Plochý morfismus - Flat morphism

v matematika, zejména v teorii schémata v algebraická geometrie, a plochý morfismus F ze schématu X do schématu Y je morfismus takový, že indukovaná mapa na každém stonek je plochá mapa prstenů, tj.

${ displaystyle f_ {P}: { mathcal {O}} _ {Y, f (P)} až { mathcal {O}} _ {X, P}}$

je plochá mapa pro všechny P v X.^[1] Mapa prstenů A → B je nazýván byt pokud je to homomorfismus, který dělá B A byt A-modul. Morfismus schémat se nazývá věrně plochý pokud je to surjektivní i ploché.^[2]

Dvě základní intuice týkající se plochých morfismů jsou:

• plochost je a obecná vlastnost; a
• selhání plochosti nastává na skákací sadě morfismu.

První z nich pochází z komutativní algebra: podléhá některým podmínky konečnosti na F, lze ukázat, že existuje neprázdné otevřené dílčí schéma Y′ Z Y, takový, že F omezeno na Y′ Je plochý morfismus (obecná plochost ). Zde je „omezení“ vykládáno pomocí vláknový produkt režimů, aplikován na F a mapa zařazení z Y′ Do Y.

U druhého jde o to, že morfismy v algebraické geometrii mohou vykazovat nespojitosti druhu, které jsou detekovány plochostí. Například provoz fouká dolů v birational geometrie z algebraický povrch, může dát singl vlákno to je dimenze 1, když všechny ostatní mají dimenzi 0. Ukazuje se (retrospektivně), že plochost morfismů přímo souvisí s ovládáním tohoto druhu polokontinuita nebo jednostranné skákání.

Ploché morfismy se používají k definování (více než jedné verze) ploché topos, a plochá kohomologie snopy z toho. Jedná se o hluboce zakořeněnou teorii, jejíž zvládnutí nebylo snadné. Koncept étale morphism (a tak étale cohomology ) závisí na konceptu plochého morfismu: étale morfismus bytí, konečného typu, a unramified.

Příklady / ne-příklady

Zvažte afinní schéma

${ displaystyle operatorname {Spec} left ({ frac { mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}} right) to operatorname {Spec} ( mathbb {C} [t])}$

vyvolané zjevným morfismem algeber

${ displaystyle { begin {cases} mathbb {C} [t] to { frac { mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t }} t mapsto t end {případy}}}$

Protože prokazování plochosti tohoto morfismu se rovná výpočtu^[3]

${ displaystyle { text {Tor}} _ {1} ^ { mathbb {C} [t]} vlevo ({ frac { mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2 } + y ^ {2} -t}}, mathbb {C} vpravo),}$

vyřešíme komplexní čísla

${ displaystyle { begin {array} {lcccc} 0 & to & mathbb {C} [t] & { xrightarrow { cdot t}} & mathbb {C} [t] & to & 0 downarrow && downarrow && downarrow && downarrow 0 & to & 0 & to & mathbb {C} & to & 0 end {pole}}}$

a tensor modulem představujícím naše schéma dávající posloupnost ${ displaystyle mathbb {C} [t]}$- moduly

${ displaystyle 0 to { frac { mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}} { xrightarrow { cdot t}} { frac { mathbb {C} [x, y, t]} {x ^ {2} + y ^ {2} -t}} až 0}$

Protože t není nulový dělitel máme triviální jádro, proto skupina homologie zmizí.

Další příklady plochých morfismů lze najít pomocí „zázračné plochosti“^[4] který říká, že pokud máte morfismus ${ displaystyle f: X až Y}$ mezi schématem cohen-macaulay k pravidelnému schématu s ekvidimenzionálními vlákny, pak je ploché. Snadné příklady tohoto jsou eliptické fibrace, hladké morfismy a morfismy na stratifikované odrůdy které uspokojí zázračnou rovinnost na každé z vrstev.

