Symetrický prostor - Symmetric space

Lež skupiny
Klasické skupiny Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n)
Jednoduché Lie skupiny Seznam jednoduchých Lieových skupin Klasický An Bn Cn Dn Výjimečný G2 F4 E6 E7 E8
Další Lie skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry Lieova skupina - korespondence algebry Lie Exponenciální mapa Sdružené zastoupení Formulář zabíjení Index Symetrie bodu lži Jednoduchá algebra lži
Poloplná Lieova algebra Dynkinovy ​​diagramy Cartan subalgebra Kořenový systém Weylova skupina Skutečná forma Složitění Split Lie algebra Kompaktní Lieova algebra
Teorie reprezentace Zastoupení skupiny lži Zastoupení algebry lži Teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber Věta o nejvyšší hmotnosti Borel – Weil – Bottova věta
Lež skupiny v fyzika Fyzika částic a teorie reprezentace Zastoupení skupiny Lorentz Zastoupení skupiny Poincaré Galileovské reprezentace skupiny
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin

v matematika, a symetrický prostor je pseudo-Riemannovo potrubí jehož skupina symetrií obsahuje inverzní symetrie o každém bodě. To lze studovat pomocí nástrojů Riemannova geometrie, což vede k následkům v teorii holonomy; nebo algebraicky skrz Teorie lži, který povolil Cartan poskytnout úplnou klasifikaci. Symetrické prostory se běžně vyskytují v diferenciální geometrie, teorie reprezentace a harmonická analýza.

Z geometrického hlediska je kompletní, jednoduše spojené Riemannovo potrubí symetrický prostor právě tehdy, když je jeho tenzor zakřivení neměnný pod paralelním transportem. Obecněji řečeno, Riemannovo potrubí (M, G) se říká, že je symetrický právě tehdy, když pro každý bod p z M, existuje izometrie M upevnění p a působí na tečný prostor ${ displaystyle T_ {p} M}$ jako mínus identita (každý symetrický prostor je kompletní, protože libovolnou geodetiku lze na neurčito prodloužit pomocí symetrií o koncových bodech). Oba popisy lze také přirozeně rozšířit na nastavení pseudoriemanianské rozdělovače.

Z hlediska teorie Lie je kvocientem symetrický prostor G/H připojeného Lež skupina G podskupinou Lie H což je (připojená součást) neměnná skupina an involuce z G. Tato definice zahrnuje více než Riemannovu definici a redukuje se na ni, když H je kompaktní.

Riemannovy symetrické prostory vznikají v nejrůznějších situacích v matematice i fyzice. Jejich ústřední roli v teorii holonomie objevil Marcel Berger. Jsou důležitými předměty studia v teorii reprezentace a harmonické analýze i v diferenciální geometrii.

Geometrická definice

Nechat M být připojené Riemannovo potrubí a p bod M. Difeomorfismus F sousedství p se říká, že je geodetická symetrie pokud to opraví bod p a obrátí geodetiku přes tento bod, tj. pokud y je geodetická s ${ displaystyle gamma (0) = p}$ pak ${ displaystyle f ( gamma (t)) = gamma (-t).}$ Z toho vyplývá, že derivát mapy F na p je minus mapa identity na tečný prostor z p. Na obecném Riemannově potrubí F nemusí být izometrické, ani jej nelze obecně rozšířit ze sousedství p všem M.

M se říká, že je místně Riemannian symetrický pokud jsou jeho geodetické symetrie ve skutečnosti izometrické. To je ekvivalentní zmizení kovariantní derivace tenzoru zakřivení. Lokálně symetrický prostor je považován za a (globálně) symetrický prostor pokud jsou navíc jeho geodetické symetrie definovány na všech M.

Základní vlastnosti

The Cartan – Ambrose – Hicksova věta to naznačuje M je místně Riemannian symetrický kdyby a jen kdyby jeho tenzor zakřivení je kovariančně konstantní, a navíc, že ​​každý jednoduše připojeno, kompletní místně Riemannovský symetrický prostor je ve skutečnosti Riemannovský symetrický.

Každý Riemannovský symetrický prostor M je kompletní a Riemannian homogenní (což znamená, že izometrická skupina M působí přechodně na M). Ve skutečnosti již na složku identity skupiny izometrie působí přechodně M (protože M je připojen).

Lokálně Riemannovy symetrické prostory, které nejsou Riemannovy symetrické, mohou být konstruovány jako kvocienty Riemannovských symetrických prostorů samostatnými skupinami izometrií bez pevných bodů a jako otevřené podmnožiny (lokálně) Riemannovských symetrických prostorů.

