Zariski tečný prostor - Zariski tangent space - Wikipedia

v algebraická geometrie, Zariski tečný prostor je konstrukce, která definuje a tečný prostor v určitém okamžiku P na algebraická rozmanitost PROTI (a obecněji). Nepoužívá se diferenciální počet, vycházející přímo z abstraktní algebra, a v nejkonkrétnějších případech pouze teorie a soustava lineárních rovnic.

Motivace

Předpokládejme například, že daný a rovinná křivka C definovaný polynomickou rovnicí

F (X, Y) = 0

a vzít P být původem (0,0). Mazání členů vyššího řádu než 1 by vedlo k „linearizovanému“ čtení rovnice

L (X, Y) = 0

ve kterém jsou všechny termíny X^AY^b byly zlikvidovány, pokud a + b> 1.

Máme dva případy: L může být 0 nebo to může být rovnice přímky. V prvním případě (Zariski) tečný prostor k C at (0,0) je celá rovina, považovaná za dvourozměrnou afinní prostor. Ve druhém případě je tečným prostorem ta přímka, která se považuje za afinní prostor. (Otázka původu se objeví, když si vezmeme P jako obecný bod C; je lepší říci „afinní prostor“ a pak si to povšimnout P je přírodního původu, spíše než trvat na tom, že je vektorový prostor.)

Je snadné to vidět skutečné pole můžeme získat L pokud jde o první částečné derivace z F. Když jsou oba 0 na P, máme singulární bod (dvojitý bod, hrot nebo něco složitějšího). Obecná definice je taková singulární body z C jsou případy, kdy má tečný prostor rozměr 2.

Definice

The kotangensový prostor a místní prsten R, s maximální ideál ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ je definován jako

${ displaystyle { mathfrak {m}} / { mathfrak {m}} ^ {2}}$

kde ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$² je dán produkt ideálů. Je to vektorový prostor přes zbytkové pole k: = R /${ displaystyle { mathfrak {m}}}$. Své dvojí (jako k-vector space) tečný prostor z R.^[1]

Tato definice je zobecněním výše uvedeného příkladu do vyšších dimenzí: předpokládejme, že je dána afinní algebraická odrůda PROTI a bod proti z PROTI. Morálně, vyřazování ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$² odpovídá upuštění nelineárních členů z definování rovnic PROTI uvnitř nějakého afinního prostoru, tedy dávat systém lineárních rovnic, které definují tečný prostor.

Tečný prostor ${ displaystyle T_ {P} (X)}$ a kotangensní prostor ${ displaystyle T_ {P} ^ {*} (X)}$ do schématu X v určitém okamžiku P je (ko) tangenta prostoru ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, P}}$. V důsledku funkcionalita Spec, přirozená kvocientová mapa ${ displaystyle f: R rightarrow R / I}$ vyvolává homomorfismus ${ displaystyle g: { mathcal {O}} _ {X, f ^ {- 1} (P)} rightarrow { mathcal {O}} _ {Y, P}}$ pro X= Spec (R), P bod dovnitř Y= Spec (R / já). To se používá k vložení ${ displaystyle T_ {P} (Y)}$ v ${ displaystyle T_ {f ^ {- 1} P} (X)}$.^[2] Vzhledem k tomu, že morfismy polí jsou injektivní, surjekce zbytková pole vyvolané G je izomorfismus. Pak morfismus k kotangensních prostor je indukováno G, dána

${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {P} / { mathfrak {m}} _ {P} ^ {2}}$

${ displaystyle cong ({ mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} / I) / (({ mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} ^ {2} + I) / I)}$

${ displaystyle cong { mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} / ({ mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} ^ {2} + I)}$

${ displaystyle cong ({ mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} / { mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} ^ {2}) / mathrm { Ker} (k).}$

Jelikož se jedná o překvapení, přemístit ${ displaystyle k ^ {*}: T_ {P} (Y) rightarrow T_ {f ^ {- 1} P} (X)}$ je injekce.

(Jeden často definuje tečna a kotangensní prostory pro potrubí obdobným způsobem.)

Analytické funkce

Li PROTI je podrodina n-dimenzionální vektorový prostor, definovaný ideálem Já, pak R = F_n/ Já, kde F_n je kruh hladkých / analytických / holomorfních funkcí v tomto vektorovém prostoru. Zariski tangenta prostor v X je

m_n / (I + m_n² ),

kde m_n je maximální ideál skládající se z těchto funkcí v F_n mizející v X.

Ve výše uvedeném rovinném příkladu Já = ⟨F⟩, a I + m² = + m².

Vlastnosti

Li R je Noetherian místní kruh, je rozměr tečného prostoru alespoň dimenze z R:

ztlumit m / m² ≧ dim R

R je nazýván pravidelný pokud platí rovnost. Ve více geometrickém jazyce, když R je místní kruh odrůdy PROTI v proti, jeden také říká proti je pravidelný bod. Jinak se tomu říká a singulární bod.

Tečný prostor má interpretaci v pojmech homomorfismy do duální čísla pro K.,

K [t] / t²:

v řeči schémata, morfismy Spec K [t] / t² do schématu X přes K. odpovídají výběru a racionální bod x ∈ X (k) a prvek tečného prostoru v X.^[3] Proto se také mluví o tečné vektory. Viz také: tečný prostor funktoru.

Viz také

• Tečný kužel
• Jet (matematika)

Reference

Knihy

• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157
• David Eisenbud; Joe Harris (1998). Geometrie schémat. Springer-Verlag. ISBN  0-387-98637-5.

externí odkazy

• Zariski tečný prostor. V.I. Danilov (původce), Encyclopedia of Mathematics.