Svazek modulů - Sheaf of modules - Wikipedia

V matematice, a svazek z Ó- moduly nebo jednoduše Ó-modul přes prstencový prostor (X, Ó) je snop F takové, že pro každou otevřenou podmnožinu U z X, F(U) je Ó(U) -module a mapy omezení F(U) → F(PROTI) jsou kompatibilní s mapami omezení Ó(U) → Ó(PROTI): omezení fs je omezení F krát to s pro všechny F v Ó(U) a s v F(U).

Standardní případ je kdy X je systém a Ó jeho struktura svazek. Li Ó je stálý svazek ${ displaystyle { underline { mathbf {Z}}}}$, pak svazek Ó-modules je stejný jako svazek abelianských skupin (tj. an Abelian snop).

Li X je prvotřídní spektrum prstenu R, pak jakýkoli R-module definuje Ó_X-modul (tzv přidružený svazek) přirozeným způsobem. Podobně, pokud R je odstupňovaný prsten a X je Proj z R, pak jakýkoli klasifikovaný modul definuje Ó_X-modul přirozeným způsobem. Ó- takto vznikající moduly jsou příklady kvazi-koherentní snopy, a ve skutečnosti, na afinních nebo projektivních schématech, jsou všechny kvazi-koherentní svazky získány tímto způsobem.

Snopy modulů nad prstencovým prostorem tvoří abelianská kategorie.^[1] Navíc tato kategorie má dost injekcí,^[2] a následně lze definovat a definovat svazek kohomologie ${ displaystyle operatorname {H} ^ {i} (X, -)}$ jako i-th pravý odvozený funktor z funktor globální sekce ${ displaystyle Gamma (X, -)}$.^[3]

Příklady

• Vzhledem k prstencovému prostoru (X, Ó), pokud F je Ó-modul z Ó, pak se tomu říká svazek ideálů nebo ideální svazek z Ó, protože pro každou otevřenou podmnožinu U z X, F(U) je ideál prstenu Ó(U).
• Nechat X být hladká odrůda dimenze n. Pak tangenta snop z X je dvojí z kotangensový svazek ${ displaystyle Omega _ {X}}$ a kanonický svazek ${ displaystyle omega _ {X}}$ je n-tý vnější výkon (určující ) z ${ displaystyle Omega _ {X}}$.
• A svazek algeber je svazek modulu, který je také svazek prstenů.

Operace

Nechť (X, Ó) být prstencový prostor. Li F a G jsou Ó-moduly, pak jejich tenzorový produkt, označený

${ displaystyle F otimes _ {O} G}$ nebo ${ displaystyle F otimes G}$,

je Ó-modul, který je svazkem spojeným s presheaf ${ displaystyle U mapsto F (U) otimes _ {O (U)} G (U).}$ (Chcete-li vidět, že se nelze vyhnout sheafifikaci, spočítejte globální části ${ displaystyle O (1) otimes O (-1) = O}$ kde Ó(1) je Serreův kroutící se svazek na projektivní prostor.)

Podobně, pokud F a G jsou Ó- tedy moduly

${ displaystyle { mathcal {H}} om_ {O} (F, G)}$

označuje Ó-modul, který je svazek ${ displaystyle U mapsto operatorname {Hom} _ {O | _ {U}} (F | _ {U}, G | _ {U})}$.^[4] Zejména Ó-modul

${ displaystyle { mathcal {H}} om_ {O} (F, O)}$

se nazývá duální modul z F a je označen ${ displaystyle { check {F}}}$. Poznámka: pro všechny Ó- moduly E, F, existuje kanonický homomorfismus

${ displaystyle { check {E}} další F to { mathcal {H}} om_ {O} (E, F)}$,

což je izomorfismus, pokud E je místně volný svazek konečné pozice. Zejména pokud L je místně prostý hodnosti jedna (např L se nazývá invertibilní svazek nebo a svazek řádků ),^[5] pak zní:

${ displaystyle { check {L}} další L simeq O,}$

z čehož vyplývá, že třídy izomorfismu invertibilních snopů tvoří skupinu. Tato skupina se nazývá Picardova skupina z X a je kanonicky identifikován s první kohomologickou skupinou ${ displaystyle operatorname {H} ^ {1} (X, { mathcal {O}} ^ {*})}$ (standardním argumentem s Čechova kohomologie ).

Li E je lokálně volný svazek konečné hodnosti, pak existuje Ó-lineární mapa ${ displaystyle { check {E}} další E simeq operatorname {End} _ {O} (E) to O}$ dané párováním; nazývá se to trasovací mapa z E.