Příklady

Základní příklady Riemannovských symetrických prostorů jsou Euklidovský prostor, koule, projektivní prostory, a hyperbolické prostory, každý s jejich standardní Riemannovskou metrikou. Další příklady poskytuje kompaktní, polojednodušší Lež skupiny vybaven bi-invariantní Riemannovou metrikou.

Každý kompaktní Riemannův povrch rodu většího než 1 (s obvyklou metrikou konstantního zakřivení −1) je lokálně symetrický prostor, ale ne symetrický prostor.

Každý prostor pro čočky je místně symetrický, ale ne symetrický, s výjimkou ${ displaystyle L (2,1)}$ což je symetrické. Prostory čočky jsou kvocienty 3-koule diskrétní izometrií, která nemá pevné body.

Příkladem neriemannovského symetrického prostoru je anti-de Sitterův prostor.

Algebraická definice

Nechat G být spojen Lež skupina. Pak symetrický prostor pro G je homogenní prostor G/H kde je stabilizátor H typického bodu je otevřená podskupina množiny pevných bodů an involuce σ v Aut (G). Tím pádem σ je automorfismem G s σ² = id_G a H je otevřená podskupina invariantní množiny

${ displaystyle G ^ { sigma} = {g v G: sigma (g) = g }.}$

Protože H je otevřený, je to spojení složek G^σ (samozřejmě včetně komponenty identity).

Jako automorfismus G, σ opravuje prvek identity a tím, že diferencuje identitu, indukuje automorfismus Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ z G, také označeno σ, jehož čtvercem je identita. Z toho vyplývá, že vlastní čísla σ jsou ± 1. Vlastní +1 je Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ z H (protože toto je Lieova algebra z G^σ) a bude označen -1 vlastní prostor ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$. Od té doby σ je automorfismem ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, to dává přímý součet rozklad

${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {h}} oplus { mathfrak {m}}}$

s

${ displaystyle [{ mathfrak {h}}, { mathfrak {h}}] podmnožina { mathfrak {h}}, ; [{ mathfrak {h}}, { mathfrak {m}}]] podmnožina { mathfrak {m}}, ; [{ mathfrak {m}}, { mathfrak {m}}] subset { mathfrak {h}}.}$

První podmínka je automatická pro jakýkoli homogenní prostor: říká pouze nekonečně malý stabilizátor ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ je Lieova subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Druhá podmínka to znamená ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ je ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$-invariantní doplněk k ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Libovolný symetrický prostor je tedy a reduktivní homogenní prostor, ale existuje mnoho redukčních homogenních prostorů, které nejsou symetrickými prostory. Klíčovou vlastností symetrických prostorů je třetí podmínka ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ závorky do ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$.

Naopak, vzhledem k jakékoli lže algebře ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ s přímým rozkladem součtu splňujícím tyto tři podmínky, lineární mapu σ, shodný s totožností na ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ a minus totožnost zapnuta ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$, je involutivní automorfismus.

Riemannovy symetrické prostory uspokojují Lie-teoretickou charakterizaci

Li M je Riemannovský symetrický prostor, složka identity G izometrické skupiny M je Lež skupina působící přechodně na M (to znamená, M je Riemannian homogenní). Pokud tedy nějaký bod opravíme p z M, M je difeomorfní s kvocientem G / K., kde K. označuje izotropní skupina akce G na M na p. Diferenciací akce na p získáme izometrickou akci K. na T_pM. Tato akce je věrná (např. Podle Kostantovy věty je jakákoli izometrie ve složce identity určena její 1 paprsek kdykoli) a tak K. je podskupina ortogonální skupiny T_pM, tedy kompaktní. Navíc, pokud označíme s_p: M → M geodetická symetrie M na p, mapa

${ displaystyle sigma: G až G, h mapsto s_ {p} circ h circ s_ {p}}$

je involutivní Lež skupina automorfismus taková, že izotropní skupina K. je obsažen mezi skupinou pevných bodů σ a jeho^{[je zapotřebí objasnění ]} komponenta identity (tedy otevřená podskupina).

Shrnout, M je symetrický prostor G/K. s kompaktní izotropní skupinou K.. Naopak, symetrické prostory s kompaktní izotropní skupinou jsou Riemannovy symetrické prostory, i když ne nutně jedinečným způsobem. Abychom získali Riemannovu symetrickou strukturu prostoru, musíme opravit a K.-invariantní vnitřní produkt na tečném prostoru do G/K. u identity coset eK: takový vnitřní produkt vždy existuje průměrováním, protože K. je kompaktní a jedná s G, získáme a G-invariantní Riemannova metrika G na G/K..

