Správný morfismus - Proper morphism

v algebraická geometrie, a správný morfismus mezi schémata je analogem a správná mapa mezi složité analytické prostory.

Někteří autoři nazývají řádným odrůda přes pole k A úplná rozmanitost. Například každý projektivní rozmanitost přes pole k je správný konec k. Schéma X z konečný typ přes komplexní čísla (například odrůda) je u konce C jen a jen v případě, že prostor X(C) komplexních bodů s klasickou (euklidovskou) topologií je kompaktní a Hausdorff.

A uzavřené ponoření je správné. Morfismus je konečný právě když je to správné a kvazi-konečný.

Definice

A morfismus F: X → Y schémat se nazývá všeobecně uzavřené pokud pro každý režim Z s morfismem Z → Y, projekce z vláknitý výrobek

{ displaystyle X times _ {Y} Z až Z}

je uzavřená mapa podkladového topologické prostory. Morfismus schémat se nazývá správně Pokud to je oddělené, z konečný typ, a všeobecně uzavřené ([EGA] II, 5.4.1 [1] ). Jeden to také říká X je správný konec Y. Zejména odrůda X přes pole k se říká, že je správné k pokud morfismus X → Spec (k) je správné.

Příklady

Pro jakékoli přirozené číslo n, projektivní prostor Pⁿ přes komutativní prsten R je správný konec R. Projektivní morfismy jsou správné, ale ne všechny správné morfismy jsou projektivní. Například existuje hladký správná komplexní paleta dimenze 3, která není projektivní C.^[1] Afinní odrůdy pozitivní dimenze nad polem k nikdy nejsou správné k. Obecněji řečeno, správné afinní morfismus schémat musí být konečné.^[2] Například není těžké vidět, že afinní linie A¹ přes pole k není správné k, protože morfismus A¹ → Spec (k) není všeobecně uzavřený. Opravdu, stáhnutý morfismus

{ displaystyle mathbb {A} ^ {1} krát _ {k} mathbb {A} ^ {1} to mathbb {A} ^ {1}}

(dána (X,y) ↦ y) není uzavřen, protože obraz uzavřené podmnožiny xy = 1 palec A¹ × A¹ = A² je A¹ - 0, který není uzavřen A¹.

Vlastnosti a charakterizace správných morfismů

V následujícím textu pojďme F: X → Y být morfismem schémat.

Složení dvou správných morfismů je správné.
Žádný základní změna správného morfismu F: X → Y je správné. To je, pokud G: Z → Y je jakýkoli morfismus schémat, pak výsledný morfismus X ×_Y Z → Z je správné.
Správnost je a místní majetek na základně (v Zariskiho topologii). To je, pokud Y je pokryta některými otevřenými podsystémy Y_i a omezení F všem F⁻¹(Y_i) je správné, pak také je F.
Ještě silnější je správnost místní na základně v topologie fpqc. Například pokud X je schéma nad polem k a E je rozšíření pole o k, pak X je správný konec k právě tehdy, když se změní základna X_E je správný konec E.^[3]
Uzavřené ponoření jsou správné.
Obecněji řečeno, konečné morfismy jsou správné. To je důsledek stoupat teorém.
Podle Deligne, morfismus schémat je konečný právě tehdy, je-li správný a kvazi-konečný.^[4] To ukázal Grothendieck pokud morfismus F: X → Y je místně konečné prezentace, což vyplývá z dalších předpokladů, pokud Y je noetherian.^[5]
Pro X správné přes schéma S, a Y oddělené S, obraz jakéhokoli morfismu X → Y přes S je uzavřená podmnožina Y.^[6] To je analogické s teorémem v topologii, že obraz spojité mapy z kompaktního prostoru do Hausdorffova prostoru je uzavřená podmnožina.
The Steinová faktorizace věta říká, že jakýkoli správný morfismus pro lokálně noetherické schéma lze započítat jako X → Z → Y, kde X → Z je vlastní, surjektivní a má geometricky spojená vlákna a Z → Y je konečný.^[7]
Chowovo lemma říká, že správné morfismy úzce souvisí projektivní morfismy. Jedna verze je: pokud X je správné nad a kvazi-kompaktní systém Y a X má jen konečně mnoho neredukovatelných komponent (což je automatické pro Y noetherian), pak existuje projektivní surjektivní morfismus G: Ž → X takhle Ž je projektivní konec Y. Navíc je možné to zařídit G je izomorfismus nad hustou otevřenou podmnožinou U z X, a to G⁻¹(U) je hustá v Ž. Lze to také zařídit Ž je integrální, pokud X je integrální.^[8]
Nagatova věta o zhutnění, jak zobecnil Deligne, říká, že oddělený morfismus konečného typu mezi kvazi-kompaktní a kvazi oddělené faktory schémat jako otevřené ponoření následované správným morfismem.^[9]
Správné morfismy mezi lokálně noetherskými schématy zachovávají koherentní svazky v tom smyslu, že vyšší přímé obrázky RⁱF_∗(F) (zejména přímý obraz F_∗(F)) a souvislý svazek F jsou koherentní (EGA III, 3.2.1). (Analogicky, pro správnou mapu mezi složitými analytickými prostory, Grauert a Remmert ukázal, že vyšší přímé obrázky zachovávají koherentní analytické svazky.) Jako velmi zvláštní případ: kruh pravidelných funkcí na správném schématu X přes pole k má konečný rozměr jako a k-vektorový prostor. Naproti tomu kruh pravidelných funkcí na afinní linii končí k je polynomický kruh k[X], který nemá konečnou dimenzi jako a k-vektorový prostor.
Existuje také o něco silnější prohlášení :(EGA III, 3.2.4) nechat ${ displaystyle f dvojtečka X až S}$ být morfismem konečného typu, S místně noetherian a ${ displaystyle F}$ A ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ -modul. Pokud podpora F je správný konec S, pak pro každého ${ displaystyle i geq 0}$ the vyšší přímý obraz ${ displaystyle R ^ {i} f _ {*} F}$ je koherentní.
Pro schéma X konečného typu přes komplexní čísla, množinu X(C) komplexních bodů je a komplexní analytický prostor pomocí klasické (euklidovské) topologie. Pro X a Y oddělené a konečného typu Cmorfismus F: X → Y přes C je správné právě tehdy, když je spojitá mapa F: X(C) → Y(C) je správné v tom smyslu, že inverzní obraz každé kompaktní sady je kompaktní.^[10]
Li F: X→Y a G: Y→Z jsou takové, že gf je správné a G je tedy oddělen F je správné. To lze například snadno prokázat pomocí následujícího kritéria.