Pro všechny Ó-modul F, tenzorová algebra, vnější algebra a symetrická algebra z F jsou definovány stejným způsobem. Například k-tý vnější výkon

${ displaystyle klín ^ {k} F}$

je svazek spojený s presheaf ${ displaystyle U mapsto klín _ {O (U)} ^ {k} F (U)}$. Li F je místně bez hodnosti n, pak ${ displaystyle wedge ^ {n} F}$ se nazývá svazek determinantních řádků (i když technicky invertibilní svazek ) z F, označeno det (F). Existuje přirozené dokonalé párování:

${ displaystyle wedge ^ {r} F otimes wedge ^ {n-r} F to operatorname {det} (F).}$

Nechat F: (X, Ó) →(X', Ó') být morfismem prstencových prostorů. Li F je Ó-modul, pak přímý svazek obrazu ${ displaystyle f _ {*} F}$ je Ó'-modul přes přírodní mapu Ó' →F_*Ó (taková přirozená mapa je součástí dat morfismu prstencovaných prostorů.)

Li G je Ó'-modul, pak inverzní obraz modulu ${ displaystyle f ^ {*} G}$ z G je Ó-modul daný jako tenzorový součin modulů:

${ displaystyle f ^ {- 1} G otimes _ {f ^ {- 1} O '} O}$

kde ${ displaystyle f ^ {- 1} G}$ je inverzní svazek obrazu z G a ${ displaystyle f ^ {- 1} O ' to O}$ se získává z ${ displaystyle O ' až f _ {*} O}$ podle přídavek.

Existuje adjunkční vztah mezi ${ displaystyle f _ {*}}$ a ${ displaystyle f ^ {*}}$: pro všechny Ó-modul F a Ó'-modul G,

${ displaystyle operatorname {Hom} _ {O} (f ^ {*} G, F) simeq operatorname {Hom} _ {O '} (G, f _ {*} F)}$

jako abelianská skupina. K dispozici je také projekční vzorec: pro Ó-modul F a místně zdarma Ó'-modul E konečné pozice,

${ displaystyle f _ {*} (F otimes f ^ {*} E) simeq f _ {*} F otimes E.}$

Vlastnosti

Nechť (X, Ó) být prstencový prostor. An Ó-modul F se říká, že je generované globálními sekcemi pokud existuje podezření z Ó-moduly:

${ displaystyle oplus _ {i in I} O až F až 0}$.

Výslovně to znamená, že existují globální sekce s_i z F tak, že obrazy s_i v každé stopce F_X generuje F_X tak jako Ó_X-modul.

Příkladem takového svazku je spojen s algebraická geometrie do R-modul M, R být libovolný komutativní prsten, na spektrum prstenu Spec(R) .Další příklad: podle Cartanova věta A, jakýkoli koherentní svazek na Stein potrubí je překlenuta globálními sekcemi. (viz Serreova věta A níže.) V teorii schémata, související pojem je dostatek svazku řádků. (Například pokud L je rozsáhlý svazek linek, část jeho síly je generována globálními sekcemi.)

Injekční Ó-modul je okázalý (tj. všechny mapy omezení F(U) → F(PROTI) jsou surjektivní.)^[6] Jelikož je okázalý svazek acyklický v kategorii abelianských svazků, znamená to, že i- pravý funktor odvozený z funktoru globální sekce ${ displaystyle Gamma (X, -)}$ v kategorii Ó-moduly se shodují s obvyklými i- pátá kohomologie v kategorii abelianských snopů.^[7]

Svazek přidružený k modulu

Nechat M být modulem přes prsten A. Dát X = Spec A a piš ${ displaystyle D (f) = {f neq 0 } = operatorname {Spec} (A [f ^ {- 1}])}$. Pro každý pár ${ displaystyle D (f) subseteq D (g)}$díky univerzální vlastnosti lokalizace existuje přirozená mapa

${ displaystyle rho _ {g, f}: M [g ^ {- 1}] až M [f ^ {- 1}]}$

mít tuto vlastnost ${ displaystyle rho _ {g, f} = rho _ {g, h} circ rho _ {h, f}}$. Pak

${ displaystyle D (f) mapsto M [f ^ {- 1}]}$

je kontravariantní funktor z kategorie, jejíž objekty jsou množiny D(F) a morfismy zahrnutí množin do kategorie abelianských skupin. Jeden může ukázat^[8] je to ve skutečnosti a B-svazek (tj. vyhovuje axiomu lepení) a definuje tak svazek ${ displaystyle { widetilde {M}}}$ na X zavolal svazek spojený s M.

