v matematika , Mapa Kodaira – Spencer , představil Kunihiko Kodaira a Donald C. Spencer , je mapa spojené s a deformace a systém nebo komplexní potrubí X , přičemž tečný prostor bodu bodu deformační prostor na první kohomologická skupina z snop z vektorová pole naX .
Definice Historická motivace Mapa Kodaira – Spencer byla původně vytvořena v prostředí složitých potrubí. Vzhledem ke složitému analytickému potrubí M { displaystyle M} U i { displaystyle U_ {i}} F j k { displaystyle f_ {jk}} z k → z j = ( z j 1 , … , z j n ) { displaystyle z_ {k} až z_ {j} = (z_ {j} ^ {1}, ldots, z_ {j} ^ {n})} F j k ( z k ) { displaystyle f_ {jk} (z_ {k})} F j k ( z k , t 1 , … , t k ) { displaystyle f_ {jk} (z_ {k}, t_ {1}, ldots, t_ {k})} B { displaystyle B} t 1 , … , t k { displaystyle t_ {1}, ldots, t_ {k}} F j k ( z k , 0 , … , 0 ) = F j k ( z k ) { displaystyle f_ {jk} (z_ {k}, 0, ldots, 0) = f_ {jk} (z_ {k})} t i { displaystyle t_ {i}} M { displaystyle M} M { displaystyle M} H 1 ( M , T M ) { displaystyle H ^ {1} (M, T_ {M})} [1]
Původní definice Formálnější je Mapa Kodaira – Spencer je[2]
K. S : T 0 B → H 1 ( M , T M ) { displaystyle KS: T_ {0} B až H ^ {1} (M, T_ {M})} kde
M → B { displaystyle { mathcal {M}} do B} složité prostory [3] speciální vlákno M = M 0 { displaystyle M = { mathcal {M}} _ {0}} δ { displaystyle delta} T M | M → T 0 B ⊗ Ó M { displaystyle T { mathcal {M}} | _ {M} až T_ {0} B otimes { mathcal {O}} _ {M}} T M { displaystyle T_ {M}} Li proti { displaystyle v} T 0 B { displaystyle T_ {0} B} K. S ( proti ) { displaystyle KS (v)} Třída Kodaira – Spencer z proti { displaystyle v}
Protože teorie deformací byla rozšířena na několik dalších kontextů, jako jsou deformace v teorii schémat nebo prstencovité topoi, existují pro tyto kontexty konstrukce mapy Kodaira – Spencer.
V teorii schématu nad základním polem k { displaystyle k} 0 { displaystyle 0} X → S = Spec ( k [ t ] / t 2 ) { displaystyle { mathcal {X}} to S = operatorname {Spec} (k [t] / t ^ {2})} H 1 ( X , T X ) { displaystyle H ^ {1} (X, TX)}
Stavby Použití nekonečných čísel Podmínka cyklu pro deformace Přes charakteristický 0 { displaystyle 0} [4] X { displaystyle X} U = { U α } α ∈ Já { displaystyle { mathcal {U}} = {U _ { alpha} } _ { alpha v I}} z α = ( z α 1 , … , z α n ) { displaystyle z _ { alpha} = (z _ { alpha} ^ {1}, ldots, z _ { alpha} ^ {n})}
F β α : U β | U α β → U α | U α β { displaystyle f _ { beta alpha}: U _ { beta} | _ {U _ { alpha beta}} až U _ { alpha} | _ {U _ { alpha beta}}} F α β ( z β ) = z α { displaystyle f _ { alpha beta} (z _ { beta}) = z _ { alpha}}
Připomeňme, že deformace je dána komutativním diagramem
X → X ↓ ↓ Spec ( C ) → Spec ( C [ ε ] ) { displaystyle { begin {matrix} X & to & { mathfrak {X}} downarrow && downarrow { text {Spec}} ( mathbb {C}) & to & { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon]) end {matrix}}}
kde C [ ε ] { displaystyle mathbb {C} [ varepsilon]} kruh dvojitých čísel a vertikální mapy jsou ploché, deformace má cohomologickou interpretaci jako cocycles F ~ α β ( z β , ε ) { displaystyle { tilde {f}} _ { alpha beta} (z _ { beta}, varepsilon)} U α × Spec ( C [ ε ] ) { displaystyle U _ { alpha} times { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon])}
