Geometrický kvocient - Geometric quotient

v algebraická geometrie, a geometrický kvocient z algebraická rozmanitost X s akcí algebraická skupina G je morfismus odrůd ${ displaystyle pi: X až Y}$ takhle^[1]

(i) Pro každého y v Yvlákno ${ displaystyle pi ^ {- 1} (y)}$ je oběžná dráha G.

ii) topologie Y je kvocient topologie: podmnožina ${ displaystyle U podmnožina Y}$ je otevřen právě tehdy ${ displaystyle pi ^ {- 1} (U)}$ je otevřeno.

(iii) Pro jakoukoli otevřenou podmnožinu ${ displaystyle U podmnožina Y}$, ${ displaystyle pi ^ { #}: k [U] až k [ pi ^ {- 1} (U)] ^ {G}}$ je izomorfismus. (Tady, k je základní pole.)

Pojem se objeví v geometrická invariantní teorie. (i), (ii) to říkají Y je oběžná dráha z X v topologie. (iii) může být také formulován jako izomorfismus snopů ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y} simeq pi _ {*} ({ mathcal {O}} _ {X} ^ {G})}$. Zejména pokud X je neredukovatelná, pak také je Y a ${ displaystyle k (Y) = k (X) ^ {G}}$: racionální funkce zapnuta Y lze považovat za invariantní racionální funkce na X (tj., racionální invarianty z X).

Například pokud H je uzavřená podskupina G, pak ${ displaystyle G / H}$ je geometrický kvocient. A GIT kvocient může nebo nemusí být geometrický kvocient: ale oba jsou kategorické kvocienty, které jsou jedinečné; jinými slovy, jeden nemůže mít oba typy kvocientů (aniž by byly stejné).

Vztah k jiným kvocientům

Geometrický kvocient je a kategorický kvocient. To dokazuje Mumfordova geometrická invariantní teorie.

Geometrický kvocient je přesně a dobrý kvocient jejichž vlákna jsou oběžnými dráhami skupiny.

Příklady

• Kanonická mapa ${ displaystyle mathbb {A} ^ {n + 1} setminus 0 až mathbb {P} ^ {n}}$ je geometrický kvocient.
• Li L je linearizovaný svazek linek na algebraické G-odrůda Xpak, psaní ${ displaystyle X _ {(0)} ^ {s}}$ pro soubor stabilní body s ohledem na Lkvocient

${ displaystyle X _ {(0)} ^ {s} až X _ {(0)} ^ {s} / G}$  

je geometrický kvocient.

Reference

• M. Brion, „Úvod do akcí algebraických skupin“ [1]