Hodnotné kritérium správnosti

K dispozici je velmi intuitivní kritérium pro správnost, které sahá až k Chevalley. To se běžně nazývá hodnotící kritérium správnosti. Nechat F: X → Y být morfismem konečného typu noetherian schémata. Pak F je správné, když a jen pokud pro všechny diskrétní oceňovací kruhy R s zlomkové pole K. a pro všechny K.-hodnota bodu X ∈ X(K.), který mapuje k bodu F(X), který je definován nad R, je zde jedinečný výtah X na ${ displaystyle { overline {x}} v X (R)}$ . (EGA II, 7.3.8). Obecněji řečeno, kvazi-oddělený morfismus F: X → Y konečného typu (poznámka: konečný typ zahrnuje kvazi-kompaktní) schémat * any * X, Y je správné, když a jen pokud pro všechny oceňovací prsteny R s zlomkové pole K. a pro všechny K.-hodnota bodu X ∈ X(K.), který mapuje k bodu F(X), který je definován nad R, je zde jedinečný výtah X na ${ displaystyle { overline {x}} v X (R)}$ . (Stacks project Tags 01KF and 01KY). Všímat si toho Spec K. je obecný bod z Spec R. a diskrétní oceňovací kruhy jsou přesně pravidelný místní jednorozměrné prstence, jeden může přeformulovat kritérium: vzhledem k pravidelné křivce Y (odpovídá morfismu s: Spec R → Y) a daný zdvih obecného bodu této křivky na X, F je správné tehdy a jen tehdy, pokud existuje přesně jeden způsob, jak křivku dokončit.

Podobně, F je oddělen, pokud a pouze v každém takovém diagramu je nejvýše jeden výtah ${ displaystyle { overline {x}} v X (R)}$ .

Například vzhledem k hodnotícímu kritériu je snadné zkontrolovat projektivní prostor Pⁿ je správné nad polem (nebo dokonce nad Z). Jeden to jednoduše pozoruje pro diskrétní oceňovací kruh R s zlomkovým polem K., každý K.-směřovat [X₀,...,X_n] projektivního prostoru pochází z R-point, změnou měřítka souřadnic tak, aby všechny ležely dovnitř R a alespoň jedna je jednotka v R.