z α = F ~ α β ( z β , ε ) = F α β ( z β ) + ε b α β ( z β ) { displaystyle z _ { alpha} = { tilde {f}} _ { alpha beta} (z _ { beta}, varepsilon) = f _ { alpha beta} (z _ { beta}) + varepsilon b _ { alpha beta} (z _ { beta})}
Pokud F ~ α β { displaystyle { tilde {f}} _ { alpha beta}} X { displaystyle { mathfrak {X}}}
F ~ α y ( z y , ε ) = F ~ α β ( F ~ β y ( z y , ε ) , ε ) = F α β ( F β y ( z y ) + ε b β y ( z y ) ) + ε b α β ( F β y ( z y ) + ε b β y ( z y ) ) { displaystyle { begin {aligned} { tilde {f}} _ { alpha gamma} (z _ { gamma}, varepsilon) = & { tilde {f}} _ { alpha beta} ( { tilde {f}} _ { beta gamma} (z _ { gamma}, varepsilon), varepsilon) = & f _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma}) + varepsilon b _ { beta gamma} (z _ { gamma})) & + varepsilon b _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma}) + varepsilon b _ { beta gamma} (z _ { gamma})) end {zarovnáno}}}
Použití vlastností dvojitých čísel, jmenovitě G ( A + b ε ) = G ( A ) + ε G ′ ( A ) b { displaystyle g (a + b varepsilon) = g (a) + varepsilon g '(a) b}
F α β ( F β y ( z y ) + ε b β y ( z y ) ) = F α β ( F β y ( z y ) ) + ε ∂ F α β ∂ z α ( z α ) b β y ( z y ) { displaystyle { begin {aligned} f _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma}) + varepsilon b _ { beta gamma} (z _ { gamma})) = & f _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma})) + varepsilon { frac { částečné f _ { alpha beta}} { částečné z _ { alpha}}} (z _ { alpha}) b _ { beta _ { gamma}} (z _ { gamma}) end {zarovnáno}}}
a
ε b α β ( F β y ( z y ) + ε b β y ( z y ) ) = ε b α β ( F β y ( z y ) ) + ε 2 ∂ b α β ∂ z α ( z α ) b β y ( z y ) = ε b α β ( F β y ( z y ) ) = ε b α β ( z β ) { displaystyle { begin {aligned} varepsilon b _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma}) + varepsilon b _ { beta gamma} (z _ { gamma}) ) = & varepsilon b _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma})) + varepsilon ^ {2} { frac { částečné b _ { alfa beta}} { částečné z _ { alpha}}} (z _ { alpha}) b _ { beta _ { gamma}} (z _ { gamma}) = & varepsilon b _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma})) = & varepsilon b _ { alpha beta} (z _ { beta}) end {zarovnáno}}}
proto je stav cyklu zapnutý U α × Spec ( C [ ε ] ) { displaystyle U _ { alpha} times { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon])}
b α y = ∂ F α β ∂ z β b β y + b α β { displaystyle b _ { alpha gamma} = { frac { částečné f _ { alpha beta}} { částečné z _ { beta}}} b _ { beta gamma} + b _ { alfa beta} } F α y = F α β ∘ F β y { displaystyle f _ { alpha gamma} = f _ { alpha beta} circ f _ { beta gamma}} Konverze vektorových polí na cocykly Cyklus deformace lze snadno převést na cyklus vektorových polí θ = { θ α β } ∈ C 1 ( U , T X ) { displaystyle theta = { theta _ { alpha beta} } v C ^ {1} ({ mathcal {U}}, T_ {X})} F ~ α β = F α β + ε b α β { displaystyle { tilde {f}} _ { alpha beta} = f _ { alpha beta} + varepsilon b _ { alpha beta}}
θ α β = ∑ i = 1 n b α β i ∂ ∂ z α i { displaystyle theta _ { alpha beta} = součet _ {i = 1} ^ {n} b _ { alpha beta} ^ {i} { frac { částečné} { částečné z _ { alfa } ^ {i}}}}