To ukázat G/K. je Riemannian symetrický, zvažte jakýkoli bod p = hK (coset of K., kde h ∈ G) a definujte

${ displaystyle s_ {p}: M až M, quad h'K mapsto h sigma (h ^ {- 1} h ') K}$

kde σ je involuce G upevnění K.. Pak je možné to zkontrolovat s_p je izometrie s (jasně) s_p(p) = p a (rozlišením) ds_p rovná se mínus identita na T_pM. Tím pádem s_p je geodetická symetrie a od p bylo svévolné, M je Riemannovský symetrický prostor.

Pokud začínáme Riemannovským symetrickým prostorem M, a poté provede tyto dvě konstrukce v pořadí, pak získaný Riemannovský symetrický prostor je izometrický k původnímu. To ukazuje, že „algebraická data“ (G,K.,σ,G) zcela popsat strukturu M.

Klasifikace Riemannovských symetrických prostorů

Algebraický popis Riemannovských symetrických prostorů povolen Élie Cartan získat jejich úplnou klasifikaci v roce 1926.

Pro daný Riemannovský symetrický prostor M nechť (G,K.,σ,G) být algebraická data s ním spojená. Zařadit možné třídy izometrie třídy M, nejprve si všimněte, že univerzální kryt Riemannova symetrického prostoru je opět Riemannova symetrická a krycí mapa je popsána dělením spojené izometrické skupiny G krytiny podskupinou jejího středu. Můžeme to tedy předpokládat, aniž bychom ztratili obecnost M je jednoduše připojen. (Z toho vyplývá K. je propojen dlouhá přesná sekvence fibrace, protože G je spojeno předpokladem.)

Klasifikační schéma

Jednoduše spojený riemannovský symetrický prostor se říká neredukovatelné pokud to není součin dvou nebo více Riemannovských symetrických prostorů. Potom lze ukázat, že jakýkoli jednoduše spojený Riemannův symetrický prostor je Riemannovým produktem neredukovatelných. Proto se můžeme dále omezit na klasifikaci neredukovatelných, jednoduše spojených Riemannovských symetrických prostorů.

Dalším krokem je ukázat, že jakýkoli neredukovatelný, jednoduše spojený Riemannovský symetrický prostor M je jednoho z následujících tří typů:

1. Euklidovský typ: M má mizející zakřivení, a je proto izometrický k a Euklidovský prostor.

2. Kompaktní typ: M má nezáporné (ale ne identicky nulové) řezové zakřivení.

3. Nekompaktní typ: M má nepozitivní (ale ne identicky nulové) průřezové zakřivení.

Rafinovanější invariant je hodnost, což je maximální rozměr podprostoru tečného prostoru (do libovolného bodu), na kterém je zakřivení identicky nulové. Pořadí je vždy alespoň jedno, s rovností, pokud je průřezové zakřivení kladné nebo záporné. Pokud je zakřivení kladné, je prostor kompaktního typu a pokud je záporný, jedná se o nekompaktní typ. Mezery euklidovského typu mají hodnost rovnou jejich dimenzi a jsou izometrické vůči euklidovskému prostoru dané dimenze. Proto zbývá klasifikovat neredukovatelné, jednoduše spojené Riemannovy symetrické prostory kompaktního a nekompaktního typu. V obou případech existují dvě třídy.

A. G je (skutečná) jednoduchá Lieova skupina;

B. G je buď produktem kompaktní jednoduché Lieovy skupiny se sebou (kompaktní typ), nebo komplexací takové Lieovy skupiny (nekompaktní typ).

Příklady ve třídě B jsou zcela popsány klasifikací jednoduché Lieovy skupiny. Pro kompaktní typ M je kompaktní jednoduše připojená jednoduchá Lieova skupina, G je M×M a K. je úhlopříčná podskupina. U nekompaktního typu G je jednoduše spojená komplexní jednoduchá Lieova skupina a K. je jeho maximální kompaktní podskupina. V obou případech je hodnost hodnost G.

Kompaktní jednoduše spojené Lieovy skupiny jsou univerzální obaly klasických Lieových skupin ${ displaystyle mathrm {SO} (n)}$, ${ displaystyle mathrm {SU} (n)}$, ${ displaystyle mathrm {Sp} (n)}$ a pět výjimečné Lie skupiny E₆, E₇, E₈, F₄, G₂.

Příklady třídy A jsou zcela popsány klasifikací nekompaktních jednoduše spojených skutečných jednoduchých Lieových skupin. U nekompaktního typu G je taková skupina a K. je jeho maximální kompaktní podskupina. Každý takový příklad má odpovídající příklad kompaktního typu, když vezmeme v úvahu maximální kompaktní podskupinu komplexizace G který obsahuje K.. Příměji jsou příklady kompaktního typu klasifikovány involutivními automatismy kompaktních jednoduše spojených jednoduchých Lieových skupin G (až do konjugace). Taková involuce se vztahuje i na involuce komplexifikace G, a ty zase klasifikují nekompaktní skutečné formy G.

