Unramified morphism - Unramified morphism

V algebraické geometrii, an unramified morphism je morfismus ${ displaystyle f: X až Y}$ schémat tak, že (a) je lokálně konečné prezentace a (b) pro každý ${ displaystyle x v X}$ a ${ displaystyle y = f (x)}$, máme to

1. Pole zbytků ${ displaystyle k (x)}$ je oddělitelné algebraické rozšíření z ${ displaystyle k (y)}$.
2. ${ displaystyle f ^ { #} ({ mathfrak {m}} _ {y}) { mathcal {O}} _ {x, X} = { mathfrak {m}} _ {x},}$ kde ${ displaystyle f ^ { #}: { mathcal {O}} _ {y, Y} až { mathcal {O}} _ {x, X}}$ a ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {y}, { mathfrak {m}} _ {x}}$ jsou maximální ideály místních prstenů.

Plochý unramified morfismus se nazývá étale morphism. Méně silně, pokud ${ displaystyle f}$ splňuje podmínky, je-li omezen na dostatečně malá sousedství ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$, pak ${ displaystyle f}$ je řekl, aby byl unramified blízko ${ displaystyle x}$.

Někteří autoři raději používají slabší podmínky, v takovém případě nazývají morfismus splňující výše uvedené a G-unramified morfismus.

Jednoduchý příklad

Nechat ${ displaystyle A}$ být prsten a B prsten získaný přilehlým k integrální prvek na A; tj., ${ displaystyle B = A [t] / (F)}$ pro nějaký monický polynom F. Pak ${ displaystyle operatorname {Spec} (B) na operatorname {Spec} (A)}$ je unramified, pokud a pouze v případě, že polynom F je oddělitelný (tj. on a jeho derivát generují ideální jednotku ${ displaystyle A [t]}$).

Křivka

Nechat ${ displaystyle f: X až Y}$ být konečným morfismem mezi hladce spojenými křivkami nad algebraicky uzavřeným polem, P uzavřený bod X a ${ displaystyle Q = f (P)}$. Pak máme lokální prstenový homomorfismus ${ displaystyle f ^ { #}: { mathcal {O}} _ {Q} až { mathcal {O}} _ {P}}$ kde ${ displaystyle ({ mathcal {O}} _ {Q}, { mathfrak {m}} _ {Q})}$ a ${ displaystyle ({ mathcal {O}} _ {P}, { mathfrak {m}} _ {P})}$ jsou místní kruhy v Q a P z Y a X. Od té doby ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {P}}$ je diskrétní oceňovací kruh, existuje jedinečné celé číslo ${ displaystyle e_ {P}> 0}$ takhle ${ displaystyle f ^ { #} ({ mathfrak {m}} _ {Q}) { mathcal {O}} _ {P} = {{ mathfrak {m}} _ {P}} ^ {e_ {P}}}$. Celé číslo ${ displaystyle e_ {P}}$ se nazývá index rozvětvení z ${ displaystyle P}$ přes ${ displaystyle Q}$.^[1] Od té doby ${ displaystyle k (P) = k (Q)}$ protože základní pole je algebraicky uzavřeno, ${ displaystyle f}$ je unramified v ${ displaystyle P}$ (ve skutečnosti, étale ) právě tehdy ${ displaystyle e_ {P} = 1}$. V opačném případě, ${ displaystyle f}$ je prý rozvětvený na P a Q se nazývá a odbočka.

Charakterizace

Vzhledem k morfismu ${ displaystyle f: X až Y}$ to je lokálně konečné prezentace, ekvivalentní jsou následující:^[2]

1. F je unramified.
2. The úhlopříčná mapa ${ displaystyle delta _ {f}: X až X krát _ {Y} X}$ je otevřené ponoření.
3. Příbuzný kotangensový svazek ${ displaystyle Omega _ {X / Y}}$ je nula.

Viz také

• Konečná rozšíření místních polí
• Rozvětvení (matematika)

Reference

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007 / bf02732123. PAN  0238860.
• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.