Gorensteinovo schéma - Gorenstein scheme

V algebraické geometrii, a Gorensteinovo schéma je místně Noetherian systém jejichž místní prsteny jsou všechny Gorenstein.^[1] The kanonický svazek řádků je definován pro jakékoli schéma Gorenstein přes a pole a jeho vlastnosti jsou téměř stejné jako ve zvláštním případě plynulá schémata.

Související vlastnosti

Pro schéma Gorenstein X z konečný typ přes pole, F: X → Spec (k), komplexizace F^!(k) zapnuto X je svazek řádků (volal kanonický svazek K._X), nahlíženo jako komplex ve stupni −dim (X).^[2] Li X má hladký rozměr n přes k, kanonický svazek K._X lze identifikovat pomocí svazku linek Ωⁿ nejvyššího stupně diferenciální formy.^[3]

Pomocí kanonického svazku Serre dualita má stejnou podobu pro Gorensteinovy ​​režimy jako pro hladké režimy.

Nechat X být normální schéma konečného typu nad polem k. Pak X je pravidelný mimo uzavřenou podmnožinu kodimenzionální alespoň 2. Nechť U být otevřenou podmnožinou kde X je pravidelný; pak kanonický svazek K._U je svazek řádků. Omezení ze strany skupina dělitele dělitele Cl (X) do Cl (U) je izomorfismus a (protože U je hladký) Cl (U) lze identifikovat pomocí Picardova skupina Obrázek (U). Jako výsledek, K._U definuje a lineární ekvivalence třída Weil dělitelé na X. Každý takový dělitel se nazývá kanonický dělitel K._X. Pro normální schéma X, kanonický dělitel K._X se říká, že je Q-Cartier pokud nějaký kladný násobek Weilova dělitele K._X je Cartier. (Tato vlastnost nezávisí na výběru Weilova dělitele ve třídě lineární ekvivalence.) Alternativně normální schémata X s K._X Q-Cartier se někdy říká, že je Q-Gorenstein.

Je také užitečné vzít v úvahu běžná schémata X pro které kanonický dělitel K._X je Cartier. Někdy se o takovém schématu říká Q-Gorenstein indexu 1. (Někteří autoři používají pro tuto vlastnost výraz „Gorenstein“, ale to může vést ke zmatku.) Normální schéma X je Gorenstein (jak je definováno výše) právě tehdy, když K._X je Cartier a X je Cohen – Macaulay.^[4]

Příklady

• An algebraická rozmanitost s místní úplná křižovatka singularity, například jakékoli nadpovrch v hladké odrůdě je Gorenstein.^[5]
• Odrůda X s kvocientovými singularitami nad polem charakteristický nula je Cohen – Macaulay a K._X je Q-Cartier. Kvocientová rozmanitost vektorového prostoru PROTI lineárním působením konečné skupiny G je Gorenstein pokud G mapy do podskupiny SL (PROTI) lineárních transformací určující 1. Naopak, pokud X je podíl z C² podle cyklická skupina řádu n jedná tedy podle skalárů K._X není Cartier (a tak X není Gorenstein) pro n ≥ 3.
• Zobecnění předchozího příkladu, každá odrůda X s klt (Kawamata log terminál) singularity nad polem charakteristické nuly je Cohen – Macaulay a K._X je Q-Cartier.^[6]
• Pokud odrůda X má protokol kanonický singularity K._X je Q-Cartier, ale X nemusí to být Cohen – Macaulay. Například jakýkoli afinní kužel X přes abelianská odrůda Y je log kanonický a K._X je Cartier, ale X není Cohen – Macaulay, když Y má rozměr alespoň 2.^[7]

Poznámky

Reference

• Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra s pohledem směrem k algebraické geometrii, Postgraduální texty z matematiky, 150, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94268-1, PAN  1322960
• Hartshorne, Robine (1966), Zbytky a dualitaPřednášky z matematiky, 20, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-03603-6, PAN  0222093
• Kollár, János (2013), Zvláštnosti minimálního modelového programu, Cambridge University Press, ISBN  978-1-107-03534-8, PAN  3057950
• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometry algebraických odrůd, Cambridge University Press, ISBN  0-521-63277-3, PAN  1658959

externí odkazy

• Autoři projektu The Stacks, The Stacks Project