V třídě A i třídě B tedy existuje shoda mezi symetrickými prostory kompaktního typu a nekompaktního typu. Toto je známé jako dualita pro Riemannovy symetrické prostory.

Výsledek klasifikace

Specializující se na Riemannovy symetrické prostory třídy A a kompaktního typu zjistil Cartan, že existuje následujících sedm nekonečných řad a dvanáct výjimečných Riemannovských symetrických prostorů G/K.. Jsou zde uvedeny z hlediska G a K., spolu s geometrickým výkladem, pokud jsou snadno dostupné. Označení těchto prostorů je takové, jaké uvádí Cartan.

Označení	G	K.	Dimenze	Hodnost	Geometrická interpretace
AI	${ displaystyle mathrm {SU} (n) ,}$	${ displaystyle mathrm {SO} (n) ,}$	${ displaystyle (n-1) (n + 2) / 2}$	n − 1	Prostor skutečných struktur na ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ které nechávají komplexní determinant neměnný
AII	${ displaystyle mathrm {SU} (2n) ,}$	${ displaystyle mathrm {Sp} (n) ,}$	${ displaystyle (n-1) (2n + 1)}$	n − 1	Prostor kvaternionových struktur na ${ displaystyle mathbb {C} ^ {2n}}$ kompatibilní s hermitovskou metrikou
AIII	${ displaystyle mathrm {SU} (p + q) ,}$	${ displaystyle mathrm {S} ( mathrm {U} (p) krát mathrm {U} (q)) ,}$	${ displaystyle 2pq}$	min (p,q)	Grassmannian komplexu p-dimenzionální podprostory ${ displaystyle mathbb {C} ^ {p + q}}$
BDI	${ displaystyle mathrm {SO} (p + q) ,}$	${ displaystyle mathrm {SO} (p) krát mathrm {SO} (q) ,}$	${ displaystyle pq}$	min (p,q)	Grassmannian orientovaného reálného p-dimenzionální podprostory ${ displaystyle mathbb {R} ^ {p + q}}$
DIII	${ displaystyle mathrm {SO} (2n) ,}$	${ displaystyle mathrm {U} (n) ,}$	${ displaystyle n (n-1)}$	[n/2]	Prostor ortogonálních komplexních struktur na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$
CI	${ displaystyle mathrm {Sp} (n) ,}$	${ displaystyle mathrm {U} (n) ,}$	${ displaystyle n (n + 1)}$	n	Prostor složitých struktur na ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ kompatibilní s vnitřním produktem
CII	${ displaystyle mathrm {Sp} (p + q) ,}$	${ displaystyle mathrm {Sp} (p) krát mathrm {Sp} (q) ,}$	${ displaystyle 4pq}$	min (p,q)	Grassmannian kvartérní p-dimenzionální podprostory ${ displaystyle mathbb {H} ^ {p + q}}$
EI	${ displaystyle E_ {6} ,}$	${ displaystyle mathrm {Sp} (4) / { pm I } ,}$	42	6
EII	${ displaystyle E_ {6} ,}$	${ displaystyle mathrm {SU} (6) cdot mathrm {SU} (2) ,}$	40	4	Prostor symetrických podprostorů ${ displaystyle ( mathbb {C} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$ izometrický k ${ displaystyle ( mathbb {C} otimes mathbb {H}) P ^ {2}}$
EIII	${ displaystyle E_ {6} ,}$	${ displaystyle mathrm {SO} (10) cdot mathrm {SO} (2) ,}$	32	2	Složité Cayley projektivní letadlo ${ displaystyle ( mathbb {C} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$
EIV	${ displaystyle E_ {6} ,}$	${ displaystyle F_ {4} ,}$	26	2	Prostor symetrických podprostorů ${ displaystyle ( mathbb {C} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$ izometrický k ${ displaystyle mathbb {OP} ^ {2}}$
EV	${ displaystyle E_ {7} ,}$	${ displaystyle mathrm {SU} (8) / { pm I } ,}$	70	7
EVI	${ displaystyle E_ {7} ,}$	${ displaystyle mathrm {SO} (12) cdot mathrm {SU} (2) ,}$	64	4	Rosenfeldova projektivní rovina ${ displaystyle ( mathbb {H} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$ přes ${ displaystyle mathbb {H} další časy mathbb {O}}$
EVII	${ displaystyle E_ {7} ,}$	${ displaystyle E_ {6} cdot mathrm {SO} (2) ,}$	54	3	Prostor symetrických podprostorů ${ displaystyle ( mathbb {H} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$ izomorfní s ${ displaystyle ( mathbb {C} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$
EVIII	${ displaystyle E_ {8} ,}$	${ displaystyle mathrm {Spin} (16) / { pm mathrm {vol} } ,}$	128	8	Rosenfeldova projektivní rovina ${ displaystyle ( mathbb {O} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$
EIX	${ displaystyle E_ {8} ,}$	${ displaystyle E_ {7} cdot mathrm {SU} (2) ,}$	112	4	Prostor symetrických podprostorů ${ displaystyle ( mathbb {O} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$ izomorfní s ${ displaystyle ( mathbb {H} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$
FI	${ displaystyle F_ {4} ,}$	${ displaystyle mathrm {Sp} (3) cdot mathrm {SU} (2) ,}$	28	4	Prostor symetrických podprostorů ${ displaystyle mathbb {O} P ^ {2}}$ izomorfní s ${ displaystyle mathbb {H} P ^ {2}}$
FII	${ displaystyle F_ {4} ,}$	${ displaystyle mathrm {točit} (9) ,}$	16	1	Cayley projektivní letadlo ${ displaystyle mathbb {O} P ^ {2}}$
G	${ displaystyle G_ {2} ,}$	${ displaystyle mathrm {SO} (4) ,}$	8	2	Prostor subalgebry octonion algebra ${ displaystyle mathbb {O}}$ které jsou izomorfní s čtveřice algebra ${ displaystyle mathbb {H}}$