Geometrická interpretace s disky

Jedním z motivačních příkladů hodnotícího kritéria správnosti je interpretace ${ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {C} [[t]])}$ jako nekonečně malý disk nebo komplexně analyticky jako disk ${ displaystyle Delta = {x v mathbb {C}: | x | <1 }}$ . To vychází ze skutečnosti, že každá výkonová řada

${ displaystyle f (t) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} t ^ {n}}$

konverguje v nějakém disku o poloměru ${ displaystyle r}$ kolem původu. Poté lze pomocí změny souřadnic toto vyjádřit jako výkonovou řadu na disku jednotky. Pak, když obrátíme ${ displaystyle t}$ , to je prsten ${ displaystyle mathbb {C} [[t]] [t ^ {- 1}] = mathbb {C} ((t))}$ což jsou mocenské řady, které nemohou zmizet v počátcích. To je topologicky reprezentováno jako otevřený disk ${ displaystyle Delta ^ {*} = {x v mathbb {C}: 0 <| x | <1 }}$ s odstraněným původem. Pro morfismus schémat ${ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {C})}$ , je to dáno komutativním diagramem

${ displaystyle { begin {matrix} Delta ^ {*} & to & X downarrow && downarrow Delta & to & Y end {matrix}}}$

Hodnotícím kritériem pro správnost by pak bylo vyplnění bodu ${ displaystyle 0 v Delta}$ na obrázek ${ displaystyle Delta ^ {*}}$ .

Příklad

Je poučné podívat se na protiklad, abyste zjistili, proč by hodnotové kritérium správnosti mělo platit pro prostory analogické uzavřeným kompaktním varietám. Pokud vezmeme ${ displaystyle X = mathbb {P} ^ {1} - {x }}$ a ${ displaystyle Y = { text {Spec}} ( mathbb {C})}$ , pak morfismus ${ displaystyle { text {specifikace}} ( mathbb {C} ((t))) do X}$ faktory prostřednictvím afinní tabulky ${ displaystyle X}$ , čímž se diagram zmenší na

${ displaystyle { begin {matrix} { text {Spec}} ( mathbb {C} ((t))) & to & { text {Spec}} ( mathbb {C} [t, t ^ {-1}]) downarrow && downarrow { text {Spec}} ( mathbb {C} [[t]]) & to & { text {Spec}} ( mathbb {C }) end {matice}}}$

kde ${ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {C} [t, t ^ {- 1}]) = mathbb {A} ^ {1} - {0 }}$ je graf soustředěný kolem ${ displaystyle {x }}$ na ${ displaystyle X}$ . To dává komutativní diagram komutativních algeber

${ displaystyle { begin {matrix} mathbb {C} ((t)) & leftarrow & mathbb {C} [t, t ^ {- 1}] uparrow && uparrow mathbb { C} [[t]] & leftarrow & mathbb {C} end {matrix}}}$

Poté zrušení schématu schémat, ${ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {C} [[t]]) na { text {Spec}} ( mathbb {C} [t, t ^ {- 1}])}$ znamená, že existuje morfismus ${ displaystyle mathbb {C} [t, t ^ {- 1}] to mathbb {C} [[t]]}$ odesílání ${ displaystyle t mapsto t}$ z komutativního diagramu algeber. To se samozřejmě nemůže stát. Proto ${ displaystyle X}$ není správné ${ displaystyle Y}$ .

Geometrická interpretace pomocí křivek

Existuje další podobný příklad hodnotícího kritéria správnosti, který zachycuje část intuice, proč by tato věta měla platit. Zvažte křivku ${ displaystyle C}$ a doplněk bodu ${ displaystyle C - {p }}$ . Pak by hodnotící kritérium pro správnost znělo jako diagram

${ displaystyle { begin {matrix} C - {p } & rightarrow & X downarrow && downarrow C & rightarrow & Y end {matrix}}}$

se zvedáním ${ displaystyle C až X}$ . Geometricky to znamená každou křivku ve schématu ${ displaystyle X}$ lze doplnit do kompaktní křivky. Tento kousek intuice odpovídá tomu, co schematicko-teoretická interpretace morfismu topologických prostorů s kompaktními vlákny, že sekvence v jednom z vláken musí konvergovat. Protože tato geometrická situace je místně problémem, je diagram nahrazen pohledem na místní kruh ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {C, { mathfrak {p}}}}$ , což je DVR, a jeho zlomkové pole ${ displaystyle { text {Frac}} ({ mathcal {O}} _ {C, { mathfrak {p}}})}$ . Potom problém se zvedáním dá komutativní diagram

${ displaystyle { begin {matrix} { text {Spec}} ({ text {Frac}} ({ mathcal {O}} _ {C, { mathfrak {p}}})) & rightarrow & X downarrow && downarrow { text {Spec}} ({ mathcal {O}} _ {C, { mathfrak {p}}}) & rightarrow & Y end {matrix}}}$

kde je schéma ${ displaystyle { text {Spec}} ({ text {Frac}} ({ mathcal {O}} _ {C, { mathfrak {p}}}))}$ představuje místní disk kolem ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ s uzavřeným bodem ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ odstraněn.