což je 1-řetěz. Pak pravidlo pro přechodové mapy z b α y { displaystyle b _ { alpha gamma}} [ θ ] ∈ H 1 ( X , T X ) { displaystyle [ theta] v H ^ {1} (X, T_ {X})}
Pomocí vektorových polí Jedna z původních konstrukcí této mapy používala vektorová pole v nastavení diferenciální geometrie a komplexní analýzy.[1] t { displaystyle t}
F i k α ( z k , t ) = F i j α ( F k j 1 ( z k , t ) , … , F k j n ( z k , t ) , t ) { displaystyle f_ {ik} ^ { alpha} (z_ {k}, t) = f_ {ij} ^ { alpha} (f_ {kj} ^ {1} (z_ {k}, t), ldots , f_ {kj} ^ {n} (z_ {k}, t), t)}
Potom derivace F i k α ( z k , t ) { displaystyle f_ {ik} ^ { alpha} (z_ {k}, t)} t { displaystyle t}
∂ F i k α ( z k , t ) ∂ t = ∂ F i j α ( z j , t ) ∂ t + ∑ β = 0 n ∂ F i j α ( z j , t ) ∂ F j k β ( z k , t ) ⋅ ∂ F j k β ( z k , t ) ∂ t { displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { částečné f_ {ik} ^ { alpha} (z_ {k}, t)} { částečné t}} & = { frac { částečné f_ {ij } ^ { alpha} (z_ {j}, t)} { částečné t}} + součet _ { beta = 0} ^ {n} { frac { částečné f_ {ij} ^ { alfa} (z_ {j}, t)} { částečné f_ {jk} ^ { beta} (z_ {k}, t)}} cdot { frac { částečné f_ {jk} ^ { beta} (z_ {k}, t)} { částečné t}} konec {zarovnáno}}}
Všimněte si, protože z j β = F j k β ( z k , t ) { displaystyle z_ {j} ^ { beta} = f_ {jk} ^ { beta} (z_ {k}, t)} z i α = F i j α ( z j , t ) { displaystyle z_ {i} ^ { alpha} = f_ {ij} ^ { alpha} (z_ {j}, t)}
∂ F i k α ( z k , t ) ∂ t = ∂ F i j α ( z j , t ) ∂ t + ∑ β = 0 n ∂ z i α ∂ z j β ⋅ ∂ F j k β ( z k , t ) ∂ t { displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { částečné f_ {ik} ^ { alpha} (z_ {k}, t)} { částečné t}} & = { frac { částečné f_ {ij } ^ { alpha} (z_ {j}, t)} { částečné t}} + součet _ { beta = 0} ^ {n} { frac { částečné z_ {i} ^ { alfa} } { částečné z_ {j} ^ { beta}}} cdot { frac { částečné f_ {jk} ^ { beta} (z_ {k}, t)} { částečné t}} konec {zarovnáno}}}
Pokud použijeme zápis holomorfního vektorového pole, které má tyto parciální derivace jako koeficienty, tak proto
∂ ∂ z j β = ∑ α = 1 n ∂ z i α ∂ z j β ⋅ ∂ ∂ z i α { displaystyle { frac { částečné} { částečné z_ {j} ^ { beta}}} = součet _ { alpha = 1} ^ {n} { frac { částečné z_ {i} ^ { alpha}} { částečné z_ {j} ^ { beta}}} cdot { frac { částečné} { částečné z_ {i} ^ { alfa}}}}
dostaneme následující rovnici vektorových polí
∑ α = 0 n ∂ F i k α ( z k , t ) ∂ t ∂ ∂ z i α = ∑ α = 0 n ∂ F i j α ( z j , t ) ∂ t ∂ ∂ z i α + ∑ β = 0 n ∂ F j k β ( z k , t ) ∂ t ∂ ∂ z j β { displaystyle { begin {aligned} sum _ { alpha = 0} ^ {n} { frac { částečné f_ {ik} ^ { alpha} (z_ {k}, t)} { částečné t }} { frac { parciální} { parciální z_ {i} ^ { alpha}}} = & sum _ { alpha = 0} ^ {n} { frac { parciální f_ {ij} ^ { alpha} (z_ {j}, t)} { částečné t}} { frac { částečné} { částečné z_ {i} ^ { alpha}}} & + sum _ { beta = 0} ^ {n} { frac { částečný f_ {jk} ^ { beta} (z_ {k}, t)} { částečný t}} { frac { částečný} { částečný z_ {j} ^ { beta}}} end {zarovnáno}}}
Přepisujete to jako vektorová pole
θ i k ( t ) = θ i j ( t ) + θ j k ( t ) { displaystyle theta _ {ik} (t) = theta _ {ij} (t) + theta _ {jk} (t)}
kde
θ i j ( t ) = ∂ F i j α ( z j , t ) ∂ t ∂ ∂ z i α { displaystyle theta _ {ij} (t) = { frac { částečné f_ {ij} ^ { alpha} (z_ {j}, t)} { částečné t}} { frac { částečné} { částečné z_ {i} ^ { alpha}}}}