Jednoduchý příklad plochého morfismu je ${ displaystyle k [ varepsilon] = k [x] / (x ^ {2}) až k.}$ Je to proto, že pokud počítáme ${ displaystyle k otimes _ {k [ varepsilon]} ^ { mathbf {L}} k,}$ musíme vzít ploché rozlišení k,

${ displaystyle cdots ~ { xrightarrow {{ overset {} { cdot}} varepsilon}} ~ k [ varepsilon] ~ { xrightarrow { cdot varepsilon}} ~ k [ varepsilon] { xrightarrow { cdot varepsilon}} k [ varepsilon] do k}$

a tenzorovat rozlišení pomocí k, zjistíme, že

${ displaystyle k otimes _ {k [ varepsilon]} ^ { mathbf {L}} k simeq bigoplus _ {i = 0} ^ { infty} k [+ i]}$

což ukazuje, že morfismus nemůže být plochý. Dalším příkladem plochého morfismu je a nafouknout protože plochý morfismus nutně má ekvidimenzionální vlákna.

Vlastnosti plochých morfismů

Nechat F : X → Y být morfismem schémat. Pro morfismus G : Y′ → Y, nechť X′ = X ×_Y Y′ a F′ = (F, 1_Y′) : X′ → Y′. F je plochý právě tehdy, když pro každého G, zpětný chod ${ displaystyle f '^ {*}}$ je přesný funktor z kategorie kvazi-koherentního ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y '}}$-moduly do kategorie kvazi-koherentních ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X '}}$- moduly.^[5]

Převzít F : X → Y a G : Y → Z jsou morfismy schémat a F je plochý na X v X. Pak G je plochý na F(X) právě tehdy gf je plochý na X.^[6] Zejména pokud F je tedy věrně plochá G je plochá nebo věrně plochá právě tehdy gf je plochá nebo věrně plochá.^[7]

Základní vlastnosti

• Složený ze dvou plochých morfismů je plochý.^[8]
• Produktem vláken dvou plochých nebo věrně plochých morfismů je plochý nebo věrně plochý morfismus.^[9]
• Rovnost a věrná plochost je zachována změnou základny: Pokud F je plochá nebo věrně plochá a G : Y′ → Y, pak výrobek z vláken F × G : X ×_Y Y′ → Y′ je plochá nebo věrně plochá.^[10]
• Soubor bodů, kde je morfismus (místně s konečnou prezentací) plochý, je otevřený.^[11]
• Li F je věrně plochá a konečná prezentace, a pokud gf je konečný typ nebo konečná prezentace G je konečného typu, respektive konečné prezentace.^[12]

Předpokládat F: X → Y je plochý morfismus schémat.

• Li F je kvazi-koherentní svazek konečné prezentace Y (zejména pokud F je koherentní), a pokud J je ničitelem F na Y, pak ${ displaystyle f ^ {*} J až { mathcal {O}} _ {X}}$, odvolání mapy začlenění, je injekce a obrázek ${ displaystyle f ^ {*} J}$ v ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ je ničitelem ${ displaystyle f ^ {*} F}$ na X.^[13]
• Li F je věrně plochá a pokud G je kvazi-koherentní ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y}}$-module, pak mapa stažení v globálních sekcích ${ displaystyle Gamma (Y, G) až Gamma (X, f ^ {*} G)}$ je injekční.^[14]

Předpokládat h : S′ → S je plochá. Nechat X a Y být S- schémata, a nechte X' a YBude jejich základní změna o h.

• Li F : X → Y je kvazi kompaktní a dominantní, pak se mění jeho základna F′ : X′ → Y′ je kvazi kompaktní a dominantní.^[15]
• Li h je věrně plochá, pak mapa zpětného rázu Hom_S(X, Y) → Hom_S′(X′, Y′) je injekční.^[16]
• Převzít F : X → Y je kvazi-kompaktní a kvazi-oddělená. Nechat Z být uzavřeným obrazem Xa nechte j : Z → Y být kanonickou injekcí. Poté se uzavřené dílčí schéma určí změnou základny j′ : Z′ → Y′ je uzavřený obraz X′.^[17]

Topologické vlastnosti

Li F : X → Y je plochý, pak má všechny následující vlastnosti:

