Kuranishi struktura - Kuranishi structure

V matematice, zejména v topologie, a Kuranishi struktura je hladký analog systém struktura. Pokud je topologický prostor vybaven strukturou Kuranishi, lze jej lokálně identifikovat nulovou sadou hladké mapy ${ displaystyle (f_ {1}, ldots, f_ {k}) colon mathbb {R} ^ {n + k} to mathbb {R} ^ {k}}$nebo kvocient takové nuly nastavený konečnou skupinou. Kuranské struktury zavedli japonští matematici Kenji Fukaya a Kaoru Ono ve studiu Gromov – Wittenovy invarianty a Homologie Floer v symplektické geometrii a byly pojmenovány po Masatake Kuranishi.^[1]

Definice

Nechat ${ displaystyle X}$ být kompaktní měřitelný topologický prostor. Nechat ${ displaystyle p v X}$ být bodem. A Kuranishi sousedství z ${ displaystyle p}$ (dimenze ${ displaystyle k}$) je n-tice

${ displaystyle K_ {p} = (U_ {p}, E_ {p}, S_ {p}, F_ {p}, psi _ {p})}$

kde

• ${ displaystyle U_ {p}}$ je hladký orbifold;
• ${ displaystyle E_ {p} do U_ {p}}$ je hladký orbifoldový vektorový svazek;
• ${ displaystyle S_ {p} dvojtečka U_ {p} až E_ {p}}$ je hladký řez;
• ${ displaystyle F_ {p}}$ je otevřeným sousedstvím města ${ displaystyle p}$;
• ${ displaystyle psi _ {p} dvojtečka S_ {p} ^ {- 1} (0) do F_ {p}}$ je homeomorfismus.

Měli by to uspokojit ${ displaystyle dim U_ {p} - operatorname {hodnost} E_ {p} = k}$.

Li ${ displaystyle p, q v X}$ a ${ displaystyle K_ {p} = (U_ {p}, E_ {p}, S_ {p}, F_ {p}, psi _ {p})}$, ${ displaystyle K_ {q} = (U_ {q}, E_ {q}, S_ {q}, F_ {q}, psi _ {q})}$ jsou jejich sousedství Kuranishi, pak a změna souřadnic z ${ displaystyle K_ {q}}$ na ${ displaystyle K_ {p}}$ je trojnásobek

${ displaystyle T_ {pq} = (U_ {pq}, phi _ {pq}, { hat { phi}} _ {pq}),}$

kde

• ${ displaystyle U_ {pq} podmnožina U_ {q}}$ je otevřený suborbifold;
• ${ displaystyle phi _ {pq} dvojtečka U_ {pq} až U_ {p}}$ je vložení do kruhu;
• ${ displaystyle { hat { phi}} _ {pq} dvojtečka E_ {q} | _ {U_ {pq}} do E_ {p}}$ je oboustranný vektorový svazek, který pokrývá ${ displaystyle phi _ {pq}}$.

Kromě toho musí tyto údaje splňovat následující podmínky kompatibility:

• ${ displaystyle S_ {p} circ phi _ {pq} = { hat { phi}} _ {pq} circ S_ {q} | _ {U_ {pq}}}$;
• ${ displaystyle psi _ {p} circ phi _ {pq} | _ {S_ {q} ^ {- 1} (0) cap U_ {pq}} = psi _ {q} | _ {S_ {q} ^ {- 1} (0) cap U_ {pq}}}$.

A Kuranishi struktura na ${ displaystyle X}$ dimenze ${ displaystyle k}$ je sbírka

${ displaystyle { Big (} {K_ {p} = (U_ {p}, E_ {p}, S_ {p}, F_ {p}, psi _ {p}) | p v X }, {T_ {pq} = (U_ {pq}, phi _ {pq}, { hat { phi}} _ {pq}) | p v X, q ve F_ {p} } { Big)},}$

kde

• ${ displaystyle K_ {p}}$ je sousedství Kuranishi z ${ displaystyle p}$ dimenze ${ displaystyle k}$;
• ${ displaystyle T_ {pq}}$ je změna souřadnic z ${ displaystyle K_ {q}}$ na ${ displaystyle K_ {p}}$.

Kromě toho musí změny souřadnic splňovat podmínka cocycle, jmenovitě kdykoli ${ displaystyle q ve F_ {p}, r ve F_ {q}}$, to požadujeme

${ displaystyle phi _ {pq} circ phi _ {qr} = phi _ {pr}, { hat { phi}} _ {pq} circ { hat { phi}} _ { qr} = { hat { phi}} _ {pr}}$

přes regiony, kde jsou definovány obě strany.

Dějiny

v Teorie Gromov – Witten, je třeba definovat integraci v prostoru modulů pseudoholomorfních křivek ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n} (X, A)}$.^[2] Tento moduli prostor je zhruba soubor map ${ displaystyle u}$ z uzlu Riemannův povrch s rodem ${ displaystyle g}$ a ${ displaystyle n}$ označené body do a symplektické potrubí ${ displaystyle X}$, takže každá složka vyhovuje Cauchy – Riemannova rovnice

${ displaystyle { overline { částečné}} _ {J} u = 0}$.

Pokud je prostor modulů hladký, kompaktní, orientovaný potrubí nebo kruhový, pak integrace (nebo a základní třída ) lze definovat. Když symplektický potrubí ${ displaystyle X}$ je polopozitivní, je tomu skutečně tak (kromě codimension 2 hranice prostoru modulů), pokud téměř složitá struktura ${ displaystyle J}$ je obecně narušen. Kdy však ${ displaystyle X}$ není semi-pozitivní (například plynulá projektivní odrůda se zápornou první třídou Chern), prostor modulů může obsahovat konfigurace, pro které je jedna složka vícenásobným krytem holomorfní sféry ${ displaystyle u colon S ^ {2} až X}$ jehož průsečík s prvním Třída Chern z ${ displaystyle X}$ je negativní. Díky těmto konfiguracím je prostor modulů velmi jedinečný, takže základní třídu nelze definovat obvyklým způsobem.

Pojem kuranské struktury byl způsob definování a virtuální základní cyklus, který hraje stejnou roli jako základní cyklus, když je prostor modulů vyříznut příčně. Poprvé jej použili Fukaya a Ono při definování invariantů Gromov – Witten a Floerovy homologie a dále se rozvíjeli, když studovali Fukaya, Yong-Geun Oh, Hiroshi Ohta a Ono Lagrangeova křižovatka Floerova teorie.^[3]

Reference

• Fukaya, Kenji; Tehrani, Mohammad F. (2019). „Gromov-Wittenova teorie prostřednictvím kuranských struktur“. v Morgan, John W. (vyd.). Virtuální základní cykly v symplektické topologii. Matematické průzkumy a monografie. 237. Providence, RI: Americká matematická společnost. 111–252. arXiv:1701.07821. ISBN  978-1-4704-5014-4. PAN  2045629.