dává podmínku cocycle. Proto to přidružilo třídu v H 1 ( M , T M ) { displaystyle H ^ {1} (M, T_ {M})}
V teorii schémat Deformace hladké odrůdy[5]
X → X ↓ ↓ Spec ( k ) → Spec ( k [ ε ] ) { displaystyle { begin {matrix} X & to & { mathfrak {X}} downarrow && downarrow { text {Spec}} (k) & to & { text {Spec}} (k [ varepsilon]) end {matrix}}}
nechte cohomologicky zkonstruovat třídu Kodaira-Spencer. S touto deformací je spojena krátká přesná sekvence
0 → π ∗ Ω Spec ( k [ ε ] ) 1 → Ω X 1 → Ω X / S 1 → 0 { displaystyle 0 to pi ^ {*} Omega _ {{ text {Spec}} (k [ varepsilon])} ^ {1} to Omega _ { mathfrak {X}} ^ {1 } to Omega _ {{ mathfrak {X}} / S} ^ {1} to 0}
(kde π : X → Spec ( k [ ε ] ) { displaystyle pi: { mathfrak {X}} na { text {Spec}} (k [ varepsilon])} Ó X { displaystyle { mathcal {O}} _ { mathfrak {X}}} Ó X { displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}
0 → Ó X → Ω X 1 ⊗ Ó X → Ω X 1 → 0 { displaystyle 0 to { mathcal {O}} _ {X} to Omega _ { mathfrak {X}} ^ {1} otimes { mathcal {O}} _ {X} to Omega _ {X} ^ {1} až 0}
Použitím odvozené kategorie , toto definuje prvek v
R Hom ( Ω X 1 , Ó X [ + 1 ] ) ≅ R Hom ( Ó X , T X [ + 1 ] ) ≅ Ext 1 ( Ó X , T X ) ≅ H 1 ( X , T X ) { displaystyle { begin {aligned} mathbf {R} { text {Hom}} ( Omega _ {X} ^ {1}, { mathcal {O}} _ {X} [+ 1]) & cong mathbf {R} { text {Hom}} ({ mathcal {O}} _ {X}, T_ {X} [+ 1]) & cong { text {Ext}} ^ { 1} ({ mathcal {O}} _ {X}, T_ {X}) & cong H ^ {1} (X, T_ {X}) end {zarovnáno}}}
zobecnění mapy Kodaira – Spencer. Všimněte si, že to lze zobecnit na jakoukoli hladkou mapu F : X → Y { displaystyle f: X až Y} Sch / S { displaystyle { text {Sch}} / S} H 1 ( X , T X / Y ⊗ F ∗ ( Ω Y / Z 1 ) ) { displaystyle H ^ {1} (X, T_ {X / Y} mnohokrát f ^ {*} ( Omega _ {Y / Z} ^ {1}))}
Z prstencových topoi Jedna z nejvíce abstraktních konstrukcí map Kodaira – Spencer pochází z kotangentní komplexy spojené s kompozicí map z prstencový topoi
X → F Y → Z { displaystyle X xrightarrow {f} Y do Z}
Poté je k této kompozici přidružena a rozlišovací trojúhelník
F ∗ L Y / Z → L X / Z → L X / Y → [ + 1 ] { displaystyle f ^ {*} mathbf {L} _ {Y / Z} až mathbf {L} _ {X / Z} až mathbf {L} _ {X / Y} xrightarrow {[+ 1]}}
a tato hraniční mapa tvoří mapu Kodaira – Spencer[6] K. ( X / Y / Z ) { displaystyle K (X / Y / Z)} H 1 ( X , T X / Y ⊗ F ∗ ( Ω Y / Z 1 ) ) { displaystyle H ^ {1} (X, T_ {X / Y} mnohokrát f ^ {*} ( Omega _ {Y / Z} ^ {1}))}
Příklady S analytickými bakteriemi Mapu Kodaira – Spencer, když uvažujeme o analytických bakteriích, lze snadno vypočítat pomocí tangentové kohomologie v teorie deformace a jeho verzální deformace.[7] F ( z 1 , … , z n ) ∈ C { z 1 , … , z n } = H { displaystyle f (z_ {1}, ldots, z_ {n}) in mathbb {C} {z_ {1}, ldots, z_ {n} } = H}
T 1 = H d F ⋅ H n { displaystyle T ^ {1} = { frac {H} {df cdot H ^ {n}}}}
Například pokud F = y 2 − X 3 { displaystyle f = y ^ {2} -x ^ {3}}
T 1 = C { X , y } ( y , X 2 ) { displaystyle T ^ {1} = { frac { mathbb {C} {x, y }} {(y, x ^ {2})}}}
proto je libovolná deformace dána vztahem F ( X , y , A 1 , A 2 ) = y 2 − X 3 + A 1 + A 2 X { displaystyle F (x, y, a_ {1}, a_ {2}) = y ^ {2} -x ^ {3} + a_ {1} + a_ {2} x} proti ∈ T 0 ( C 2 ) { displaystyle v v T_ {0} ( mathbb {C} ^ {2})}
