Normální schéma - Normal scheme

v algebraická geometrie, an algebraická rozmanitost nebo schéma X je normální pokud je to v každém bodě normální, to znamená, že místní prsten v tomto bodě je integrálně uzavřená doména. An afinní odrůda X (chápáno jako neredukovatelné) je normální, právě když prsten Ó(X) z běžné funkce na X je integrálně uzavřená doména. Odrůda X nad polem je normální právě tehdy, když každý konečný birational morphism z jakékoli odrůdy Y na X je izomorfismus.

Normální odrůdy byly zavedeny Zariski  (1939, oddíl III).

Geometrické a algebraické interpretace normality

Morfismus odrůd je konečný, pokud je inverzní obraz každého bodu konečný a morfismus ano správně. Morfismus odrůd je birational, pokud se omezuje na izomorfismus mezi hustými otevřenými podmnožinami. Například například vrcholová kubická křivka X v afinní rovině A² definován X² = y³ není normální, protože existuje konečný biracní morfismus A¹ → X(a to, t mapy do (t³, t²)), což není izomorfismus. Naproti tomu afinní linie A¹ je normální: nelze ji dále zjednodušit konečnými biracními morfismy.

Normální komplexní odrůda X má vlastnost, při pohledu jako stratifikovaný prostor pomocí klasické topologie je každý odkaz propojen. Ekvivalentně každý složitý bod X má svévolně malé čtvrti U takhle U minus singulární soubor X je připojen. Z toho například vyplývá, že nodální kubická křivka X na obrázku, definované X² = y²(y + 1), není normální. To také vyplývá z definice normality, protože existuje konečný biracní morfismus z A¹ na X což není izomorfismus; pošle dva body A¹ do stejného bodu v X.

Křivka y² = X²(X + 1)

Obecněji, a systém X je normální pokud každý z jeho místní prsteny

Ó_{X, x}

je integrálně uzavřená doména. To znamená, že každý z těchto prstenů je integrální doména Ra každý prsten S s R ⊆ S ⊆ Frac (R) takové, že S je definitivně vygenerován jako R-module se rovná R. (Tady Frac (R) označuje pole zlomků z R.) Toto je přímý překlad, pokud jde o lokální prstence, geometrické podmínky, kterou každý konečný birational morfismus X je izomorfismus.

Starší představa je, že subvariety X projektivního prostoru je lineárně normální pokud je lineární systém poskytující vložení kompletní. Ekvivalentně X ⊆ Pⁿ není lineární projekce vložení X ⊆ P^{n + 1} (pokud X je obsažen v nadrovině Pⁿ). Toto je význam „normálního“ ve frázích racionální normální křivka a racionální normální svitek.

Každý pravidelné schéma je normální. Naopak, Zariski (1939, věta 11) ukázala, že každá normální odrůda je pravidelná mimo podmnožinu codimension alespoň 2 a podobný výsledek platí pro schémata.^[1] Takže například každý normální křivka je pravidelný.

Normalizace

Žádný omezené schéma X má jedinečný normalizace: normální schéma Y s integrálním biracním morfismem Y → X. (Pro X rozmanitost nad polem, morfismus Y → X je konečný, což je silnější než „integrální“.^[2]) Normalizace schématu dimenze 1 je pravidelná a normalizace schématu dimenze 2 má pouze ojedinělé singularity. Normalizace se obvykle nepoužívá rozlišení singularit pro schémata vyšší dimenze.

Chcete-li definovat normalizaci, nejprve předpokládejme, že X je neredukovatelné omezené schéma X. Každá afinní otevřená podmnožina X má formu Spec R s R an integrální doména. Psát si X jako svaz afinních otevřených podmnožin Spec A_i. Nechat B_i být integrální uzávěr z A_i ve svém zlomkovém poli. Pak normalizace X je definováno slepením afinních schématSpec B_i.

Příklady

Pokud počáteční schéma není neredukovatelné, je normalizace definována jako disjunktní sjednocení normalizací neredukovatelných složek.

Normalizace hrotu

Zvažte afinní křivku

${ displaystyle C = { text {Spec}} vlevo ({ frac {k [x, y]} {y ^ {2} -x ^ {5}}} vpravo)}$

se špičkovou singularitou na počátku. Jeho normalizace může být dána mapou

${ displaystyle { text {Spec}} (k [t]) do C}$

indukované z mapy algebry

${ displaystyle x mapsto t ^ {2}, y mapsto t ^ {5}}$

Normalizace os v afinní rovině

Například,

${ displaystyle X = { text {Spec}} ( mathbb {C} [x, y] / (xy))}$

není neredukovatelné schéma, protože má dvě složky. Jeho normalizace je dána morfismem schématu

${ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {C} [x, y] / (x) times mathbb {C} [x, y] / (y)) na { text {Spec} } ( mathbb {C} [x, y] / (xy))}$

indukované z těchto dvou kvocientových map

${ displaystyle mathbb {C} [x, y] / (xy) až mathbb {C} [x, y] / (x, xy) = mathbb {C} [x, y] / (x) }$

${ displaystyle mathbb {C} [x, y] / (xy) až mathbb {C} [x, y] / (y, xy) = mathbb {C} [x, y] / (y) }$

Normalizace redukovatelné projektivní odrůdy

Podobně pro homogenní neredukovatelné polynomy ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {k}}$ v UFD normalizace

${ displaystyle { text {Proj}} left ({ frac {k [x_ {0}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {1} cdots f_ {k}, g)}} že jo)}$

je dán morfismem

${ displaystyle { text {Proj}} left ( prod { frac {k [x_ {0} ldots, x_ {n}]} {(f_ {i}, g)}} right) to { text {Proj}} left ({ frac {k [x_ {0}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {1} cdots f_ {k}, g)}} vpravo) }$

Viz také

• Noetherovo normalizační lema
• Řešení singularit

Poznámky

Reference

• Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra. S pohledem na algebraickou geometrii., Postgraduální texty z matematiky, 150, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN  978-0-387-94268-1, PAN  1322960
• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157, str. 91
• Zariski, Oscar (1939), „Některé výsledky v aritmetické teorii algebraických variet.“, Amer. J. Math., 61 (2): 249–294, doi:10.2307/2371499, JSTOR  2371499, PAN  1507376