Správný morfismus formálních schémat

Nechat ${ displaystyle f colon { mathfrak {X}} do { mathfrak {S}}}$ být morfismem mezi lokálně noetherian formální schémata. Říkáme F je správně nebo ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ je správně přes ${ displaystyle { mathfrak {S}}}$ kdybych) F je adický morfismus (tj. mapuje ideál definice na ideál definice) a (ii) indukovanou mapu ${ displaystyle f_ {0} tračník X_ {0} do S_ {0}}$ je správné, kde ${ displaystyle X_ {0} = ({ mathfrak {X}}, { mathcal {O}} _ { mathfrak {X}} / I), S_ {0} = ({ mathfrak {S}}, { mathcal {O}} _ { mathfrak {S}} / K), I = f ^ {*} (K) { mathcal {O}} _ { mathfrak {X}}}$ a K. je ideál definice ${ displaystyle { mathfrak {S}}}$ .(EGA III, 3.4.1) Definice je nezávislá na výběru K..

Například pokud G: Y → Z je správný morfismus lokálně noetherských schémat, Z₀ je uzavřená podmnožina Z, a Y₀ je uzavřená podmnožina Y takhle G(Y₀) ⊂ Z₀, pak morfismus ${ displaystyle { widehat {g}} dvojtečka Y _ {/ Y_ {0}} do Z _ {/ Z_ {0}}}$ o formálních doplňcích je správný morfismus formálních schémat.

Grothendieck v tomto nastavení dokázal teorém o koherenci. Jmenovitě ${ displaystyle f colon { mathfrak {X}} do { mathfrak {S}}}$ být správným morfismem lokálně noetherských formálních schémat. Li F je souvislý svazek ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ , pak vyšší přímé obrázky ${ displaystyle R ^ {i} f _ {*} F}$ jsou koherentní.^[11]

Viz také

Reference

^ Hartshorne (1977), dodatek B, příklad 3.4.1.
^ Liu (2002), Lemma 3.3.17.
^ Stacks Project, značka 02YJ.
^ Grothendieck, EGA IV, část 4, Corollaire 18.12.4; Stacks Project, značka 02LQ.
^ Grothendieck, EGA IV, část 3, Théorème 8.11.1.
^ Stacks Project, Tag 01W0.
^ Stacks Project, značka 03GX.
^ Grothendieck, EGA II, Corollaire 5.6.2.
^ Conrad (2007), Věta 4.1.
^ SGA 1, XII Návrh 3.2.
^ Grothendieck, EGA III, část 1, Théorème 3.4.2.

Conrad, Brian (2007), „Deligneovy poznámky ke zhutnění Nagata“ (PDF), Journal of Ramanujan Mathematical Society, 22: 205–257, PAN 2356346
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). „Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 8: 5–222. doi:10.1007 / bf02699291. PAN 0217084., oddíl 5.3. (definice vhodnosti), oddíl 7.3. (hodnotící kritérium správnosti)
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). „Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 11: 5–167. doi:10.1007 / bf02684274. PAN 0217085.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1966). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 28: 5–255. doi:10.1007 / bf02684343. PAN 0217086., oddíl 15.7. (zevšeobecnění hodnotících kritérií na nutně nizozemské systémy)
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 32: 5–361. doi:10.1007 / bf02732123. PAN 0238860.
Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, PAN 0463157
Liu, Qing (2002), Algebraická geometrie a aritmetické křivky, Oxford: Oxford University Press, ISBN 9780191547805, PAN 1917232

externí odkazy

V.I. Danilov (2001) [1994], „Správný morfismus“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Autoři projektu The Stacks, The Stacks Project

[1] Hartshorne (1977), dodatek B, příklad 3.4.1.

[2] Liu (2002), Lemma 3.3.17.

[3] Stacks Project, značka 02YJ.

[4] Grothendieck, EGA IV, část 4, Corollaire 18.12.4; Stacks Project, značka 02LQ.

[5] Grothendieck, EGA IV, část 3, Théorème 8.11.1.

[6] Stacks Project, Tag 01W0.

[7] Stacks Project, značka 03GX.

[8] Grothendieck, EGA II, Corollaire 5.6.2.

[9] Conrad (2007), Věta 4.1.

[10] SGA 1, XII Návrh 3.2.

[11] Grothendieck, EGA III, část 1, Théorème 3.4.2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]