Pullback (teorie kategorií) - Pullback (category theory)

v teorie kategorií, pobočka matematika, a zarazit (také nazývaný a vláknitý výrobek, vláknitý výrobek, vláknitý výrobek nebo Kartézské náměstí) je omezit a diagram skládající se ze dvou morfismy $F : X \to Z$ a $G : Y \to Z$ se společnou doménou. Stahování je často psáno

P = X \times Z Y

a je vybaven dvěma přirozenými morfismy $P \to X$ a $P \to Y$ . Stahování dvou morfismů $F$ a $G$ nemusí existovat, ale pokud ano, je to v podstatě jednoznačně definováno dvěma morfismy. V mnoha situacích $X \times Z Y$ lze intuitivně považovat za sestávající z dvojic prvků $(X, y)$ s $X$ v $X$ , $y$ v $Y$ , a $F (X) = G (y)$ . Pro obecnou definici, a univerzální vlastnictví je použito, což v zásadě vyjadřuje skutečnost, že zpětné získání je „nejobecnějším“ způsobem, jak dokončit dva dané morfismy komutativní čtverec.

The dvojí koncept zpětného rázu je vystrčit.

Univerzální vlastnictví

Explicitně, potlačení morfismů $F$ a $G$ se skládá z objekt $P$ a dva morfismy $p 1 : P \to X$ a $p 2 : P \to Y$ pro které je diagram

dojíždí. Navíc zpětný chod $(P, p 1, p 2)$ musí být univerzální s ohledem na tento diagram.^[1] To znamená pro jakoukoli jinou takovou trojku $(Q, q 1, q 2)$ kde $q 1 : Q \to X$ a $q 2 : Q \to Y$ jsou morfismy s $F q 1 = G q 2$ , musí existovat jedinečný $u : Q \to P$ takhle

{ displaystyle p_ {2} circ u = q_ {2}, qquad p_ {1} circ u = q_ {1}.}

Tuto situaci ilustruje následující komutativní diagram.

Stejně jako u všech univerzálních konstrukcí je pullback, pokud existuje, jedinečný až izomorfismus. Ve skutečnosti, vzhledem k dvěma pullbacks $(A, A 1, A 2)$ a $(B, b 1, b 2)$ stejné cospan $X \to Z \leftarrow Y$ , existuje jedinečný izomorfismus mezi $A$ a $B$ respektující strukturu zpětného rázu.

Pullback a produkt

Zpětný ráz je podobný produkt, ale ne stejný. Jeden může získat produkt "zapomenutím", že morfismy $F$ a $G$ existují a zapomínají, že objekt $Z$ existuje. Jeden pak zůstane s diskrétní kategorie obsahující pouze dva objekty $X$ a $Y$ a mezi nimi žádné šipky. Tuto diskrétní kategorii lze použít jako sadu indexů pro konstrukci obyčejného binárního produktu. Táhnutí lze tedy považovat za běžný (kartézský) produkt, ale s další strukturou. Místo „zapomínání“ $Z$ , $F$ , a $G$ , lze je také „bagatelizovat“ specializací $Z$ být koncový objekt (za předpokladu, že existuje). $F$ a $G$ jsou pak jednoznačně určeny, a tudíž neobsahují žádné informace, a za návrat tohoto cospanu lze považovat produkt $X$ a $Y$ .

Příklady

Komutativní prsteny

Kategorie komutativních prstenů připouští návraty.

