Degenerace (algebraická geometrie) - Degeneration (algebraic geometry)

V algebraické geometrii, a degenerace (nebo specializace) je aktem stanovení limitu rodiny odrůd. Přesně, vzhledem k morfismu

{ displaystyle pi: { mathcal {X}} do C,}

odrůdy (nebo schématu) na křivku C s počátkem 0 (např. afinní nebo projektivní linie), vlákna

{ displaystyle pi ^ {- 1} (t)}

tvoří rodinu odrůd C. Pak vlákno ${ displaystyle pi ^ {- 1} (0)}$ lze považovat za limit ${ displaystyle pi ^ {- 1} (t)}$ tak jako ${ displaystyle t to 0}$ . Jeden pak řekne rodinu ${ displaystyle pi ^ {- 1} (t), t neq 0}$ degeneruje do speciální vlákno ${ displaystyle pi ^ {- 1} (0)}$ . Omezující proces se chová pěkně, když ${ displaystyle pi}$ je plochý morfismus a v takovém případě se degenerace nazývá a plochá degenerace. Mnoho autorů předpokládá, že degenerace jsou ploché.

Když rodina ${ displaystyle pi ^ {- 1} (t)}$ je triviální od speciálního vlákna; tj., ${ displaystyle pi ^ {- 1} (t)}$ je nezávislý na ${ displaystyle t neq 0}$ až (koherentní) izomorfismy, ${ displaystyle pi ^ {- 1} (t), t neq 0}$ se nazývá obecné vlákno.

Degenerace křivek

Ve studii o moduly křivek, důležitým bodem je pochopit hranice modulů, což znamená pochopit degenerace křivek.

Stabilita invarianty

Vládne se specializuje. Přesně, Matsusaka'ova věta říká

Nechat X být normální neredukovatelné projektivní schéma přes diskrétní oceňovací kruh. Pokud je ovládáno generické vlákno, pak je ovládáno také každé neredukovatelné složce speciálního vlákna.

Infinitezimální deformace

Nechat D = k[ε] být kruh dvojitých čísel přes pole k a Y schéma konečného typu k. Vzhledem k uzavřenému podsystému X z Y, podle definice, an vložená nekonečně malá deformace prvního řádu z X je uzavřený podsystém X' z Y ×_{Spec (k)} Spec (D) taková, že projekce X' → SpecD je plochá a má X jako speciální vlákno.

Li Y = Spec A a X = Spec (A/Já) jsou afinní, pak se vložená nekonečně malá deformace rovná ideálu Já' z A[ε] takové, že A[ε]/ Já' je naplocho D a obraz Já' v A = A[ε]/ε je Já.

Obecně platí, že vzhledem ke špičatému schématu (S, 0) a schéma Xmorfismus schémat $π$ : X' → S se nazývá deformace systému X pokud je plochá a její vlákno nad rozlišovacím bodem 0 S je X. Výše uvedená představa je tedy zvláštním případem, když S = Spec D a existuje určitá volba vložení.

Viz také

Reference

M. Artin, Přednášky o deformacích singularit - Tata Institute of Fundamental Research, 1976
Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, PAN 0463157
E. Sernesi: Deformace algebraických schémat
M. Gross, M. Siebert, Pozvánka na torické degenerace
M. Kontsevich, Y. Soibelman: Afinní struktury a nearchimédské analytické prostory, in: Jednota matematiky (P. Etingof, V. Retakh, I.M. Singer, eds.), 321–385, Progr. Matematika. 244, Birkh usauser 2006.
Karen E Smith, Mizející, singularita a efektivní hranice prostřednictvím místní charakteristické algebry.
V. Alexejev, Ch. Birkenhake a K. Hulek, Degenerace odrůd Prym, J. Reine Angew. Matematika. 553 (2002), 73–116.

externí odkazy

http://mathoverflow.net/questions/88552/when-do-infinitesimal-deformations-lift-to-global-deformations

Tento související s algebraickou geometrií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.