Torická odrůda - Toric variety - Wikipedia

v algebraická geometrie, a torická odrůda nebo vložení torusu je algebraická rozmanitost obsahující algebraický torus jako otevřený hustá podmnožina, tak, že akce torus sám o sobě se vztahuje na celou odrůdu. Někteří autoři to také vyžadují normální. Torické odrůdy tvoří důležitou a bohatou třídu příkladů v algebraické geometrii, které často poskytují testovací základ pro věty. Geometrie torické odrůdy je plně určena kombinatorika přidruženého ventilátoru, což často činí výpočty mnohem přijatelnějšími. Pro určitou speciální, ale stále docela obecnou třídu torických odrůd jsou tyto informace zakódovány také do polytopu, který vytváří silné spojení subjektu s konvexní geometrií. Známé příklady torických odrůd jsou afinní prostor, projektivní prostory, produkty projektivních prostor a svazky nad projektivní prostor.

Torické odrůdy od tori

Původní motivací ke studiu torických odrůd bylo studium zakotvení torusu. Vzhledem k algebraickému torusu T, skupina postav Hom (T,C^X) tvoří mříž. Vzhledem k tomu, sbírka bodů A, podmnožina této mřížky, každý bod určuje mapu C a tím kolekce určuje mapu C^{| A |}. Přijetím Zariskiho uzavření obrazu takové mapy získá člověk afinní odrůdu. Pokud je sbírka mřížových bodů A generuje mřížku znaků, tato odrůda je vložením torusu. Podobným způsobem lze vytvořit parametrizovanou projektivní torickou odrůdu tím, že vezmeme projektivní uzavření výše uvedené mapy a prohlížíme ji jako mapu do afinní oblasti projektivního prostoru.

Vzhledem k projektivní torické rozmanitosti si všimněte, že můžeme zkoumat její geometrii pomocí jednoparametrových podskupin. Každá podskupina parametrů určená bodem v mřížce, která je duální vzhledem k mřížce znaků, je propíchnutá křivka uvnitř projektivní torické odrůdy. Jelikož je odrůda kompaktní, má tato propíchnutá křivka jedinečný mezní bod. Tím, že rozdělíme mřížku podskupiny s jedním parametrem o mezní body propíchnutých křivek, získáme mřížový ventilátor, sbírku mnohostěnných racionálních kuželů. Kužele nejvyšší dimenze přesně odpovídají pevným bodům torusu, limitům těchto propíchnutých křivek.

Torická rozmanitost ventilátoru

Předpokládejme to N je konečná hodnost bezplatná abelianská skupina. Silně konvexní racionální polyedrický kužel N je konvexní kužel (skutečného vektorového prostoru N) s vrcholem na počátku, generovaným konečným počtem vektorů N, který neobsahuje žádný řádek přes původ. Ty se budou zkráceně jmenovat „šišky“.

Pro každý kužel σ jeho afinní torická odrůda U_σ je spektrum poloskupinová algebra z dvojitý kužel.

A fanoušek je sbírka kuželů uzavřených pod křižovatkami a tvářemi.

Torická odrůda ventilátoru je dána odebráním afinních torických odrůd jejích šišek a jejich slepením pomocí identifikace U_σ s otevřenou podrodinou U_τ kdykoli σ je tváří τ. Naopak každý fanoušek silně konvexních racionálních kuželů má přidruženou torickou rozmanitost.

Ventilátor spojený s torickou odrůdou kondenzuje některá důležitá data o odrůdě. Například odrůda je hladký pokud každý kužel v jeho ventilátoru může být generován podmnožinou a základ pro bezplatnou abelianskou skupinu N.

Morfismy torických odrůd

Předpokládejme, že Δ₁ a Δ₂ jsou fanoušci v mřížích N₁ a N₂. Li F je lineární mapa z N₁ na N₂ tak, že obraz každého kužele Δ₁ je obsažen v kuželu Δ₂, pak F vyvolává morfismus F_* mezi odpovídajícími torickými odrůdami. Tato mapa F_* je správné, pokud a pouze v případě, že mapa F mapy | Δ₁| na | Δ₂|, kde | Δ | je podkladový prostor ventilátoru Δ daný spojením jeho kuželů.