V kategorie komutativních prstenů (s identitou) se pullback nazývá produkt s vlákny. Nechat $A$ , $B$ , a $C$ být komutativní prsteny (s identitou) a $α : A \to C$ a $β : B \to C$ (zachování identity) kruhové homomorfismy. Pak existuje zpětná vazba tohoto diagramu a daná podřízený z produktový prsten $A \times B$ definován

{ displaystyle A times _ {C} B = left {(a, b) in A times B ; { big |} ; alpha (a) = beta (b) right }}

spolu s morfismy

{ displaystyle beta ' tlustého střeva A krát _ {C} B až A, qquad alfa' tlustého střeva A krát _ {C} B až B}

dána ${ displaystyle beta '(a, b) = a}$ a ${ displaystyle alpha '(a, b) = b}$ pro všechny ${ displaystyle (a, b) v A krát _ {C} B}$ . Pak máme

{ displaystyle alpha circ beta '= beta circ alpha'.}

Skupiny, moduly

V úplné analogii s výše uvedeným příkladem komutativních prstenů lze ukázat, že všechny zpětné vazby existují v kategorie skupin a v kategorie modulů přes nějaký pevný prsten.

Sady

V kategorie sad, odvolání funkcí $F : X \to Z$ a $G : Y \to Z$ vždy existuje a je dána množinou

{ displaystyle X times _ {Z} Y = {(x, y) v X krát Y | f (x) = g (y) } = bigcup _ {z v f (X) víčko g (Y)} f ^ {- 1} [ {z }] krát g ^ {- 1} [ {z }],}

společně s omezení z projekční mapy $π 1$ a $π 2$ na $X \times Z Y$ .

Alternativně lze zobrazit zpětné hlášení $Soubor$ asymetricky:

{ displaystyle X times _ {Z} Y cong coprod _ {x in X} g ^ {- 1} [ {f (x) }] cong coprod _ {y v Y} f ^ {- 1} [ {g (y) }]}

kde ${ displaystyle coprod}$ je disjunktní unie sad (zapojené sady nejsou samostatně disjunktní, pokud $F$ resp. $G$ je injekční ). V prvním případě projekce $π 1$ extrahuje $X$ index zatímco $π 2$ zapomene na index a ponechá prvky $Y$ .

Tento příklad motivuje další způsob charakterizace zpětného rázu: jako ekvalizér morfismů $F \circ p 1, G \circ p 2 : X \times Y \to Z$ kde $X \times Y$ je binární produkt z $X$ a $Y$ a $p 1$ a $p 2$ jsou přirozené projekce. To ukazuje, že pullbacky existují v jakékoli kategorii s binárními produkty a ekvalizéry. Ve skutečnosti tím teorém existence pro limity, všechny konečné limity existují v kategorii s koncovým objektem, binárními produkty a ekvalizéry.

Svazky vláken

Další příklad zpětného rázu pochází z teorie svazky vláken: dostal mapu svazku $π : E \to B$ a a průběžná mapa $F : X \to B$ , zpětný chod (vytvořený v kategorie topologických prostorů s průběžné mapy ) $X \times B E$ je svazek vláken $X$ volal stahovací balíček. Přidružený komutativní diagram je morfismus svazků vláken.

Předobrazy a křižovatky

Preimages sad pod funkcemi lze popsat jako pullbacky takto:

Předpokládat $F : A \to B$ , $B 0 \subseteq B$ . Nechat $G$ být mapa zařazení $B 0 ↪ B$ . Pak návrat $F$ a $G$ (v $Soubor$ ) je dán předobrazem $F -1 [B 0]$ společně se zahrnutím preimage do $A$

F -1 [B 0] ↪ A

a omezení $F$ na $F -1 [B 0]$

F -1 [B 0] \to B 0

.

Z tohoto příkladu je v obecné kategorii odvolání morfismu $F$ a a monomorfismus $G$ lze považovat za „preimage“ pod $F$ z podobjekt specifikováno $G$ . Podobně lze zpětné získávání dvou monomorfismů považovat za „průsečík“ dvou podobjektů.

Nejmenší společný násobek

Zvažte multiplikativní monoidní pozitivní celá čísla $Z +$ jako kategorie s jedním objektem. V této kategorii je odvolání dvou kladných celých čísel $m$ a $n$ je jen pár $(LCM (m, n) / m, LCM (m, n) / n)$ , kde čitateli jsou oba nejmenší společný násobek z $m$ a $n$ . Stejný pár je také protlačitelem.

