Šikmá odrůda - Secant variety

V algebraické geometrii je sekaná odrůda ${displaystyle operatorname {Sect} (V)}$, nebo různé akordy, a projektivní rozmanitost ${displaystyle Vsubset mathbb {P} ^ {r}}$ je Zariski uzavření unie všech sekanční linie (akordy) až PROTI v ${displaystyle mathbb {P} ^ {r}}$:^[1]

${displaystyle operatorname {Sect} (V) = igcup _ {x, yin V} {overline {xy}}}$

(pro ${displaystyle x = y}$, linie ${displaystyle {overline {xy}}}$ je tečna.) Je to také obraz pod projekcí ${displaystyle p_ {3} :( mathbb {P} ^ {r}) ^ {3} o mathbb {P} ^ {r}}$ uzávěrky Z z rozmanitost výskytu

${displaystyle {(x, y, r) | xwedge ywedge r = 0}}$.

Všimněte si, že Z má rozměr ${displaystyle 2dim V + 1}$ a tak ${displaystyle operatorname {Sect} (V)}$ má rozměr nanejvýš ${displaystyle 2dim V + 1}$.

Obecněji, ${displaystyle k ^ {th}}$ sekaná odrůda je Zariskiho uzavření spojení lineárních prostorů překlenutých sbírkami k + 1 bodů na ${displaystyle V}$. Může to být označeno ${displaystyle Sigma _ {k}}$. Výše uvedená sekánová odrůda je první odrůdou sečen. Ledaže ${displaystyle Sigma _ {k} = mathbb {P} ^ {r}}$, vždy je to singulární ${displaystyle Sigma _ {k-1}}$, ale mohou mít i další singulární body.

Li ${displaystyle V}$ má rozměr d, rozměr ${displaystyle Sigma _ {k}}$ je nanejvýš ${displaystyle kd + d + k}$Užitečným nástrojem pro výpočet dimenze sekané odrůdy je Terraciniho lemma.

Příklady

Sekanční odrůdu lze použít k prokázání skutečnosti, že a hladký projektivní křivka lze vložit do projektivního 3prostoru ${displaystyle mathbb {P} ^ {3}}$ jak následuje.^[2] Nechat ${displaystyle Csubset mathbb {P} ^ {r}}$ být hladká křivka. Od dimenze sekané odrůdy S na C má rozměr nejvýše 3, pokud ${displaystyle r> 3}$, pak je tu bod p na ${displaystyle mathbb {P} ^ {r}}$ to není zapnuto S a tak máme projekce ${displaystyle pi _ {p}}$ z p do hyperplánu H, což dává vložení ${displaystyle pi _ {p}: Chookrightarrow Hsimeq mathbb {P} ^ {r-1}}$. Nyní opakujte.

Li ${displaystyle Ssubset mathbb {P} ^ {5}}$ je povrch, který neleží v nadrovině a pokud ${displaystyle operatorname {Sect} (S) eq mathbb {P} ^ {5}}$, pak S je Veronese povrch.^[3]

Reference

• Eisenbud, David; Joe, Harris (2016), 3264 a All That: Druhý kurz v algebraické geometrii, C. U.P., ISBN  978-1107602724
• P. Griffiths; J. Harris (1994). Principy algebraické geometrie. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. p. 617. ISBN  0-471-05059-8.
• Joe Harris, Algebraická geometrie, první kurz(1992) Springer-Verlag, New York. ISBN  0-387-97716-3

Tento související s algebraickou geometrií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.