Kruh polynomiálních funkcí - Ring of polynomial functions
v matematika, kruh polynomiálních funkcí na vektorový prostor PROTI přes pole k dává analog bez souřadnic a polynomiální kruh. Označuje to k[PROTI]. Li PROTI je konečný rozměr a je zobrazen jako algebraická rozmanitost, pak k[PROTI] je přesně ten souřadnicový kruh z PROTI.
Explicitní definice prsten lze uvést následovně. Li je polynomický kruh, pak můžeme zobrazit jako souřadnicové funkce na ; tj., když To naznačuje následující: daný vektorový prostor PROTI, nechť k[PROTI] být komutativní k-algebra generované dvojí prostor , což je podřízený prstenu všech funkce . Pokud opravíme a základ pro PROTI a piš tedy pro jeho dvojí základ k[PROTI] skládá se z polynomy v .
Li k je tedy nekonečný k[PROTI] je symetrická algebra duálního prostoru .
V aplikacích jeden také definuje k[PROTI] když PROTI je definován u některých podpole z k (např., k je komplex pole a PROTI je nemovitý vektorový prostor.) Stále platí stejná definice.
V celém článku je pro zjednodušení základní pole k se předpokládá, že je nekonečný.
Vztah s polynomiálním prstencem
Nechat být soubor všech polynomů nad polem K. a B být množina všech polynomiálních funkcí v jedné proměnné K.. Oba A a B jsou algebry u konce K. dané standardním násobením a přidáním polynomů a funkcí. Můžeme mapovat každý v A na v B pravidlem . Rutinní kontrola ukazuje, že mapování je homomorfismus algeber A a B. Tento homomorfismus je izomorfismus kdyby a jen kdyby K. je nekonečné pole. Například pokud K. je konečné pole, pak necháme . str je nenulový polynom v K.[X], nicméně pro všechny t v K., tak je nulová funkce a náš homomorfismus není izomorfismus (a ve skutečnosti algebry nejsou izomorfní, protože algebra polynomů je nekonečná, zatímco polynomiální funkce je konečná).
Li K. je nekonečný, pak vyberte polynom F takhle . Chceme ukázat, že to znamená . Nechat a nechte být n +1 odlišné prvky K.. Pak pro a tím Lagrangeova interpolace my máme . Proto mapování je injekční. Protože toto mapování je jasně surjektivní, to je bijektivní a tedy izomorfismus algebry A a B.
Symetrické multilineární mapy
Nechat k být nekonečným polem charakteristický nula (nebo alespoň velmi velká) a PROTI konečný trojrozměrný vektorový prostor.
Nechat označuje vektorový prostor vícelineárních funkcionálů které jsou symetrické; je stejný pro všechny obměny je.
Libovolný λ vstup dává vzniknout a homogenní polynom funkce F z stupeň q: prostě jsme to nechali To vidět F je polynomická funkce, vyberte základ z PROTI a je to dvojí. Pak
- ,
z čehož vyplývá F je polynom v tije.
Existuje tedy dobře definovaný lineární mapa:
Ukazujeme, že jde o izomorfismus. Volba základu jako dříve, libovolná homogenní polynomiální funkce F stupně q lze napsat jako:
kde jsou symetrické . Nechat
Jasně, je identita; zejména φ je surjektivní. Chcete-li vidět, že φ je injektivní, předpokládejme φ (λ) = 0. Zvažte
- ,
což je nula. Koeficient t1t2 … tq ve výše uvedeném výrazu je q! krát λ (proti1, …, protiq); z toho vyplývá, že λ = 0.
Poznámka: φ je nezávislé na volbě základny; takže výše uvedený důkaz ukazuje, že ψ je také nezávislý na základě, skutečnost nikoli a priori zřejmé.
Příklad: Z bilineární funkce vznikne a kvadratická forma jedinečným způsobem a tímto způsobem vzniká jakákoli kvadratická forma.
Taylor série expanze
Vzhledem k tomu, hladký funkce, lokálně, lze získat a parciální derivace funkce z jejího Taylor série expanze a naopak je možné obnovit funkci ze sériové expanze. Tato skutečnost nadále platí pro funkce polynomů ve vektorovém prostoru. Li F je v k[PROTI], pak napíšeme: pro X, y v PROTI,
kde Gn(x, y) jsou homogenní stupně n v ya jen konečně je mnoho z nich nenulové. Pak jsme to nechali
což má za následek lineární endomorfismus Py z k[PROTI]. Nazývá se to polarizační operátor. Poté jsme, jak jsme slíbili:
Teorém — Pro každého F v k[V] a X, y v PROTI,
- .
Důkaz: Nejprve si povšimneme, že (Py F) (X) je koeficient t v F(X + t y); jinými slovy, protože G0(X, y) = G0(X, 0) = F(X),
kde je pravá strana podle definice
Z toho vyplývá věta. Například pro n = 2, máme:
Obecný případ je podobný.
Operátor algebra produktu
Když jsou polynomy oceněny ne nad polem k, ale přes nějakou algebru pak lze definovat další strukturu. Tak například lze považovat kruh funkcí za GL (n, m), místo pro k = GL (1, m).[je zapotřebí objasnění ] V tomto případě lze uložit další axiom.
The operátorská produktová algebra je asociativní algebra formuláře
The strukturní konstanty musí být spíše funkce s jednou hodnotou než sekce některých vektorový svazek. Pole (nebo operátory) jsou povinny překlenout kruh funkcí. V praktických výpočtech se obvykle vyžaduje, aby částky byly v některých analytické poloměr konvergence; obvykle s poloměrem konvergence . Tudíž kruh funkcí lze považovat za kruh polynomiálních funkcí.
Výše uvedené lze považovat za další požadavek kladený na prsten; někdy se tomu říká bootstrap. v fyzika, zvláštní případ algebry operátorského produktu je známý jako rozšíření produktu operátora.
Viz také
- Algebraická geometrie projektivních prostorů
- Polynomiální kruh
- Symetrická algebra
- Zariski tečný prostor
Poznámky
Reference
- Kobayashi, S .; Nomizu, K. (1963), Základy diferenciální geometrie, Sv. 2 (nové vydání), Wiley-Interscience (publikováno 2004).