Equivariantní svazek - Equivariant sheaf

V matematice, vzhledem k akce ${ displaystyle sigma: G krát _ {S} X až X}$ a skupinové schéma G na schématu X přes základní schéma S, an ekvivariantní svazek F na X je svazek ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ - moduly společně s izomorfismem ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {G times _ {S} X}}$ - moduly

{ displaystyle phi: sigma ^ {*} F simeq p_ {2} ^ {*} F}

který splňuje podmínku cyklu:^[1]^[2] psaní m pro množení,

{ displaystyle p_ {23} ^ {*} phi circ (1_ {G} krát sigma) ^ {*} phi = (m krát 1_ {X}) ^ {*} phi}

.

Poznámky k definici

Na úrovni stonku říká podmínka cocycle, že izomorfismus ${ displaystyle F_ {gh cdot x} simeq F_ {x}}$ je stejné jako složení ${ displaystyle F_ {g cdot h cdot x} simeq F_ {h cdot x} simeq F_ {x}}$ ; tj. asociativitu skupinové akce. Důsledkem je také jednotnost skupinové akce: použít ${ displaystyle (e krát e krát 1) ^ {*}, e: S až G}$ na obě strany získat ${ displaystyle (e krát 1) ^ {*} phi circ (e krát 1) ^ {*} phi = (e krát 1) ^ {*} phi}$ a tak ${ displaystyle (e krát 1) ^ {*} phi}$ je identita.

Všimněte si, že ${ displaystyle phi}$ je další údaj; je to „výtah“ akce G na X k snopu F. Navíc, když G je spojená algebraická skupina, F invertibilní svazek a X je snížena, podmínka cyklu je automatická: jakýkoli izomorfismus ${ displaystyle sigma ^ {*} F simeq p_ {2} ^ {*} F}$ automaticky splňuje podmínku cyklu (tato skutečnost je uvedena na konci důkazu Ch. 1, § 3., Proposition 1.5. Mumfordovy „geometrické invariantní teorie“)

Pokud akce G je zdarma, pak se pojem ekvivariantního svazku zjednodušuje na svazek na kvocientu X/G, kvůli sestup po torzech.

Podle Yonedovo lemma, dát strukturu ekvivariantního svazku k ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ -modul F je stejné jako pro skupinové homomorfismy pro kruhy R přes ${ displaystyle S}$ ,

{ displaystyle G (R) to operatorname {Aut} (X times _ {S} operatorname {Spec} R, F otimes _ {S} R)}

.^[3]

Existuje také definice ekvivariantních svazků, pokud jde o jednoduché snopy. Alternativně lze definovat ekvivariantní svazek jako ekvivariantní objekt v kategorii řekněme koherentní snopy.

Linearizované svazky linek

Struktura ekvivariantního svazku na inverzním svazku nebo svazku linií se také nazývá a linearizace.

Nechat X být úplnou rozmanitostí v algebraicky uzavřeném poli působeném připojenou redukční skupinou G a L invertible sheaf on it. Li X je normální, pak nějaký tenzorový výkon ${ displaystyle L ^ {n}}$ z L je linearizovatelný.^[4]

Také pokud L je velmi bohatý a linearizovaný, pak existuje G-lineární uzavřené ponoření z X na ${ displaystyle mathbf {P} ^ {N}}$ takhle ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {P} ^ {N}} (1)}$ je linearizován a linearizace zapnuta L je vyvolána tím ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {P} ^ {N}} (1)}$ .^[5]

Výrobky Tensor a inverze linearizovaných invertibilních snopů jsou opět linearizovány přirozeným způsobem. Tedy třídy izomorfismu linearizovaných invertibilních svazků na schématu X tvoří podskupinu Picardovy skupiny X.

Viz příklad 2.16 z [1] jako příklad odrůdy, pro kterou není většina liniových svazků linearizovatelná.

Duální akce na úsecích ekvivariantních svazků

Vzhledem k algebraické skupině G a a G- ekvivariantní svazek F na X přes pole k, nechť ${ displaystyle V = Gamma (X, F)}$ být prostorem globálních sekcí. Poté připouští strukturu a G-modul; tj., PROTI je lineární reprezentace z G jak následuje. Psaní ${ displaystyle sigma: G krát X až X}$ pro skupinovou akci, pro každou G v G a proti v PROTI, nechť

{ displaystyle pi (g) v = ( varphi circ sigma ^ {*}) (v) (g ^ {- 1})}

kde ${ displaystyle sigma ^ {*}: V až gama (G krát X, sigma ^ {*} F)}$ a ${ displaystyle varphi: Gamma (G krát X, sigma ^ {*} F) { přesahující { sim} { to}} Gamma (G krát X, p_ {2} ^ {*} F) = k [G] mnohokrát _ {k} V}$ je izomorfismus daný strukturou ekvivariantního svazku na F. Podmínka cyklu to pak zajišťuje ${ displaystyle pi: G to GL (V)}$ je skupinový homomorfismus (tj. ${ displaystyle pi}$ je reprezentace.)