Jako Grassmannians

Modernější klasifikace (Huang & Leung 2011 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFHuangLeung2011 (Pomoc) rovnoměrně klasifikuje Riemannovy symetrické prostory, kompaktní i nekompaktní, pomocí a Freudenthal magický čtverec konstrukce. Neredukovatelné kompaktní Riemannovy symetrické prostory jsou až do konečných obalů buď kompaktní jednoduchá Lieova skupina, Grassmannian, Lagrangian Grassmannian nebo dvojitý Lagrangian Grassmannian podprostorů ${ displaystyle ( mathbf {A} otimes mathbf {B}) ^ {n},}$ pro algebry normovaného dělení A a B. Podobná konstrukce vytváří neredukovatelné nekompaktní Riemannovy symetrické prostory.

Obecné symetrické prostory

Důležitá třída symetrických prostorů zobecňující Riemannovy symetrické prostory jsou pseudo-Riemannovy symetrické prostory, ve kterém je Riemannova metrika nahrazena a pseudoriemanianská metrika (nedegenerovat místo pozitivního určitého na každém tangenciálním prostoru). Zejména, Lorentzian symetrické prostory, tj., n rozměrné pseudo-Riemannovy symetrické prostory podpisu (n - 1,1), jsou důležité v obecná relativita, nejpozoruhodnější příklady Minkowského prostor, De Sitterův prostor a anti-de Sitterův prostor (s nulovým, kladným a záporným zakřivením). De Sitterův prostor dimenze n mohou být identifikovány s hyperboloidem s 1 vrstvou v Minkowského prostoru dimenze n + 1.

Symetrické a lokálně symetrické prostory obecně lze považovat za afinní symetrické prostory. Li M = G/H je symetrický prostor, pak Nomizu ukázal, že existuje G-invariantní bez kroucení afinní spojení (tj. afinní spojení jehož torzní tenzor zmizí) dál M jehož zakřivení je paralelní. Naopak potrubí s takovým spojením je místně symetrické (tj. Jeho univerzální kryt je symetrický prostor). Taková potrubí mohou být také popsána jako ta afinní potrubí, jejichž geodetické symetrie jsou všechny globálně definované afinní diffeomorfismy, zobecňující Riemannian a pseudo-Riemannian případ.

Výsledky klasifikace

Klasifikace Riemannovských symetrických prostorů se nevztahuje na obecný případ jednoduše z toho důvodu, že nedochází k obecnému rozdělení symetrického prostoru na produkt neredukovatelných. Tady symetrický prostor G/H s Lieovou algebrou

${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {h}} oplus { mathfrak {m}}}$

se říká, že je neredukovatelný, pokud ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ je neredukovatelné zastoupení z ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$. Od té doby ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ není poloviční (nebo dokonce redukční) obecně, může mít nerozložitelný reprezentace, které nejsou neredukovatelné.