Vlastnosti

V jakékoli kategorii s a koncový objekt $T$ , zpětný chod $X \times T Y$ je obyčejný produkt $X \times Y$ .^[2]
Monomorfismy jsou stabilní při zpětném rázu: pokud je šipka $F$ v diagramu je monický, pak také šipka $p 2$ . Podobně, pokud $G$ je monický, pak také je $p 1$ .^[3]
Izomorfismy jsou také stabilní, a tudíž například $X \times X Y ≅ Y$ pro jakoukoli mapu $Y \to X$ (kde předpokládaná mapa $X \to X$ je identita).
V abelianská kategorie všechny pullbacky existují,^[4] a zachovávají jádra, v následujícím smyslu: pokud

je pullback diagram, pak indukovaný morfismus

ker (p 2) \to ker (F)

je izomorfismus,^[5] a také indukovaný morfismus

ker (p 1) \to ker (G)

. Každý diagram zpětného získávání tedy vede ke komutativnímu diagramu následujícího formuláře, kde jsou všechny řádky a sloupce přesný:

{ displaystyle { begin {array} {ccccccc} &&&& 0 && 0 &&&& downarrow && downarrow &&&& L & = & L &&&& downarrow && downarrow 0 & rightarrow & K & rightarrow & P & rightarrow & Y & paralelní && downarrow && downarrow 0 & rightarrow & K & rightarrow & X & rightarrow & Z end {pole}}}

Dále v kategorii abelian, pokud

X \to Z

je epimorfismus, stejně jako jeho zpětný ráz

P \to Y

a symetricky: pokud

Y \to Z

je epimorfismus, stejně jako jeho zpětný ráz

P \to X

.^[6] V těchto situacích je čtverec zpětného rázu také zatlačovacím čtvercem.^[7]

Existuje přirozený izomorfismus (A×_CB)×_B D ≅ A×_CD. Výslovně to znamená:
- pokud mapy F : A → C, G : B → C a h : D → B jsou uvedeny a
- odvolání F a G darováno r : P → A a s : P → B, a
- odvolání s a h darováno t : Q → P a u : Q → D ,
- pak návrat F a gh darováno rt : Q → A a u : Q → D.

Graficky to znamená, že dva čtverce pullback, umístěné vedle sebe a sdílející jeden morfismus, vytvářejí při ignorování vnitřního sdíleného morfismu větší čtverec pullback.

{ displaystyle { begin {array} {ccccc} Q & { xrightarrow {t}} & P & { xrightarrow {r}} & A downarrow _ {u} && downarrow _ {s} && downarrow _ {f } D & { xrightarrow {h}} & B & { xrightarrow {g}} & C end {pole}}}

Každá kategorie se stahováním a produkty má ekvalizéry.

Slabé návratnosti

A slabý zpětný ráz a cospan $X \to Z \leftarrow Y$ je kužel přes cospan, který je jediný slabě univerzální, tj. zprostředkující morfismus $u : Q \to P$ výše nemusí být jedinečný.

Viz také

Poznámky

^ Mitchell, str. 9
^ Adámek, str. 197.
^ Mitchell, str. 9
^ Mitchell, str. 32
^ Mitchell, str. 15
^ Mitchell, str. 34
^ Mitchell, str. 39

Reference

Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E .; (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie (4,2 MB PDF). Původně publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (nyní zdarma on-line vydání).
Cohn, Paul M.; Univerzální algebra (1981), D. Reidel Publishing, Holland, ISBN 90-277-1213-1 (Původně publikováno v roce 1965, Harper & Row).
Mitchell, Barry (1965). Teorie kategorií. Akademický tisk.

externí odkazy

Interaktivní webová stránka který generuje příklady pullbacků v kategorii konečných množin. Napsala Jocelyn Paine.
zarazit v nLab

[1] Mitchell, str. 9

[2] Adámek, str. 197.

[3] Mitchell, str. 9

[4] Mitchell, str. 32

[5] Mitchell, str. 15

[6] Mitchell, str. 34

[7] Mitchell, str. 39

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]