Příklad: vzít ${ displaystyle X = G, F = { mathcal {O}} _ {G}}$ a ${ displaystyle sigma =}$ akce G na sebe. Pak ${ displaystyle V = k [G]}$ , ${ displaystyle ( varphi circ sigma ^ {*}) (f) (g, h) = f (gh)}$ a

{ displaystyle ( pi (g) f) (h) = f (g ^ {- 1} h)}

,

význam ${ displaystyle pi}$ je vlevo pravidelné zastoupení z G.

Zastoupení ${ displaystyle pi}$ definovaný výše je a racionální reprezentace: pro každý vektor proti v PROTI, existuje konečně-dimenzionální G-modul z PROTI který obsahuje proti.^[6]

Equivariantní vektorový svazek

Definice je pro vektorový svazek jednodušší (tj. Odrůda odpovídající a místně volný svazek stálé pozice). Říkáme vektorový svazek E na algebraické odrůdě X jednal algebraickou skupinou G je ekvivariant -li G působí po vláknech: tj. ${ displaystyle g: E_ {x} až E_ {gx}}$ je "lineární" izomorfismus vektorových prostorů.^[7] Jinými slovy, ekvivariantní vektorový svazek je dvojice skládající se z vektorového svazku a zvedání akce ${ displaystyle G krát X až X}$ k tomu z ${ displaystyle G krát E až E}$ takže projekce ${ displaystyle E až X}$ je ekvivalentní.

Stejně jako v nerovnovážném prostředí lze definovat ekvivariantní charakteristická třída ekvivalentního vektorového svazku.

Příklady

Tečný svazek potrubí nebo hladké odrůdy je ekvivariační vektorový svazek.
Svazek z ekvivariační diferenciální formy.
Nechat G být polojednoduchou algebraickou skupinou a λ: H →C postava v maximálním torusu H. Zasahuje do podskupiny Borel λ: B →C, což dává jednorozměrné znázornění Ž_λ z B. Pak GxW_λ je triviální vektorový svazek G na kterých B činy. Kvocient L_λ= Gx_BŽ_λ působením B je liniový svazek nad odrůdou vlajky G / B. Všimněte si, že G → G / B je B svazek, takže toto je jen příklad související konstrukce svazku. The Borel-Weil-Bottova věta říká, že všechny reprezentace G vznikají jako cohomologie takových liniových svazků.
Li X = Spec (A) je afinní schéma, a G_m-akce na X je totéž jako a Z známkování zapnuto A. Podobně, a G_m ekvivariantní kvazikoherentní svazek zapnutý X je totéž jako a Z odstupňované A modul.^{[Citace je zapotřebí ]}

Viz také

Poznámky

^ MFK 1994, Ch 1. § 3. Definice 1.6.
^ Gaitsgory 2005, § 6.
^ Thomason 1987, § 1.2.
^ MFK 1994, Ch 1. § 3. Dodatek 1.6.
^ MFK 1994, Ch 1. § 3. Návrh 1.7.
^ MFK 1994, Ch. 1. § 1. lemma těsně za definicí 1.3.
^ Li E je tedy považován za svazek G je třeba nahradit ${ displaystyle g ^ {- 1}}$ .

Reference

J. Bernstein, V. Lunts, „Rovnocenná snopy a funktory,“ Springerova přednáška v matematice. 1578 (1994).
Mumford, David; Fogarty, J .; Kirwan, F. Geometrická invariantní teorie. Třetí edice. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (Výsledky v matematice a příbuzných oblastech (2)), 34. Springer-Verlag, Berlin, 1994. xiv + 292 pp. PAN 1304906 ISBN 3-540-56963-4
D. Gaitsgory, Teorie geometrické reprezentace, Math 267y, podzim 2005
Thomason, R.W.: Algebraická K-teorie akcí skupinových schémat. In: Browder, W. (ed.) Algebraická topologie a algebraická K-teorie. (Ann. Math. Stud., Sv. 113, str. 539–563) Princeton: Princeton University Press 1987

externí odkazy

Equivariantní snopy

[1] MFK 1994, Ch 1. § 3. Definice 1.6.

[2] Gaitsgory 2005, § 6.

[3] Thomason 1987, § 1.2.

[4] MFK 1994, Ch 1. § 3. Dodatek 1.6.

[5] MFK 1994, Ch 1. § 3. Návrh 1.7.

[6] MFK 1994, Ch. 1. § 1. lemma těsně za definicí 1.3.

[7] Li E je tedy považován za svazek G je třeba nahradit ${ displaystyle g ^ {- 1}}$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]