Řešení singularit

Torická odrůda je nesingulární, pokud její kužele maximální dimenze jsou generovány na základě mřížky. To znamená, že každá torická odrůda má rozlišení singularit dané jinou torickou odrůdou, kterou lze zkonstruovat rozdělením maximálních kuželů na kužely nesingulárních torických odrůd.

Torická rozmanitost konvexního mnohostoru

Fanoušek racionálního konvexního mnohostěnu N sestává z kužele přes jeho správné tváře. Torická odrůda polytopu je torická odrůda jeho ventilátoru. Variací této konstrukce je převzetí racionálního polytopu v duálu N a vezměte torickou rozmanitost jeho polárního souboru N.

Torická odrůda má mapu k polytopu v duálu N jejichž vlákna jsou topologická tori. Například složitá projektivní rovina CP² mohou být reprezentovány třemi složitými souřadnicemi vyhovujícími

${ displaystyle | z_ {1} | ^ {2} + | z_ {2} | ^ {2} + | z_ {3} | ^ {2} = 1, , !}$

kde částka byla vybrána tak, aby odpovídala skutečné části projektivní mapy se změněným měřítkem, a souřadnice musí být navíc identifikovány následujícími U (1) akce:

${ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}) přibližně e ^ {i phi} (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}). , !}$

Přístupem torické geometrie je psaní

${ displaystyle (x, y, z) = (| z_ {1} | ^ {2}, | z_ {2} | ^ {2}, | z_ {3} | ^ {2}). , ! }$

Souřadnice ${ displaystyle x, y, z}$ jsou nezáporné a parametrizují trojúhelník, protože

${ displaystyle x + y + z = 1; , !}$

to je

${ displaystyle quad z = 1-x-y. , !}$

Trojúhelník je torická základna komplexní projektivní roviny. Generické vlákno je dvou-torus parametrizovaný fázemi ${ displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$; fáze ${ displaystyle z_ {3}}$ může být zvolen skutečným a pozitivním ${ displaystyle U (1)}$ symetrie.

Nicméně, dva-torus degeneruje do tří různých kruhů na hranici trojúhelníku, tj. V ${ displaystyle x = 0}$ nebo ${ displaystyle y = 0}$ nebo ${ displaystyle z = 0}$ protože fáze ${ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}$ se stává nedůležitým, resp.

Přesná orientace kruhů v torusu je obvykle znázorněna sklonem liniových intervalů (v tomto případě po stranách trojúhelníku).

Vztah k zrcadlové symetrii

Myšlenka torických odrůd je užitečná pro zrcadlová symetrie protože interpretace určitých dat ventilátoru jako dat polytopu vede ke geometrické konstrukci zrcadlových potrubí.

Reference

• Cox, David (2003), „Co je to torická odrůda?“, Témata v algebraické geometrii a geometrickém modelování, Contemp. Matematika., 334„Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., S. 203–223, PAN  2039974
• Cox, David A .; Malý, John B .; Schenck, Hal, Torické odrůdy
• Danilov, V. I. (1978), „Geometrie torických odrůd“, Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 33 (2): 85–134, doi:10.1070 / RM1978v033n02ABEH002305, ISSN  0042-1316, PAN  0495499
• Fulton, William (1993), Úvod do torických odrůd, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-00049-7
• Kempf, G .; Knudsen, Finn Faye; Mumford, David; Saint-Donat, B. (1973), Toroidní vložení. JáPřednášky z matematiky, 339, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0070318, ISBN  978-3-540-06432-9, PAN  0335518
• Miller, Ezra (2008), „Co je to ... torická odrůda?“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 55 (5): 586–587, ISSN  0002-9920, PAN  2404030
• Oda, Tadao (1988), Konvexní těla a algebraická geometrie, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech (3)], 15, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-17600-8, PAN  0922894

externí odkazy

• Domovská stránka D. A. Coxe, s několika přednáškami o torických odrůdách

Viz také

• Gordanovo lemma
• Torický ideál
• Torický zásobník (zhruba se to získá nahrazením kroku s a GIT kvocient podle a zásobník kvocientů )
• Toroidní vkládání