Zariski – Riemannův prostor - Zariski–Riemann space

v algebraická geometrie, a Zariski – Riemannův prostor nebo Zariski prostor a podřízený k a pole K. je místně prstencový prostor jejichž body jsou oceňovací prsteny obsahující k a obsažené v K.. Zobecňují Riemannův povrch složité křivky.

Zariski – Riemannovy prostory představil Zariski (1940, 1944 ), který (spíše matoucí) je nazval Riemannova potrubí nebo Riemannovy povrchy. Po nich se jmenovaly Zariski – Riemannovy prostory Oscar Zariski a Bernhard Riemann podle Nagata (1962) kdo jim ukázal, že do algebraických odrůd lze vložit kompletní ty.

Místní uniformizace (prokázáno v charakteristice 0 Zariskim) lze interpretovat tak, že říká, že Zariski – Riemannův prostor odrůdy je v určitém smyslu nesmyslný, takže je jakýmsi poněkud slabým rozlišení singularit. To neřeší problém rozlišení singularit, protože v dimenzích větších než 1 není Zariski – Riemanův prostor lokálně afinní a zejména nejde o schéma.

Definice

The Zariski – Riemannův prostor a pole K. přes základní pole k je místně prstencový prostor jehož body jsou oceňovací prsteny obsahující k a obsažené v K.. Někdy oceňovací prsten K. sám je vyloučen a někdy jsou body omezeny na nulové dimenzionální oceňovací kruhy (ty, jejichž reziduální pole má stupeň transcendence nula nad k).

Li S je Zariski – Riemannův prostor podřetězce k pole K., má topologii definovanou převzetím základu otevřených množin jako oceňovacích kruhů obsahujících danou konečnou podmnožinu K.. Prostor S je kvazi kompaktní. Vyrábí se do místně prstencovaného prostoru přiřazením libovolné otevřené podmnožině průsečík oceňovacích prstenců bodů podmnožiny. Místní kruh v kterémkoli bodě je odpovídající oceňovací kruh.

Zariski – Riemannův prostor funkčního pole lze také zkonstruovat jako inverzní limit všech úplných (nebo projektivních) modelů funkčního pole.

Příklady

Riemann – Zariski prostor křivky

Riemann – Zariski prostor křivky nad algebraicky uzavřeným polem k s funkčním polem K. je stejný jako jeho nesmyslný projektivní model. Má jeden obecný neuzavřený bod odpovídající triviálnímu ocenění s hodnotícím prstencem K.a jeho další body jsou prsteny pro hodnocení hodnosti 1 K. obsahující k. Na rozdíl od případů vyšších dimenzí je Zariski – Riemannův prostor křivky schématem.

Riemann – Zariski prostor povrchu

Oceňovací prstence povrchu S přes k s funkčním polem K. lze klasifikovat podle dimenze (stupeň transcendence pole reziduí) a pořadí (počet nenulových konvexních podskupin skupiny ocenění). Zariski (1939) dal následující klasifikaci:

  • Dimenze 2. Jedinou možností je triviální ocenění s hodnocením 0, skupinou ocenění 0 a oceňovacím kruhem K..
  • Dimenze 1, pořadí 1. To odpovídá dělitelům při nějakém výbuchu S, nebo jinými slovy dělitelům a nekonečně blízko bodů z S. Všechny jsou diskrétní. Centrum v S může to být buď bod, nebo křivka. Oceňovací skupina je Z.
  • Dimenze 0, pořadí 2. Ty odpovídají bakterie algebraických křivek bodem na normálním modelu S. Skupina ocenění je izomorfní s Z+Z s lexikografickým řádem.
  • Dimenze 0, pořadí 1, diskrétní. Ty odpovídají zárodkům nealgebraických křivek (daných například y= nealgebraická formální mocenská řada v X) bodem normálního modelu. Oceňovací skupina je Z.
  • Dimenze 0, hodnost 1, nediskrétní, hodnotová skupina má nesrovnatelné prvky. Ty odpovídají zárodkům transcendentálních křivek, jako jsou y=Xπ bodem normálního modelu. Skupina hodnot je izomorfní s uspořádanou skupinou generovanou 2 nekombinovatelnými reálnými čísly.
  • Dimenze 0, pořadí 1, diskrétní prvky hodnotové skupiny jsou srovnatelné. Skupina hodnot může být izomorfní s jakoukoli hustou podskupinou racionálních čísel. Ty odpovídají zárodkům křivek formy y= ΣAnXbn kde jsou čísla bn jsou racionální s neomezenými jmenovateli.

Reference

  • Nagata, Masayoshi (1962), „Vložení abstraktní odrůdy do úplné odrůdy“, Journal of Mathematics of Kyoto University, 2: 1–10, doi:10.1215 / kjm / 1250524969, ISSN  0023-608X, PAN  0142549
  • Zariski, Oscar (1939), „Redukce singularit algebraického povrchu“, Ann. matematiky., 2, 40 (3): 639–689, doi:10.2307/1968949, JSTOR  1968949
  • Zariski, Oscar (1940), „Místní uniformizace algebraických odrůd“, Ann. matematiky., 2, 41: 852–896, doi:10.2307/1968864, JSTOR  1968864, PAN  0002864
  • Zariski, Oscar (1944), „Kompaktnost Riemannova potrubí abstraktního pole algebraických funkcí“, Bulletin of the American Mathematical Society, 50: 683–691, doi:10.1090 / S0002-9904-1944-08206-2, ISSN  0002-9904, PAN  0011573
  • Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1975), Komutativní algebra. Sv. II, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90171-8, PAN  0389876