Nejzákladnějším příkladem je svazek struktury X; tj., ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} = { widetilde {A}}}$. Navíc, ${ displaystyle { widetilde {M}}}$ má strukturu ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} = { widetilde {A}}}$-modul a tím jeden dostane přesný funktor ${ displaystyle M mapsto { widetilde {M}}}$ od Mod_A, kategorie modulů přes A do kategorie modulů nad ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$. Definuje rovnocennost z Mod_A do kategorie kvazi-koherentní snopy na X, s inverzní ${ displaystyle Gamma (X, -)}$, funktor globální sekce. Když X je Noetherian, funktor je ekvivalence z kategorie konečně generovaných A-moduly do kategorie koherentních svazků X.

Konstrukce má následující vlastnosti: pro všechny A- moduly M, N,

• ${ displaystyle M [f ^ {- 1}] ^ { sim} = { widetilde {M}} | _ {D (f)}}$.^[9]
• Pro jakýkoli ideální ideál p z A, ${ displaystyle { widetilde {M}} _ {p} simeq M_ {p}}$ tak jako Ó_p = A_p-modul.
• ${ displaystyle (M otimes _ {A} N) ^ { sim} simeq { widetilde {M}} otimes _ { widetilde {A}} { widetilde {N}}}$.^[10]
• Li M je konečně představen, ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {A} (M, N) ^ { sim} simeq { mathcal {H}} om _ { widetilde {A}} ({ widetilde {M}}, { widetilde {N}})}$.^[10]
• ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {A} (M, N) simeq Gamma (X, { mathcal {H}} om _ { widetilde {A}} ({ widetilde {M}}, { widetilde {N}}))}$, protože rovnocennost mezi Mod_A a kategorie kvazi-koherentních svazků X.
• ${ displaystyle ( varinjlim M_ {i}) ^ { sim} simeq varinjlim { widetilde {M_ {i}}}}$;^[11] zejména přímý součet a ~ dojíždění.

Svazek spojený s odstupňovaným modulem

V předchozí části je odstupňovaný analog konstrukce a ekvivalence. Nechat R být odstupňovaný prsten generovaný prvky prvního stupně jako R₀-algebra (R₀ znamená díl s nulovým stupněm) a M odstupňovaný R-modul. Nechat X být Proj z R (tak X je projektivní schéma -li R je Noetherian). Pak je tu Ó-modul ${ displaystyle { widetilde {M}}}$ takové, že pro jakýkoli homogenní prvek F kladného stupně R, existuje přirozený izomorfismus

${ displaystyle { widetilde {M}} | _ { {f neq 0 }} simeq (M [f ^ {- 1}] _ {0}) ^ { sim}}$

jako svazky modulů v afinním schématu ${ displaystyle {f neq 0 } = operatorname {Spec} (R [f ^ {- 1}] _ {0})}$;^[12] ve skutečnosti to definuje ${ displaystyle { widetilde {M}}}$ lepením.

Příklad: Nechte R(1) být klasifikován R-modul daný R(1)_n = R_n+1. Pak ${ displaystyle O (1) = { widetilde {R (1)}}}$ je nazýván Serreův kroutící se svazek, což je dvojí z tautologický svazek linek -li R je definitivně generován v prvním stupni.

Li F je Ó- modul zapnutý Xpak, psaní ${ displaystyle F (n) = F otimes O (n)}$existuje kanonický homomorfismus:

${ displaystyle ( oplus _ {n geq 0} Gamma (X, F (n))) ^ { sim} až F}$,

což je izomorfismus právě tehdy F je kvazi-koherentní.

Výpočet cohomologie svazků

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Leden 2016)

Snofa cohomology má pověst, že je obtížné vypočítat. Z tohoto důvodu je další obecný fakt zásadní pro jakýkoli praktický výpočet:

Serreova věta A uvádí, že pokud X je projektivní odrůda a F koherentní svazek na něm, tedy dostatečně velký n, F(n) je generován konečně mnoha globálními sekcemi. Navíc,

(a) Pro každého i, Hⁱ(X, F) je definitivně generován R₀, a

(b) (Serreova věta B ) Existuje celé číslo n₀, záleží na F, takový, že

${ displaystyle operatorname {H} ^ {i} (X, F (n)) = 0, , i geq 1, n geq n_ {0}}$.

Prodloužení svazku

Nechť (X, Ó) být prstencový prostor a nechat F, H být snopy Ó- moduly zapnuty X. An rozšíření z H podle F je krátká přesná sekvence z Ó- moduly

${ displaystyle 0 rightarrow F rightarrow G rightarrow H rightarrow 0.}$

Stejně jako u rozšíření o skupinu, pokud to opravíme F a H, pak všechny třídy ekvivalence rozšíření H podle F pro muže abelianská skupina (srov. Baerova suma ), který je isomorfní s Ext skupina ${ displaystyle mathrm {Ext} _ {O} ^ {1} (H, F)}$, kde je prvek identity v ${ displaystyle mathrm {Ext} _ {O} ^ {1} (H, F)}$ odpovídá triviálnímu rozšíření.