• Za každý bod X z X a každá generace y′ Z y = F(X)existuje generování X′ Z X takhle y′ = F(X′).^[18]
• Za každý bod X z X, ${ displaystyle f ( operatorname {Spec} { mathcal {O}} _ {X, x}) = operatorname {Spec} { mathcal {O}} _ {Y, f (x)}}$.^[19]
• Pro každou neredukovatelnou uzavřenou podmnožinu Y′ Z Y, každá neredukovatelná složka F⁻¹(Y′) Dominuje Y′.^[20]
• Li Z a Z′ Jsou dvě neredukovatelné uzavřené podmnožiny Y s Z obsaženo v Z′, Pak pro každou neredukovatelnou složku T z F⁻¹(Z), existuje neredukovatelná složka T′ Z F⁻¹(Z′) Obsahující T.^[21]
• Pro každou neredukovatelnou složku T z Xuzavření F(T) je neredukovatelná složka Y.^[22]
• Li Y je neredukovatelné s obecným bodem y, a pokud F⁻¹(y) je tedy neredukovatelný X je neredukovatelný.^[23]
• Li F je také uzavřen, obraz všech připojených komponent X je připojenou součástí Y.^[24]
• Pro každou pro-konstruovatelnou podmnožinu Z z Y, ${ displaystyle f ^ {- 1} ({ bar {Z}}) = { overline {f ^ {- 1} (Z)}}}$.^[25]

Li F je tedy plochý a místně s konečnou prezentací F je všeobecně otevřený.^[26] Pokud však F je věrně plochý a kvazi kompaktní, není to obecně pravda F je otevřený, i když X a Y jsou noetherian.^[27] Kromě toho neplatí žádná konverzace k tomuto tvrzení: If F je kanonická mapa z redukovaného schématu X_Červené na X, pak F je univerzální homeomorfismus, ale pro X neredukovaný a noetherian, F nikdy není plochá.^[28]

Li F : X → Y je věrně plochý, pak:

• Topologie zapnuta Y je kvocient topologie ve vztahu k F.^[29]
• Li F je také kvazi kompaktní a pokud Z je podmnožinou Y, pak Z je lokálně uzavřená pro-konstruktivní podmnožina Y kdyby a jen kdyby F⁻¹(Z) je lokálně uzavřená pro-konstruktivní podmnožina X.^[30]

Li F je plochý a místně s konečnou prezentací, pak pro každou z následujících vlastností P, množina bodů kde F má P je otevřeno:^[31]

• Serreův stav S_k (pro všechny pevné k).
• Geometricky pravidelné.
• Geometricky normální.

Pokud navíc F je správné, pak totéž platí pro každou z následujících vlastností:^[32]

• Geometricky zmenšené.
• Geometricky redukované a mající k geometrické spojené komponenty (pro všechny pevné k).
• Geometricky integrální.

Rovinnost a rozměr

Převzít X a Y jsou místně noetherian, a nechť F : X → Y.

• Nechat X být bodem X a y = F(X). Li F je tedy plochý ztlumit_X X = dim_y Y + dim_X F⁻¹(y).^[33] Naopak, pokud tato rovnost platí pro všechny X, X je Cohen – Macaulay, a Y je pravidelný, a dále f mapuje uzavřené body na uzavřené body F je plochá.^[34]
• Li F je věrně plochý, pak pro každou uzavřenou podmnožinu Z z Y, codim_Y(Z) = codim_X(F⁻¹(Z)).^[35]
• Předpokládat F je plochá a F je kvazi-koherentní modul Y. Li F má projektivní rozměr nanejvýš n, pak ${ displaystyle f ^ {*} F}$ má projektivní rozměr nanejvýš n.^[36]

