mathbf {P} _ {S} ^ {N} do S}$ jako uzavřený podsystém.

3. Projektivní morfismy jsou definovány podobně jako afinní morfismy: F : Y → X je nazýván projektivní pokud se jedná o uzavřené ponoření následované projekcí a projektivní prostor ${ displaystyle mathbb {P} _ {X} ^ {n}: = mathbb {P} ^ {n} times _ { mathrm {Spec} mathbb {Z}} X}$ na ${ displaystyle X}$.^[18] Všimněte si, že tato definice je přísnější než definice EGA, II.5.5.2. The latter defines ${ displaystyle f}$ to be projective if it is given by the globální Proj of a quasi-coherent graded Ó_X-Algebra ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ takhle ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {1}}$ is finitely generated and generates the algebra ${ displaystyle { mathcal {S}}}$. Both definitions coincide when ${ displaystyle X}$ is affine or more generally if it is quasi-compact, separated and admits an ample sheaf,^[19] např. -li ${ displaystyle X}$ is an open subscheme of a projective space ${displaystyle mathbb {P} _{A}^{n}}$ přes prsten ${ displaystyle A}$.

projective bundle

Li E is a locally free sheaf on a scheme X, projective bundle P(E) z E je global Proj of the symmetric algebra of the dual of E:

${displaystyle mathbf {P} (E)=mathbf {Proj} (operatorname {Sym} _{{mathcal {O}}_{X}}(E^{vee })).}$

Note this definition is standard nowadays (e.g., Fulton's Teorie křižovatky) but differs from EGA and Hartshorne (they don't take a dual).

projectively normal

Vidět #normal.

správně

Morfismus je správně if it is separated, universally closed (i.e. such that fiber products with it are closed maps), and of finite type. Projective morphisms are proper; but the converse is not in general true. Viz také complete variety. A deep property of proper morphisms is the existence of a Stein factorization, namely the existence of an intermediate scheme such that a morphism can be expressed as one with connected fibres, followed by a finite morphism.

property P

Nechat P be a property of a scheme that is stable under base change (finite-type, proper, smooth, étale, etc.). Then a representable morphism ${ displaystyle f: F až G}$ is said to have property P if, for any ${displaystyle B o G}$ s B a scheme, the base change ${displaystyle F imes _{G}B o B}$ has property P.

pure dimension

A scheme has pure dimension d if each irreducible component has dimension d.

Q

kvazi-koherentní

A quasi-coherent sheaf on a Noetheiran scheme X je svazek z Ó_X- moduly that is locally given by modules.

kvazi-kompaktní

Morfismus F : Y → X je nazýván kvazi-kompaktní, if for some (equivalently: every) open affine cover of X některými U_i = Spec B_i, the preimages F⁻¹(U_i) jsou kvazi-kompaktní.

quasi-finite

Morfismus F : Y → X má finite fibers if the fiber over each point ${ displaystyle x v X}$ je konečná množina. Morfismus je quasi-finite if it is of finite type and has finite fibers.

kvazi-projektivní

A kvazi-projektivní rozmanitost is a locally closed subvariety of a projective space.

kvazi oddělené

Morfismus F : Y → X je nazýván kvazi oddělené nebo (Y is quasi-separated over X) if the diagonal morphism Y → Y ×_XY is quasi-compact. A scheme Y je nazýván kvazi oddělené -li Y is quasi-separated over Spec(Z).^[20]

Schéma nabídky

A Schéma nabídky parametrizes quotients of locally free sheaves on a projective scheme.

zásobník kvocientů

Usually denoted by [X/G], a zásobník kvocientů generalizes a quotient of a scheme or variety.

R

Racionální

1. Over an algebraically closed field, a variety is Racionální if it is birational to a projective space. Například, rational curves a racionální povrchy are those birational to ${displaystyle mathbb {P} ^{1},mathbb {P} ^{2}}$.

2. Given a field k and a relative scheme X → S, a k- racionální bod z X je S-morphism ${displaystyle operatorname {Spec} (k) o X}$.

racionální funkce

Prvek v funkční pole ${displaystyle k(X)=varinjlim k[U]}$ where the limit runs over all coordinates rings of open subsets U of an (irreducible) algebraic variety X. Viz také function field (scheme theory).

racionální normální křivka

A racionální normální křivka je obraz

${displaystyle mathbf {P} ^{1} o mathbf {P} ^{d},,(s:t)mapsto (s^{d}:s^{d-1}t:cdots :t^{d})}$.