V případě, že H je Ó, máme: pro všechny i ≥ 0,

${ displaystyle operatorname {H} ^ {i} (X, F) = mathrm {Ext} _ {O} ^ {i} (O, F),}$

protože obě strany jsou správnými odvozenými funktory stejného funktoru ${ displaystyle Gamma (X, -) = operatorname {Hom} _ {O} (O, -).}$

Poznámka: Někteří autoři, zejména Hartshorne, zruší dolní index Ó.

Převzít X je projektivní schéma přes noetherianský kruh. Nechat F, G být koherentní snopy X a i celé číslo. Pak existuje n₀ takhle

${ displaystyle operatorname {Ext} _ {O} ^ {i} (F, G (n)) = Gamma (X, { mathcal {E}} xt_ {O} ^ {i} (F, G ( n))), , n geq n_ {0}}$.^[13]

Místně bezplatná rozlišení

${ displaystyle { mathcal {Ext}} ({ mathcal {F}}, { mathcal {G}})}$ lze snadno vypočítat pro jakýkoli koherentní svazek ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ pomocí lokálně volného rozlišení^[14]: daný komplex

${ displaystyle cdots to { mathcal {L}} _ {2} to { mathcal {L}} _ {1} to { mathcal {L}} _ {0} to { mathcal { F}} do 0}$

pak

${ displaystyle { mathcal {RHom}} ({ mathcal {F}}, { mathcal {G}}) = { mathcal {Hom}} ({ mathcal {L}} _ { bullet}, { mathcal {G}})}$

proto

${ displaystyle { mathcal {Ext}} ^ {k} ({ mathcal {F}}, { mathcal {G}}) = h ^ {k} ({ mathcal {Hom}} ({ mathcal { L}} _ { bullet}, { mathcal {G}}))}$

Příklady

Hyperplocha

Zvažte hladký hyperpovrch ${ displaystyle X}$ stupně ${ displaystyle d}$. Poté můžeme vypočítat rozlišení

${ displaystyle { mathcal {O}} (- d) do { mathcal {O}}}$

a najít to

${ displaystyle { mathcal {Ext}} ^ {i} ({ mathcal {O}} _ {X}, { mathcal {F}}) = h ^ {i} ({ mathcal {Hom}} ( { mathcal {O}} (- d) do { mathcal {O}}, { mathcal {F}}))}$

Unie hladkých úplných křižovatek

Zvažte schéma

${ displaystyle X = { text {Proj}} left ({ frac { mathbb {C} [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}} {(f) (g_ {1}, g_ {2}, g_ {3})}} vpravo) subseteq mathbb {P} ^ {n}}$

kde ${ displaystyle (f, g_ {1}, g_ {2}, g_ {3})}$ je hladká úplná křižovatka a ${ displaystyle { text {deg}} (f) = d}$, ${ displaystyle { text {deg}} (g_ {i}) = e_ {i}}$. Máme komplex

${ displaystyle { mathcal {O}} (- d-e_ {1} -e_ {2} -e_ {3}) { xrightarrow { begin {bmatrix} g_ {3} - g_ {2} -g_ {1} end {bmatrix}}} { begin {matrix} { mathcal {O}} (- d-e_ {1} -e_ {2}) oplus { mathcal { O}} (- d-e_ {1} -e_ {3}) oplus { mathcal {O}} (- d-e_ {2} -e_ {3}) end {matrix}} { xrightarrow { begin {bmatrix} g_ {2} & g_ {3} & 0 - g_ {1} & 0 & -g_ {3} 0 & -g_ {1} & g_ {2} end {bmatrix}}} { begin {matrix} { mathcal {O}} (- d-e_ {1}) oplus { mathcal {O}} (- d-e_ {2}) oplus { mathcal {O}} (- d-e_ {3}) end {matrix}} { xrightarrow { begin {bmatrix} fg_ {1} & fg_ {2} & fg_ {3} end {bmatrix}}} { mathcal {O}}}$

řešení ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X},}$ které můžeme použít k výpočtu ${ displaystyle { mathcal {Ext}} ^ {i} ({ mathcal {O}} _ {X}, { mathcal {F}})}$.

Viz také

• D-modul (namísto Ó, lze také zvážit Dsvazek diferenciálních operátorů.)
• zlomkový ideál
• holomorfní vektorový svazek
• obecná volnost

Poznámky

Reference

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007 / bf02684778. PAN  0217083.
• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157