Lze však klasifikovat neredukovatelné symetrické prostory. Jak ukazuje Katsumi Nomizu existuje dichotomie: neredukovatelný symetrický prostor G/H je buď plochý (tj. afinní prostor), nebo ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je polojednoduchý. Toto je analoga Riemannovy dichotomie mezi euklidovskými prostory a prostory kompaktního nebo nekompaktního typu a motivovala M. Bergera ke klasifikaci poloprostorových symetrických prostorů (tj. Těch s ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ poloviční) a určit, které z nich jsou neredukovatelné. Druhá otázka je jemnější než v případě Riemannova: i když ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je jednoduchý, G/H nemusí být neredukovatelné.

Stejně jako v Riemannově případě existují polojednoduché symetrické prostory s G = H × H. Libovolný polojednoduchý symetrický prostor je produktem symetrických prostorů této formy se symetrickými prostory takovými ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je jednoduchý. Zbývá popsat druhý případ. K tomu je třeba klasifikovat involutions σ (skutečné) jednoduché Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Li ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {c}}$ není tedy jednoduché ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je komplexní jednoduchá Lieova algebra a odpovídající symetrické prostory mají tvar G/H, kde H je skutečná forma G: toto jsou analogy Riemannovských symetrických prostorů G/K. s G komplexní jednoduchá Lieova skupina a K. maximální kompaktní podskupina.

Můžeme tedy předpokládat ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {c}}$ je jednoduchý. Skutečná subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ lze považovat za soustavu pevných bodů komplexu antilineární involuce τ z ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {c}}$, zatímco σ sahá až ke komplexní antilineární involuci ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {c}}$ dojíždění s τ a tedy také složitá lineární involuce σ∘τ.

Klasifikace se proto redukuje na klasifikaci dojíždějících párů antilineárních involucí komplexní Lieovy algebry. Kompozitní σ∘τ určuje komplexní symetrický prostor, zatímco τ určuje skutečnou podobu. Z toho je snadné sestavit tabulky symetrických prostorů pro jakýkoli daný ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {c}}$, a dále existuje zřejmá dualita daná výměnou σ a τ. To rozšiřuje kompaktní / nekompaktní dualitu z Riemannova případu, kde buď σ nebo τ je Cartan involuce, tj. jeho sada pevných bodů je maximální kompaktní subalgebra.

Tabulky

Následující tabulka indexuje skutečné symetrické prostory podle komplexních symetrických prostorů a reálných tvarů pro každou klasickou a výjimečnou složitou jednoduchou Lieovu skupinu.

U výjimečných jednoduchých Lieových skupin je Riemannianův případ zahrnut výslovně níže povolením σ být involucí identity (označeno pomlčkou). Ve výše uvedených tabulkách to implicitně zahrnuje případ kl=0.

Slabě symetrické Riemannovy prostory

V padesátých letech Atle Selberg rozšířil Cartanovu definici symetrického prostoru na definici slabě symetrický Riemannův prostor, nebo v současné terminologii slabě symetrický prostor. Ty jsou definovány jako Riemannovy potrubí M s tranzitivní spojenou Lieovou skupinou izometrií G a normalizace izometrie σ G takové, že dané X, y v M existuje izometrie s v G takhle sx = σy a sy = σX. (Selbergův předpoklad, že σ² by měl být prvkem G se později ukázalo jako zbytečné Ernest Vinberg.) Selberg dokázal, že vznikají slabě symetrické prostory Gelfandové páry, takže zejména jednotkové zastoupení z G na L²(M) je multiplicita zdarma.

Selbergovu definici lze také formulovat rovnocenně, pokud jde o zobecnění geodetické symetrie. Je nutné, aby pro každý bod X v M a tečna vektor X na Xexistuje izometrie s z M, záleží na X a X, takový, že

• s opravy X;
• derivát s na X posílá X do -X.

Když s je nezávislý na X, M je symetrický prostor.

Popis slabě symetrických prostorů a jejich klasifikace podle Akhiezera a Vinberga, založený na klasifikaci periodických automorfismů komplexu napůl jednoduché Lie algebry, je uveden v Vlk (2007).

Vlastnosti

Lze zaznamenat některé vlastnosti a formy symetrických prostorů.

Zvedání metrického tenzoru

The metrický tenzor na Riemannově potrubí ${ displaystyle M}$ lze zvednout na skalární součin na ${ displaystyle G}$ kombinací s Formulář zabíjení. To se provádí definováním

${ displaystyle langle X, Y rangle _ { mathfrak {g}} = { begin {cases} langle X, Y rangle _ {p} quad & X, Y v T_ {p} M cong { mathfrak {m}} - B (X, Y) quad & X, Y v { mathfrak {h}} 0 & { mbox {jinak}} end {případů}}}$

Tady, ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle _ {p}}$ je Riemannova metrika definovaná na ${ displaystyle T_ {p} M}$, a ${ displaystyle B (X, Y) = operatorname {trace} ( operatorname {ad} X circ operatorname {ad} Y)}$ je Formulář zabíjení. Znaménko minus se objeví, protože forma zabíjení je záporně určitá ${ displaystyle { mathfrak {h}} ~;}$ to dělá ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle _ { mathfrak {g}}}$ pozitivní-definitivní.