∂ ∂ A 1 , ∂ ∂ A 2 { displaystyle { frac { částečné} { částečné a_ {1}}}, { frac { částečné} { částečné a_ {2}}}}
tam mapa K. S : proti ↦ proti ( F ) { displaystyle KS: v mapsto v (F)}
ϕ 1 ∂ ∂ A 1 + ϕ 2 ∂ ∂ A 2 ↦ ϕ 1 ∂ F ∂ A 1 + ϕ 2 ∂ F ∂ A 2 = ϕ 1 + ϕ 2 ⋅ X { displaystyle { begin {zarovnáno} phi _ {1} { frac { částečné} { částečné a_ {1}}} + phi _ {2} { frac { částečné} { částečné a_ { 2}}} mapsto & phi _ {1} { frac { částečné F} { částečné a_ {1}}} + phi _ {2} { frac { částečné F} { částečné a_ { 2}}} & = phi _ {1} + phi _ {2} cdot x end {zarovnáno}}}
Na afinních hyperplošinách s kotangensovým komplexem Pro afinní hyperplochu i : X 0 ↪ A n → Spec ( k ) { displaystyle i: X_ {0} hookrightarrow mathbb {A} ^ {n} na { text {specifikace}} (k)} k { displaystyle k} F { displaystyle f}
i ∗ L A n / Spec ( k ) → L X 0 / Spec ( k ) → L X 0 / A n → [ + 1 ] { displaystyle i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)} do mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)} to mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}} xrightarrow {[+1]}}
Poté se přihlásíte R H Ó m ( − , Ó X 0 ) { displaystyle mathbf {RHom} (-, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})}
RHom ( i ∗ L A n / Spec ( k ) , Ó X 0 [ + 1 ] ) ← RHom ( L X 0 / Spec ( k ) , Ó X 0 [ + 1 ] ) ← RHom ( L X 0 / A n , Ó X 0 [ + 1 ] ) ← RHom ( i ∗ L A n / Spec ( k ) , Ó X 0 ) ← RHom ( L X 0 / Spec ( k ) , Ó X 0 ) ← RHom ( L X 0 / A n , Ó X 0 ) { displaystyle { begin {aligned} & { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k) }, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A } ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow & { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf { L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) end {zarovnáno}}}
Připomeňme, že existuje izomorfismus
RHom ( L X 0 / Spec ( k ) , Ó X 0 [ + 1 ] ) ≅ Ext 1 ( L X 0 / Spec ( k ) , Ó X 0 ) { displaystyle { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [ +1]) cong { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})}
z obecné teorie odvozených kategorií a ext skupina klasifikuje deformace prvního řádu. Poté lze tuto skupinu vypočítat pomocí řady redukcí. Nejprve od té doby L A n / Spec ( k ) ≅ Ω A n / Spec ( k ) 1 { displaystyle mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)} cong Omega _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)} ^ {1}} RHom ( i ∗ L A n / Spec ( k ) , Ó X 0 [ + 1 ] ) = 0 { displaystyle { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O }} _ {X_ {0}} [+ 1]) = 0} L X 0 / A n ≅ Já / Já 2 [ + 1 ] { displaystyle mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}} cong { mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} [+ 1] }
RHom ( L X 0 / A n , Ó X 0 [ + 1 ] ) ≅ RHom ( Já / Já 2 [ + 1 ] , Ó X 0 [ + 1 ] ) ≅ RHom ( Já / Já 2 , Ó X 0 ) ≅ Ext 0 ( Já / Já 2 , Ó X 0 ) ≅ Hom ( Já / Já 2 , Ó X 0 ) ≅ Ó X 0 { displaystyle { begin {aligned} { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) cong & { textbf {RHom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} [+ 1], { mathcal {O} } _ {X_ {0}} [+ 1]) cong & { textbf {RHom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal { O}} _ {X_ {0}}) cong & { text {Ext}} ^ {0} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) cong & { text {Hom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal { O}} _ {X_ {0}}) cong & { mathcal {O}} _ {X_ {0}} end {zarovnáno}}}