Vlastnosti sestupu

• Převzít F je plochý na X v X. Li X je snížena nebo normální na X, pak Y je snížena nebo normální, v uvedeném pořadí F(X).^[37] Naopak, pokud F je také konečné prezentace a F⁻¹(y) je snížena nebo normální, v uvedeném pořadí X, pak X je snížena nebo normální, v tomto pořadí, X.^[38]
• Zejména pokud F je tedy věrně plochá X snížený nebo normální to znamená Y je snížená nebo normální. Li F je věrně plochá a má konečnou prezentaci, pak všechna vlákna F snížený nebo normální to znamená X je snížená nebo normální.
• Li F je plochý na X v X, a pokud X je integrální nebo integrálně uzavřená v X, pak Y je integrální nebo integrálně uzavřená v uvedeném pořadí v F(X).^[39]
• Li F je věrně plochá, X je lokálně integrální a topologický prostor Y je tedy místně noetherian Y je lokálně integrální.^[40]
• Li F je věrně plochá a kvazi kompaktní, a pokud X je tedy místně noetherian Y je také místně noetherian.^[41]
• Převzít F je plochá a X a Y jsou místně noetherian. Li X je pravidelný v X, pak Y je pravidelný v F(X). Naopak, pokud Y je pravidelný v F(X) a F⁻¹(F(X)) je pravidelný v X, pak X je pravidelný v X.^[42]
• Převzít F je plochá a X a Y jsou místně noetherian. Li X je normální v X, pak Y je normální v F(X). Naopak, pokud Y je normální v F(X) a F⁻¹(F(X)) je normální na X, pak X je normální v X.^[43]

Nechat G : Y′ → Y být věrně plochý. Nechat F být kvazi-koherentní svazek Ya nechte FBude návratem F na Y'. Pak F je naplocho Y kdyby a jen kdyby F′ Je naplocho Y′.^[44]

Převzít F je věrně plochý a kvazi kompaktní. Nechat G být kvazi-koherentní svazek Ya nechte F označit jeho pullback na X. Pak F je konečný typ, konečná prezentace nebo místně bez hodnocení n kdyby a jen kdyby G má odpovídající vlastnost.^[45]

Předpokládat F : X → Y je S-morfismus S-schémata. Nechat G : S′ → S být věrně plochý a kvazi kompaktní a nechat X′, Y', a F′ Označuje základní změny o G. Pak pro každou z následujících vlastností P, pokud F′ Má P, pak F má P.^[46]

• Otevřeno.
• Zavřeno.
• Kvazi-kompaktní a homeomorfismus na svůj obraz.
• Homeomorfismus.

Navíc pro každou z následujících vlastností P, F má P kdyby a jen kdyby F′ Má P.^[47]

• Všeobecně otevřené.
• Všeobecně uzavřeno.
• Univerzální homeomorfismus.
• Kvazi kompaktní.
• Kvazi-kompaktní a dominantní.
• Kvazi-kompaktní a univerzálně bicontinuous.
• Oddělené.
• Kvazi oddělené.
• Lokálně konečného typu.
• Lokálně konečné prezentace.
• Konečný typ.
• Konečná prezentace.
• Správně.
• Izomorfismus.
• Monomorfismus.
• Otevřené ponoření.
• Kvazi-kompaktní ponor.
• Uzavřený ponor.
• Afinní.
• Kvazi-afinní.
• Konečný.
• Kvazi-konečný.
• Integrální.

Je možné pro F′ Být lokálním izomorfismem bez F být dokonce místním ponořením.^[48]

Li F je kvazi-kompaktní a L je invertibilní svazek na X, pak L je F-příklad nebo F-velmi dostačující, právě když je jeho zpětný chod L' je F′ - příklad nebo F′ - velmi bohatý.^[49] Není to však pravda F je projektivní právě tehdy F′ Je projektivní. Není ani pravda, že pokud F je správné a F′ Je tedy projektivní F je kvazi-projektivní, protože je možné mít F'Ukázkový svazek zapnutý X′ Který nesestupuje do X.^[50]

Viz také

• morfismus fpqc
• Relativně efektivní dělitel Cartier, příklad plochého morfismu
• Degenerace (algebraická geometrie)

Poznámky

Reference

• Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra, Postgraduální texty z matematiky, 150, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94268-1, PAN  1322960, ISBN  978-0-387-94269-8, oddíl 6.
• Serre, Jean-Pierre (1956), „Géométrie algébrique et géométrie analytique“, Annales de l'Institut Fourier, 6: 1–42, doi:10,5802 / aif.59, ISSN  0373-0956, PAN  0082175
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007 / bf02684778. PAN  0217083.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1965). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 24. doi:10.1007 / bf02684322. PAN  0199181.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1966). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 28. doi:10.1007 / bf02684343. PAN  0217086.
• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157