Faktorizace

Tečný prostor ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ lze dále zapracovat do vlastních prostorů klasifikovaných podle formuláře zabíjení.^[1] Toho je dosaženo definováním adjoint mapy ${ displaystyle { mathfrak {m}} do { mathfrak {m}}}$ brát ${ displaystyle Y mapsto Y ^ { #}}$ tak jako

${ displaystyle langle X, Y ^ { #} rangle = B (X, Y)}$

kde ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ je Riemannova metrika ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ a ${ displaystyle B ( cdot, cdot)}$ je forma zabíjení. Tato mapa se někdy nazývá zobecněná transpozice, as odpovídá transpozici pro ortogonální skupiny a hermitovskému konjugátu pro unitární skupiny. Jedná se o lineární funkčnost a je samoadjungovaná, takže lze dojít k závěru, že existuje ortonormální základ ${ displaystyle Y_ {1}, ldots, Y_ {n}}$ z ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ s

${ displaystyle Y_ {i} ^ { #} = lambda _ {i} Y_ {i}}$

Jedná se o ortogonální vzhledem k metrice

${ displaystyle langle Y_ {i} ^ { #}, Y_ {j} rangle = lambda _ {i} langle Y_ {i}, Y_ {j} rangle = B (Y_ {i}, Y_ {j}) = langle Y_ {j} ^ { #}, Y_ {i} rangle = lambda _ {j} langle Y_ {j}, Y_ {i} rangle}$

protože forma zabíjení je symetrická. To se dělí ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ do vlastních prostorů

${ displaystyle { mathfrak {m}} = { mathfrak {m}} _ {1} oplus cdots oplus { mathfrak {m}} _ {d}}$

s

${ displaystyle [{ mathfrak {m}} _ {i}, { mathfrak {m}} _ {j}] = 0}$

pro ${ displaystyle i neq j}$. Pro případ ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ polojediný, takže forma zabíjení je nedegenerovaná, metrika také rozloží:

${ displaystyle langle cdot, cdot rangle = { frac {1} { lambda _ {1}}} vlevo.B vpravo | _ {{ mathfrak {m}} _ {1}} + cdots + { frac {1} { lambda _ {d}}} left.B right | _ {{ mathfrak {m}} _ {d}}}$

V určitých praktických aplikacích lze tuto faktorizaci interpretovat jako spektrum operátorů, např. spektrum atomu vodíku, s vlastními hodnotami Killingovy formy odpovídající různým hodnotám momentu hybnosti orbitálu (tj. forma zabíjení je a Provozovatel kasimíru které mohou klasifikovat různé reprezentace, pod kterými se různé orbitaly transformují.)

Klasifikace symetrických prostorů probíhá na základě toho, zda je forma zabíjení pozitivní / negativní určitá.

Aplikace a zvláštní případy

Symetrické prostory a holonomie

Pokud je složka identity holonomy skupina Riemannova potrubí v bodě působí neredukovatelně na tečný prostor, pak buď potrubí je lokálně Riemannovský symetrický prostor, nebo je v jednom z 7 rodin.

Hermitovské symetrické prostory

Riemannovský symetrický prostor, který je navíc vybaven paralelní komplexní strukturou kompatibilní s Riemannovou metrikou, se nazývá Hermitovský symetrický prostor. Některé příklady jsou komplexní vektorové prostory a komplexní projektivní prostory, a to jak s jejich obvyklou Riemannovou metrikou, tak koule komplexních jednotek s vhodnými metrikami, aby se staly úplnými a Riemannovskými symetrickými.

Neredukovatelný symetrický prostor G/K. je Hermitian právě tehdy K. obsahuje středový kruh. Čtvrtina otáčky v tomto kruhu funguje jako násobení i na tangenciálním prostoru v identitním korzetu. Hermitovské symetrické prostory se tak snadno odečítají z klasifikace. V kompaktních i nekompaktních případech se ukazuje, že existují čtyři nekonečné řady, jmenovitě AIII, BDI s p = 2, DIII a CI a dva výjimečné prostory, jmenovitě EIII a EVII. Nekompaktní hermitovské symetrické prostory lze realizovat jako ohraničené symetrické domény ve složitých vektorových prostorech.