Poslední izomorfismus pochází z izomorfismu Já / Já 2 ≅ Já ⊗ Ó A n Ó X 0 { displaystyle { mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} cong { mathcal {I}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ { mathbb {A} ^ {n}}} { mathcal {O}} _ {X_ {0}}}
Hom Ó X 0 ( Já ⊗ Ó A n Ó X 0 , Ó X 0 ) { displaystyle { text {Hom}} _ {{ mathcal {O}} _ {X_ {0}}} ({ mathcal {I}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ { mathbb {A} ^ {n}}} { mathcal {O}} _ {X_ {0}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})} [ G F ] ↦ G ′ G + ( F ) { displaystyle [gf] mapsto g'g + (f)}
dávat požadovaný izomorfismus. Z kotangensové posloupnosti
( F ) ( F ) 2 → [ G ] ↦ d G ⊗ 1 Ω A n 1 ⊗ Ó X 0 → Ω X 0 / Spec ( k ) 1 → 0 { displaystyle { frac {(f)} {(f) ^ {2}}} xrightarrow {[g] mapsto dg otimes 1} Omega _ { mathbb {A} ^ {n}} ^ { 1} otimes { mathcal {O}} _ {X_ {0}} to Omega _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)} ^ {1} to 0}
(což je zkrácená verze základního trojúhelníku) je spojovací mapa dlouhé přesné sekvence dvojí [ G ] ↦ d G ⊗ 1 { displaystyle [g] mapsto dg otimes 1}
Ext 1 ( L X 0 / k , Ó X 0 ) ≅ k [ X 1 , … , X n ] ( F , ∂ F ∂ X 1 , … , ∂ F ∂ X n ) { displaystyle { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / k}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) cong { frac {k [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} { left (f, { frac { částečné f} { částečné x_ {1}}}, ldots, { frac { částečné f} { částečné x_ {n}}} vpravo)}}}
Všimněte si, že tento výpočet lze provést pomocí kotangensové posloupnosti a výpočtu Ext 1 ( Ω X 0 1 , Ó X 0 ) { displaystyle { text {Ext}} ^ {1} ( Omega _ {X_ {0}} ^ {1}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})} [8]
k [ ε ] [ X 1 , … , X n ] F + ε G { displaystyle { frac {k [ varepsilon] [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {f + varepsilon g}}}
k prvku G ∈ Ext 1 ( L X 0 / k , Ó X 0 ) { displaystyle g in { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / k}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})}
Viz také Reference ^ A b Kodaira (2005). Složité rozdělovače a deformace složitých struktur 182 –184, 188–189. doi :10.1007 / b138372 . ISBN 978-3-540-22614-7 ^ Huybrechts 2005 , 6.2.6.^ Hlavní rozdíl mezi komplexním potrubím a komplexním prostorem spočívá v tom, že v druhém je povoleno mít nilpotent. ^ Arbarello; Cornalba; Griffiths (2011). Geometrie algebraických křivek II ISBN 9783540426882 ^ Sernesi. „Přehled klasické teorie deformací“ (PDF) . Archivováno (PDF) z původního dne 2020-04-27. ^ Illusie, L. Komplexní kotangens; aplikace a la theorie des deformations (PDF) . ^ Palamodov (1990). "Deformace komplexních prostorů". Několik komplexních proměnných IV . Encyklopedie matematických věd. 10 . 138, 130. doi :10.1007/978-3-642-61263-3_3 . ISBN 978-3-642-64766-6 ^ Talpo, Mattia; Vistoli, Angelo (2011-01-30). "Teorie deformace z hlediska kategorií vláken". s. 25, cvičení 3.25. arXiv :1006.0497 math.AG ]. 
