Místní uniformizace - Local uniformization

V algebraické geometrii místní uniformizace je slabá forma rozlišení singularit zhruba uvádí, že odrůdu lze desingularizovat poblíž jakéhokoli ocenění, nebo jinými slovy, že Zariski – Riemannův prostor odrůdy je v jistém smyslu nesmyslná. Místní uniformizaci zavedl Zariski (1939, 1940 ), který rozdělil problém řešení singularit odrůdy na problém lokální uniformizace a problém kombinování lokálních uniformizací do globální desingularizace.

Místní uniformizace odrůdy při ocenění jejího funkčního pole znamená nalezení projektivního modelu odrůdy tak, aby centrum ocenění není singulární. To je slabší než rozlišení singularit: pokud existuje rozlišení singularit, pak se jedná o model takový, že střed každého ocenění není singulární. Zariski (1944) chyba harvtxt: více cílů (2 ×): CITEREFZariski1944 (Pomoc) dokázal, že pokud lze prokázat místní uniformizaci odrůdy, pak lze najít konečný počet modelů, takže každé ocenění má alespoň na jednom z těchto modelů jiné než singulární centrum. Abychom dokončili důkaz rozlišení singularit, stačí ukázat, že je možné tyto konečné modely spojit do jednoho modelu, ale zdá se to poněkud obtížné. (Místní uniformizace při ocenění přímo neznamená rozlišení ve středu ocenění: zhruba řečeno; znamená to pouze řešení v jakémsi „klínu“ poblíž tohoto bodu a zdá se těžké kombinovat rozlišení různých klínů do rozlišení v určitém okamžiku.)

Zariski (1940) prokázal lokální uniformizaci odrůd v jakékoli dimenzi nad poli charakteristiky 0 a použil to k prokázání rozlišení singularit pro odrůdy v charakteristice 0 dimenze maximálně 3. Lokální uniformizace v pozitivní charakteristice se zdá být mnohem těžší. Abhyankar (1956, 1966 ) prokázal lokální uniformizaci ve všech charakteristikách pro povrchy a v charakteristikách minimálně 7 pro trojnásobky a dokázal z toho odvodit globální rozlišení singularit v těchto případech. Cutkosky (2009) zjednodušil Abhyankarův dlouhý důkaz. Cossart a Piltant (2008, 2009 ) rozšířil Abhyankarův důkaz místní uniformizace trojnásobku na zbývající charakteristiky 2, 3 a 5. Temkin (2013) ukázal, že je možné najít lokální uniformizaci jakéhokoli ocenění po převzetí čistě neoddělitelného rozšíření funkčního pole.

Místní uniformizace v pozitivní charakteristice pro odrůdy dimenze nejméně 4 je (od roku 2019) otevřeným problémem.

Reference

• Abhyankar, Shreeram (1956), „Místní uniformizace na algebraických plochách nad pozemními poli charakteristických p≠0", Annals of Mathematics, Druhá série, 63 (3): 491–526, doi:10.2307/1970014, JSTOR  1970014, PAN  0078017
• Abhyankar, Shreeram S. (1966), Rozlišení singularit vložených algebraických povrchů, Springer Monographs in Mathematics, Acad. Lis, doi:10.1007/978-3-662-03580-1, ISBN  3-540-63719-2 (1998 2. vydání)
• Cossart, Vincent; Piltant, Olivier (2008), „Rozlišení singularit trojnásobku v pozitivní charakteristice. I. Redukce lokální uniformizace na Artin – Schreier a čistě neoddělitelné krytiny“, Journal of Algebra, 320 (3): 1051–1082, doi:10.1016 / j.jalgebra.2008.03.032, PAN  2427629
• Cossart, Vincent; Piltant, Olivier (2009), „Rozlišení singularit trojnásobku v pozitivní charakteristice. II“ (PDF), Journal of Algebra, 321 (7): 1836–1976, doi:10.1016 / j.jalgebra.2008.11.030, PAN  2494751
• Cutkosky, Steven Dale (2009), „Rozlišení singularit pro trojnásobek v pozitivní charakteristice“, Amer. J. Math., 131 (1): 59–127, arXiv:matematika / 0606530, doi:10.1353 / ajm.0.0036, JSTOR  40068184, PAN  2488485, S2CID  2139305
• Temkin, Michael (2013), „Neoddělitelná místní uniformizace“, J. Algebra, 373: 65–119, arXiv:0804.1554, doi:10.1016 / j.jalgebra.2012.09.023, PAN  2995017, S2CID  115167009
• Zariski, Oscar (1939), „Redukce singularit algebraického povrchu“, Ann. matematiky., 2, 40 (3): 639–689, doi:10.2307/1968949, JSTOR  1968949
• Zariski, Oscar (1940), „Místní uniformizace algebraických odrůd“, Ann. matematiky., 2, 41 (4): 852–896, doi:10.2307/1968864, JSTOR  1968864, PAN  0002864
• Zariski, Oscar (1944), „Kompaktnost Riemannova potrubí abstraktního pole algebraických funkcí“, Bulletin of the American Mathematical Society, 50 (10): 683–691, doi:10.1090 / S0002-9904-1944-08206-2, ISSN  0002-9904, PAN  0011573
• Zariski, Oscar (1944), „Redukce singularit algebraických trojrozměrných variet“, Ann. matematiky., 2, 45 (3): 472–542, doi:10.2307/1969189, JSTOR  1969189, PAN  0011006

externí odkazy

• „Local_uniformization“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]