Quaternion-Kählerovy symetrické prostory

Riemannovský symetrický prostor, který je navíc vybaven paralelním podskupinou End (TM) isomorfní s imaginárními čtveřicemi v každém bodě a kompatibilní s Riemannovou metrikou, se nazývá quaternion-Kählerův symetrický prostor.

Neredukovatelný symetrický prostor G/K. je quaternion-Kähler právě tehdy, když je izotropní reprezentace K. obsahuje součet Sp (1), který funguje jako jednotkové čtveřice na kvaternionový vektorový prostor. Symetrické prostory quaternion-Kähler jsou tedy snadno odečteny z klasifikace. V kompaktních i nekompaktních případech se ukazuje, že pro každou složitou jednoduchou Lieovu skupinu existuje přesně jedna, jmenovitě AI s p = 2 nebo q = 2 (jsou izomorfní), BDI s p = 4 nebo q = 4, CII s p = 1 nebo q = 1, EII, EVI, EIX, FI a G.

Bottova věta o periodicitě

V Bottova věta o periodicitě, smyčkové mezery stáje ortogonální skupina lze interpretovat jako redukční symetrické prostory.

Viz také

• Ortogonální symetrická Lieova algebra
• Relativní kořenový systém
• Satakeův diagram
• Cartan involuce

Reference

• Akhiezer, D. N .; Vinberg, E. B. (1999), „Slabě symetrické prostory a sférické varianty“, Transf. Skupiny, 4: 3–24, doi:10.1007 / BF01236659
• van den Ban, E. P .; Flensted-Jensen, M .; Schlichtkrull, H. (1997), Harmonická analýza v polojednodušých symetrických prostorech: Přehled některých obecných výsledků, v teorii reprezentace a automorfních formách: instruktážní konference, Mezinárodní centrum pro matematické vědy, březen 1996, Edinburgh, Skotsko, Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0609-8
• Berger, Marcel (1957), „Les espaces symétriques noncompacts“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 74 (2): 85–177, doi:10,24033 / asens.1054
• Besse, Arthur Lancelot (1987), Rozdělovače Einstein, Springer-Verlag, ISBN  0-387-15279-2 Obsahuje kompaktní úvod a mnoho tabulek.
• Borel, Armand (2001), Eseje v dějinách lžových skupin a algebraických skupinAmerická matematická společnost, ISBN  0-8218-0288-7
• Cartan, Élie (1926), „Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann, I“, Bulletin de la Société Mathématique de France, 54: 214–216, doi:10,24033 / bsmf.1105
• Cartan, Élie (1927), „Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann, II“, Bulletin de la Société Mathématique de France, 55: 114–134, doi:10,24033 / bsmf.1113
• Flensted-Jensen, Mogens (1986), Analýza na neriemananských symetrických prostorech, CBMS Regional Conference, American Mathematical Society, ISBN  978-0-8218-0711-8
• Helgason, Sigurdur (1978), Diferenciální geometrie, Lieovy grupy a symetrické prostoryAkademický tisk, ISBN  0-12-338460-5 Standardní kniha o Riemannovských symetrických prostorech.
• Helgason, Sigurdur (1984), Skupiny a geometrická analýza: Integrovaná geometrie, Invariantní diferenciální operátory a sférické funkceAkademický tisk, ISBN  0-12-338301-3
• Huang, Yongdong; Leung, Naichung Conan (2010). „Jednotný popis kompaktních symetrických prostorů jako Grassmannians pomocí magického čtverce“ (PDF). Mathematische Annalen. 350 (1): 79–106. doi:10.1007 / s00208-010-0549-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Základy diferenciální geometrie, svazek II, Edice Wiley Classics Library, ISBN  0-471-15732-5 Kapitola XI obsahuje dobrý úvod do Riemannovských symetrických prostorů.
• Loos, Ottmar (1969), Symetrické prostory I: Obecná teorieBenjamin
• Loos, Ottmar (1969), Symetrické prostory II: Kompaktní prostory a klasifikaceBenjamin
• Nomizu, K. (1954), "Invariantní afinní spojení v homogenních prostorech", Amer. J. Math., 76 (1): 33–65, doi:10.2307/2372398, JSTOR  2372398
• Selberg, Atle (1956), „Harmonická analýza a diskontinuální skupiny ve slabě symetrických riemannovských prostorech, s aplikacemi pro Dirichletovu řadu“, J. Indian Math. Společnost, 20: 47–87
• Vlk, Joseph A. (1999), Prostory konstantního zakřivení (5. vydání), McGraw-Hill
• Vlk, Joseph A. (2007), Harmonická analýza na komutativních prostorechAmerická matematická společnost, ISBN  978-0-8218-4289-8