![{ displaystyle { mathcal {X}} to S = operatorname {Spec} (k [t] / t ^ {2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30475ba09bd358c8f59805d8ddfd96da18b64d1)
![{ displaystyle { begin {matrix} X & to & { mathfrak {X}} downarrow && downarrow { text {Spec}} ( mathbb {C}) & to & { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon]) end {matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e30505f5d9f07a6c2fba43cfc69da1533de3d2)
![{ displaystyle mathbb {C} [ varepsilon]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34804818afb815199af6ef94b76ee23cf08ee284)
![{ displaystyle U _ { alpha} times { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b57f4615e5dc110045c96f53f5f5d4d121a50c)
![{ displaystyle [ theta] v H ^ {1} (X, T_ {X})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ded99a5758f4092daa2a210c878e811224486c7)
![{ displaystyle { begin {matrix} X & to & { mathfrak {X}} downarrow && downarrow { text {Spec}} (k) & to & { text {Spec}} (k [ varepsilon]) end {matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1187fa90674efb7b13b591e3ea76e9550e7d6576)
![{ displaystyle 0 to pi ^ {*} Omega _ {{ text {Spec}} (k [ varepsilon])} ^ {1} to Omega _ { mathfrak {X}} ^ {1 } to Omega _ {{ mathfrak {X}} / S} ^ {1} to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb8f33b5ec1b81fb489a005aa9ab3cafa5b1e0b)
![{ displaystyle pi: { mathfrak {X}} na { text {Spec}} (k [ varepsilon])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05153dcd48df6c35213696b8c785b997448d1e7)
![{ displaystyle { begin {aligned} mathbf {R} { text {Hom}} ( Omega _ {X} ^ {1}, { mathcal {O}} _ {X} [+ 1]) & cong mathbf {R} { text {Hom}} ({ mathcal {O}} _ {X}, T_ {X} [+ 1]) & cong { text {Ext}} ^ { 1} ({ mathcal {O}} _ {X}, T_ {X}) & cong H ^ {1} (X, T_ {X}) end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f7c4e4ff752ae431f69a6a305c07d75bc69917)
![{ displaystyle f ^ {*} mathbf {L} _ {Y / Z} až mathbf {L} _ {X / Z} až mathbf {L} _ {X / Y} xrightarrow {[+ 1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db96dd778212c872d7cd3a34be5b271ea696d9c5)
![{ displaystyle i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)} do mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)} to mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}} xrightarrow {[+1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca3e85f5526fce3e3ac17aa1dfcb0a0faa58ce8)
![{ displaystyle { begin {aligned} & { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k) }, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A } ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow & { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf { L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007307d8ab00c6056eb3b858dcf0dd8842655aa7)
![{ displaystyle { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [ +1]) cong { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb79f0717ae6ff55e7a3301d375da8519d786502)
![{ displaystyle { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O }} _ {X_ {0}} [+ 1]) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326577be3d2b4cdf3d02d3e7d029a35e10c18c27)
![{ displaystyle mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}} cong { mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} [+ 1] }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a046e040a442362171f9e935f495b3f3ef59d620)
![{ displaystyle { begin {aligned} { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) cong & { textbf {RHom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} [+ 1], { mathcal {O} } _ {X_ {0}} [+ 1]) cong & { textbf {RHom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal { O}} _ {X_ {0}}) cong & { text {Ext}} ^ {0} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) cong & { text {Hom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal { O}} _ {X_ {0}}) cong & { mathcal {O}} _ {X_ {0}} end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4341124a6873fd252efe0d2bf6df3bead730874)
![{ displaystyle [gf] mapsto g'g + (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49f01a5aedd883f7d82ad2215118addebb5eefb)
![{ displaystyle { frac {(f)} {(f) ^ {2}}} xrightarrow {[g] mapsto dg otimes 1} Omega _ { mathbb {A} ^ {n}} ^ { 1} otimes { mathcal {O}} _ {X_ {0}} to Omega _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)} ^ {1} to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3c0293fef716bfdd4e6966326e285eadf4d14e)
![{ displaystyle [g] mapsto dg otimes 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba83ee8833e47d537d7f219fa9628391addd6129)
![{ displaystyle { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / k}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) cong { frac {k [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} { left (f, { frac { částečné f} { částečné x_ {1}}}, ldots, { frac { částečné f} { částečné x_ {n}}} vpravo)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5265002fa428a4d86ad340846ec413d36064ae6)
![{ displaystyle { frac {k [ varepsilon] [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {f + varepsilon g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf2364ffcec9450d453c25c7c60a7e3c08ad1e0)
