Eulerova sekvence - Euler sequence
v matematika, Eulerova sekvence je zvláštní přesná sekvence z snopy na n-dimenzionální projektivní prostor přes prsten. Ukazuje, že svazek relativních diferenciálů je stabilně izomorfní do (n + 1) -násobný součet duálu Serre kroucení snopu.
Eulerova sekvence se zobecňuje na sekvenci a projektivní svazek stejně jako a Grassmann svazek (viz toto druhé zobecnění.)
Tvrzení
Pro A prsten, existuje přesná sekvence snopů
To lze dokázat definováním homomorfismu s a v 1. stupni, surjektivní ve stupních a zkontrolovat to lokálně na n + 1 standardní grafy, že jádro je izomorfní s relativním diferenciálním modulem.[1]
Geometrická interpretace
To předpokládáme A je pole k.
Přesná výše uvedená sekvence je ekvivalentní sekvenci
- ,
kde poslední nenulový termín je tangenta snop.
Zvažujeme PROTI A n + 1 dimenzionální vektorový prostor přes k a vysvětlete přesnou sekvenci
Tato posloupnost je nejsnadněji pochopitelná interpretací centrálního termínu jako svazku 1-homogenního vektorová pole na vektorovém prostoru PROTI. Existuje pozoruhodná část tohoto svazku, Eulerovo vektorové pole, tautologicky definováno přidružením k bodu vektorového prostoru identicky přidruženého tečného vektoru (tj. sám: je to mapa identity viděná jako vektorové pole).
Toto vektorové pole je radiální v tom smyslu, že mizí rovnoměrně na 0-homogenních funkcích, tj. Funkcích, které jsou neměnné homotetickým přeškálováním, nebo "nezávisle na radiální souřadnici".
Funkce (definovaná na nějaké otevřené sadě) na dává vznik zpětným natažením k 0-homogenní funkci na PROTI (opět částečně definováno). Získáváme 1-homogenní vektorová pole vynásobením Eulerova vektorového pole takovými funkcemi. Toto je definice první mapy a její injektivita je okamžitá.
Druhá mapa souvisí s pojmem derivace, ekvivalentní s vektorovým polem. Připomeňme, že vektorové pole v otevřené sadě U projektivního prostoru lze definovat jako derivaci funkcí definovaných v této otevřené sadě. Vytáhnout zpět PROTI, to je ekvivalent odvození na preimage U který zachovává 0-homogenní funkce. Jakékoli vektorové pole zapnuto lze tedy získat a defekt injektivity tohoto mapování sestává právě z radiálních vektorových polí.
Vidíme tedy, že jádro druhého morfismu se identifikuje s rozsahem prvního.
Kanonický svazek projektivních prostorů
Tím, že vezmete nejvyšší vnější síla, jeden vidí, že kanonický svazek a projektivní prostor je dána
.
Zejména projektivní prostory jsou Odrůdy Fano, protože kanonický svazek je anti-dostatek a tento řádek nemá žádné nenulové globální sekce, takže geometrický rod je 0. To lze zjistit pohledem na Eulerovu sekvenci a jejím zapojením do determinantního vzorce
pro jakoukoli krátkou přesnou posloupnost formuláře .
Třídy Chern
Eulerovu sekvenci lze použít k výpočtu Třídy Chern projektivního prostoru. Připomeňme, že vzhledem k krátké přesné posloupnosti koherentních snopy
můžeme vypočítat celkovou třídu chern se vzorcem.[3] Například na shledáváme
kde představuje třídu nadroviny v krmném kruhu . Pomocí přesné sekvence
můžeme znovu použít vzorec třídy chern celkem
protože potřebujeme převrátit polynom ve jmenovateli, je to ekvivalentní hledání mocninné řady takhle .
Poznámky
- ^ Věta II.8.13 in Hartshorne 1977
- ^ Vakil, Ravi. Stoupající moře (PDF). 386. Archivovány od originál (PDF) dne 2019-11-30.CS1 maint: umístění (odkaz)
- ^ „3264 a tak dále“ (PDF). p. 169.
- ^ Všimněte si, že v rozkroku z rozměrových důvodů.
- ^ Arapura, Donu. "Výpočet některých čísel Hodge" (PDF). Archivováno (PDF) od původního dne 1. února 2020.
Reference
- Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, PAN 0463157
- Rubei, Elena (2014), Algebraická geometrie, výstižný slovník, Berlín / Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3