Li d = 3, it is also called the zkroucený kubický.

racionální singularity

Odrůda X over a field of characteristic zero has racionální singularity if there is a resolution of singularities ${displaystyle f:X' o X}$ takhle ${displaystyle f_{*}({mathcal {O}}_{X'})={mathcal {O}}_{X}}$ a ${displaystyle R^{i}f_{*}({mathcal {O}}_{X'})=0,,igeq 1}$.

snížena

1. A commutative ring ${ displaystyle R}$ je snížena if it has no nonzero nilpotent elements, i.e., its nilradical is the zero ideal, ${displaystyle {sqrt {(0)}}=(0)}$. Ekvivalentně ${ displaystyle R}$ is reduced if ${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ is a reduced scheme.

2. A scheme X is reduced if its stalks ${displaystyle {mathcal {O}}_{X,x}}$ are reduced rings. Equivalently X is reduced if, for each open subset ${ displaystyle U podmnožina X}$, ${displaystyle {mathcal {O}}_{X}(U)}$ is a reduced ring, i.e., ${ displaystyle X}$ has no nonzero nilpotent sections.

reflexní svazek

A coherent sheaf is reflexní if the canonical map to the second dual is an isomorphism.

pravidelný

A pravidelné schéma is a scheme where the local rings are regular local rings. Například, smooth varieties over a field are regular, whileSpec k[x, y]/(X²+X³-y²)= není.

pravidelné vkládání

A uzavřené ponoření ${displaystyle i:Xhookrightarrow Y}$ je pravidelné vkládání pokud každý bod X has an affine neighborhood in Y so that the ideal of X there is generated by a pravidelná sekvence. Li i is a regular embedding, then the společný svazek z i, to znamená, ${displaystyle {mathcal {I}}/{mathcal {I}}^{2}}$ když ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ is the ideal sheaf of X, is locally free.

regular function

A morfismus from an algebraic variety to the affine line.

representable morphism

Morfismus ${displaystyle F o G}$ of stacks such that, for any morphism ${displaystyle B o G}$ from a scheme B, základní změna ${displaystyle F imes _{G}B}$ is an algebraic space. If "algebraic space" is replaced by "scheme", then it is said to be strongly representable.

rozlišení singularit

A rozlišení singularit systému X is a proper birational morphism ${displaystyle pi :Z o X}$ takhle Z je hladký.

Riemann – Hurwitzův vzorec

Given a finite separable morphism ${ displaystyle pi: X až Y}$ between smooth projective curves, if ${ displaystyle pi}$ je krotce rozvětvený (no wild ramification); for example, over a field of characteristic zero, then the Riemann – Hurwitzův vzorec relates the degree of π, the genera of X, Y a ramification indices:

${displaystyle 2g(X)-2=operatorname {deg} (pi )(2g(Y)-2)+sum _{yin Y}(e_{y}-1)}$.

Nowadays, the formula is viewed as a consequence of the more general formula (which is valid even if π is not tame):

${displaystyle K_{X}sim pi ^{*}K_{Y}+R}$

kde ${ displaystyle sim}$ means a lineární ekvivalence a ${displaystyle R=sum _{Pin X}operatorname {length} _{{mathcal {O}}_{P}}(Omega _{X/Y})P}$ is the divisor of the relative cotangent sheaf ${displaystyle Omega _{X/Y}}$ (volal odlišný ).

Riemann–Roch formula

1. Pokud L is a line bundle of degree d on a smooth projective curve of genus G, pak Riemann–Roch formula počítá Eulerova charakteristika z L:

${displaystyle chi (L)=d-g+1}$.

For example, the formula implies the degree of the canonical divisor K. je 2G - 2.

2. The general version is due to Grothendieck and called the Grothendieck–Riemann–Roch formula. It says: if ${displaystyle pi :X o S}$ is a proper morphism with smooth X, S a pokud E is a vector bundle on X, then as equality in the rational Chow group

${displaystyle operatorname {ch} (pi _{!}E)cdot operatorname {td} (S)=pi _{*}(operatorname {ch} (E)cdot operatorname {td} (X))}$

kde ${displaystyle pi _{!}=sum _{i}(-1)^{i}R^{i}pi _{*}}$, ${displaystyle operatorname {ch} }$ means a Chern character a ${displaystyle operatorname {td} }$ A Todd class of the tangent bundle of a space, and, over the complex numbers, ${displaystyle pi _{*}}$ je integration along fibers. For example, if the base S is a point, X is a smooth curve of genus G a E je svazek řádků L, then the left-hand side reduces to the Euler characteristic while the right-hand side is ${displaystyle pi _{*}(e^{c_{1}(L)}(1-c_{1}(T^{*}X)/2))=operatorname {deg} (L)-g+1.}$

Každý infinitesimal deformation je triviální. Například projektivní prostor is rigid since ${displaystyle operatorname {H} ^{1}(mathbf {P} ^{n},T_{mathbf {P} ^{n}})=0}$ (and using the Mapa Kodaira – Spencer ).

