Racionální normální křivka - Rational normal curve - Wikipedia

v matematika, racionální normální křivka je hladký, racionální křivka $C$ z stupeň $n$ v projektivní n-prostor $P n$ . Je to jednoduchý příklad a projektivní rozmanitost; formálně je to Veronská odrůda když doména je projektivní čára. Pro $n = 2$ to je rovina kuželovitá $Z 0 Z 2 = Z 21,$ a pro $n = 3$ to je zkroucený kubický. Termín „normální“ označuje projektivní normálnost, ne normální schémata. Průsečík racionální normální křivky s afinní prostor se nazývá momentová křivka.

Definice

Může být uvedena racionální normální křivka parametricky jako obrázek mapy

{ displaystyle nu: mathbf {P} ^ {1} to mathbf {P} ^ {n}}

který přiřadí k homogenní souřadnice $[S : T]$ hodnota

{ displaystyle nu: [S: T] mapsto left [S ^ {n}: S ^ {n-1} T: S ^ {n-2} T ^ {2}: cdots: T ^ { n} vpravo].}

V afinní souřadnice grafu $X 0 \neq 0$ mapa je jednoduše

{ displaystyle nu: x mapsto left (x, x ^ {2}, ldots, x ^ {n} right).}

To znamená, že racionální normální křivka je uzavření jediným bod v nekonečnu z afinní křivka

{ displaystyle left (x, x ^ {2}, ldots, x ^ {n} right).}

Rovněž lze racionální normální křivku chápat jako a projektivní rozmanitost, definovaný jako společný nulový lokus homogenní polynomy

{ displaystyle F_ {i, j} left (X_ {0}, ldots, X_ {n} right) = X_ {i} X_ {j} -X_ {i + 1} X_ {j-1}}

kde ${ displaystyle [X_ {0}: cdots: X_ {n}]}$ jsou homogenní souřadnice na $P n$ . Úplná sada těchto polynomů není nutná; stačí vybrat $n$ z nich určit křivku.

Alternativní parametrizace

Nechat ${ displaystyle [a_ {i}: b_ {i}]}$ být $n + 1$ odlišné body v $P 1$ . Pak polynom

{ displaystyle G (S, T) = prod _ {i = 0} ^ {n} vlevo (a_ {i} S-b_ {i} T vpravo)}

je homogenní polynom stupně $n + 1$ se zřetelnými kořeny. Polynomy

{ displaystyle H_ {i} (S, T) = { frac {G (S, T)} {(a_ {i} S-b_ {i} T)}}}

jsou pak a základ pro prostor homogenních polynomů stupně $n$ . Mapa

{ displaystyle [S: T] mapsto left [H_ {0} (S, T): H_ {1} (S, T): cdots: H_ {n} (S, T) vpravo]}

nebo ekvivalentně vydělením $G (S, T)$

{ displaystyle [S: T] mapsto left [{ frac {1} {(a_ {0} S-b_ {0} T)}}: cdots: { frac {1} {(a_ {n } S-b_ {n} T)}} vpravo]}

je racionální normální křivka. Že se jedná o racionální normální křivku, lze pochopit poznamenáním, že monomials

{ displaystyle S ^ {n}, S ^ {n-1} T, S ^ {n-2} T ^ {2}, cdots, T ^ {n},}

jsou jen jeden možný základ pro prostor stupně $n$ homogenní polynomy. Vlastně jakékoli základ udělám. Toto je pouze aplikace tvrzení, že jakékoli dvě projektivní varianty jsou projektivně rovnocenné, pokud jsou shodný modulo the projektivní lineární skupina $PGL n + 1 (K.)$ (s $K.$ the pole nad kterým je definován projektivní prostor).

Tato racionální křivka vysílá nuly $G$ do každého ze souřadnicových bodů $P n$ ; to znamená všichni kromě jednoho z $H i$ zmizet za nulu $G$ . Naopak každá racionální normální křivka procházející skrz $n + 1$ tímto způsobem lze parametricky zapisovat souřadné body.

Vlastnosti

Racionální normální křivka má sortiment pěkných vlastností:

Žádný $n + 1$ body na $C$ jsou lineárně nezávislé a rozpětí $P n$ . Tato vlastnost odlišuje racionální normální křivku od všech ostatních křivek.
Dáno $n + 3$ body v $P n$ lineárně obecná pozice (tj. bez č $n + 1$ ležící v nadrovina ), prochází jimi jedinečná racionální normální křivka. Křivku lze explicitně specifikovat pomocí parametrického vyjádření uspořádáním $n + 1$ bodů ležet na souřadnicových osách a poté mapovat další dva body na $[S : T] = [0 : 1]$ a $[S : T] = [1 : 0]$ .
Tečna a sečna racionální normální křivky jsou párově disjunktní, s výjimkou bodů samotné křivky. Jedná se o vlastnost sdílenou dostatečně pozitivním vložením jakékoli projektivní odrůdy.
Existují

{ displaystyle { binom {n + 2} {2}} - 2n-1}

nezávislý kvadrics které generují ideál křivky.

Křivka není a úplná křižovatka, pro $n > 2$ . To znamená, že jej nelze definovat (jako a podsystém projektivního prostoru) pouze $n - 1$ rovnice, to je kodimenzionální křivky v ${ displaystyle mathbf {P} ^ {n}}$ .
The kanonické mapování pro hyperelliptická křivka má obrázek racionální normální křivku a je 2: 1.
Každá neredukovatelná nedegenerovaná křivka $C \subset P n$ stupně $n$ je racionální normální křivka.

Viz také

Racionální normální svitek

Reference

Joe Harris, Algebraická geometrie, první kurz(1992) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97716-3