S

On Grothendieck’s own view there should be almost no history of schemes, but only a history of the resistance to them: ... There is no serious historical question of how Grothendieck found his definition of schemes. It was in the air. Serre has well said that no one invented schemes (conversation 1995). The question is, what made Grothendieck believe he should use this definition to simplify an 80 page paper by Serre into some 1000 pages of Éléments de géométrie algébrique ?

[1]

systém

A systém je místně prstencový prostor that is locally a prime spectrum a komutativní prsten.

Schubert

1. A Schubertova buňka je B-orbit on the Grassmannian ${displaystyle operatorname {Gr} (d,n)}$ kde B is the standard Borel; i.e., the group of upper triangular matrices.

2. A Odrůda Schubert is the closure of a Schubert cell.

secant variety

The secant variety to a projective variety ${displaystyle Vsubset mathbb {P} ^{r}}$ is the closure of the union of all secant lines to PROTI v ${displaystyle mathbb {P} ^{r}}$.

section ring

The section ring or the ring of sections of a line bundle L na schématu X is the graded ring ${displaystyle oplus _{0}^{infty }Gamma (X,L^{n})}$.

Serre's conditions S_n

Vidět Serre's conditions on normality. Viz také https://mathoverflow.net/q/22228

Serre dualita

Vidět #dualizing sheaf

oddělené

A separated morphism je morfismus ${ displaystyle f}$ takové, že vláknitý výrobek z ${ displaystyle f}$ with itself along ${ displaystyle f}$ má svoje úhlopříčka as a closed subscheme — in other words, the diagonal morphism je uzavřené ponoření.

sheaf generated by global sections

A sheaf with a set of global sections that span the stalk of the sheaf at every point. Vidět Sheaf generated by global sections.

jednoduchý

The term "simple point" is an old term for a "smooth point".

hladký

1.  

Hlavní článek: hladký morfismus

The higher-dimensional analog of étale morphisms are smooth morphisms. There are many different characterisations of smoothness. The following are equivalent definitions of smoothness of the morphism F : Y → X:

1) for any y ∈ Y, there are open affine neighborhoods PROTI a U z y, X=F(y), respectively, such that the restriction of F na PROTI factors as an étale morphism followed by the projection of afinní n-prostor přes U.

2) F is flat, locally of finite presentation, and for every geometric point ${ displaystyle { bar {y}}}$ z Y (a morphism from the spectrum of an algebraically closed field ${displaystyle k({ar {y}})}$ na Y), the geometric fiber ${displaystyle X_{ar {y}}:=X imes _{Y}mathrm {Spec} (k({ar {y}}))}$ je hladký n-dimensional variety over ${displaystyle k({ar {y}})}$ in the sense of classical algebraic geometry.

3. A smooth scheme over a field k je schéma X that is geometrically smooth: ${ displaystyle X times _ {k} { overline {k}}}$ je hladký.

Dělitel D na hladké křivce C je speciální -li ${ displaystyle h ^ {0} ({ mathcal {O}} (K-D))}$, kterému se říká index specializace, je kladný.

Vzhledem k výbuchu ${ displaystyle pi: { widetilde {X}} až X}$ podél uzavřeného podsystému Z a morfismus ${ displaystyle f: Y až X}$, přísná transformace z Y (také nazývaná správná transformace) je nafouknutí ${ displaystyle { widetilde {Y}} do Y}$ z Y podél uzavřeného podsystému ${ displaystyle f ^ {- 1} Z}$. Li F je uzavřené ponoření, pak indukovaná mapa ${ displaystyle { widetilde {Y}} hookrightarrow { widetilde {X}}}$ je také uzavřené ponoření.

T

tečný prostor

Vidět Zariski tečný prostor.

tautologický svazek linek

The tautologický svazek linek projektivního schématu X je dvojí Serreův kroutící se svazek ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (1)}$; to je ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (- 1)}$.

teorém

Vidět Zariskiho hlavní věta, věta o formálních funkcích, věta o změně základny cohomologie, Kategorie: Věty v algebraické geometrii.

vložení torusu

Starý termín pro a torická odrůda

torická odrůda

A torická odrůda je normální odrůda s působením torusu, takže torus má otevřenou hustou dráhu.

tropická geometrie

Jakási po částech lineární algebraická geometrie. Vidět tropická geometrie.

torus

A split torus je produktem konečně mnoha multiplikativní skupiny ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$.

U

univerzální

1. Pokud a funktor modulu F je reprezentováno nějakým schématem nebo algebraickým prostorem M, pak univerzální objekt je prvek F(M), který odpovídá morfismu identity M → M (což je M- bod M). Pokud jsou hodnoty F jsou třídy izomorfismu křivek s extra strukturou, řekněme, pak se univerzální objekt nazývá a univerzální křivka. A tautologický svazek by byl dalším příkladem univerzálního objektu.

2. Nechte ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g}}$ být moduly hladkých projektivních křivek rodu G a ${ displaystyle { mathcal {C}} _ ​​{g} = { mathcal {M}} _ {g, 1}}$ hladkých projektivních křivek rodu G s jednotlivými označenými body. V literatuře zapomnětlivá mapa

${ displaystyle pi: { mathcal {C}} _ ​​{g} až { mathcal {M}} _ {g}}$

se často nazývá univerzální křivka.

všeobecně

Morfismus má nějakou vlastnost univerzálně, pokud tuto vlastnost mají všechny základní změny morfismu. Mezi příklady patří všeobecně řetězovka, všeobecně injektivní.

unramified

Pro bod ${ displaystyle y}$ v ${ displaystyle Y}$, zvažte odpovídající morfismus místních kruhů

${ displaystyle f ^ { #} colon { mathcal {O}} _ {X, f (y)} do { mathcal {O}} _ {Y, y}}$.

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ být maximálním ideálem ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, f (y)}}$a nechte

${ displaystyle { mathfrak {n}} = f ^ { #} ({ mathfrak {m}}) { mathcal {O}} _ {Y, y}}$

být ideál generovaný obrazem ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ v ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y, y}}$. Morfismus ${ displaystyle f}$ je unramified (resp. G-unramified) pokud je lokálně konečného typu (resp. lokálně konečné prezentace) a pokud pro všechny ${ displaystyle y}$ v ${ displaystyle Y}$, ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$ je maximálním ideálem ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y, y}}$ a indukovaná mapa

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, f (y)} / { mathfrak {m}} až { mathcal {O}} _ {Y, y} / { mathfrak {n}} }$

je konečný oddělitelné rozšíření pole.^[21] Toto je geometrická verze (a zobecnění) unramified pole rozšíření v algebraická teorie čísel.

PROTI

odrůda

synonymum pro „algebraickou odrůdu“.

velmi bohatý

Balíček řádků L na odrůdě X je velmi bohatý -li X lze vložit do projektivního prostoru tak, aby L je omezení Serreova kroutícího se svazku Ó(1) na projektivním prostoru.

Ž

slabě normální

schéma je slabě normální, pokud jakýkoli konečný birational morfismus k němu je izomorfismus.

Weilův dělitel

Další, ale standardnější výraz pro „cyklus codimension-one“; vidět dělitel.

Weilova vzájemnost

Vidět Weilova vzájemnost.

Z

Zariski – Riemannův prostor

A Zariski – Riemannův prostor je místně prstencový prostor, jehož body jsou prsteny pro ocenění.

Poznámky

Reference

• Fulton, William (1998), Teorie křižovatky, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Řada moderních průzkumů v matematice [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech. 3. série. Řada moderních průzkumů v matematice], 2, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1700-8, ISBN  978-3-540-62046-4, PAN  1644323
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007 / bf02684778. PAN  0217083.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). „Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 8. doi:10.1007 / bf02699291. PAN  0217084.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). „Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 11. doi:10.1007 / bf02684274. PAN  0217085.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1963). „Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 17. doi:10.1007 / bf02684890. PAN  0163911.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007 / bf02684747. PAN  0173675.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1965). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 24. doi:10.1007 / bf02684322. PAN  0199181.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1966). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 28. doi:10.1007 / bf02684343. PAN  0217086.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007 / bf02732123. PAN  0238860.
• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157
• Kollár, János „Kniha o modulech povrchů“ k dispozici na jeho webových stránkách [2]
• Martinovy ​​Olssonovy poznámky k kurzu napsané Antonem, https://web.archive.org/web/20121108104319/http://math.berkeley.edu/~anton/written/Stacks/Stacks.pdf
• A rezervovat vypracováno mnoha autory.

Viz také

• Glosář aritmetické a diofantické geometrie
• Glosář klasické algebraické geometrie
• Glosář diferenciální geometrie a topologie
• Glosář Riemannovy a metrické geometrie
• Seznam komplexních a algebraických povrchů
• Seznam povrchů
• Seznam křivek