Stavba projektu - Proj construction

v algebraická geometrie, Proj je konstrukce analogická k spektrum kruhu konstrukce afinní schémata, který produkuje objekty s typickými vlastnostmi projektivní prostory a projektivní odrůdy. Konstrukce, i když ne funkční, je základním nástrojem v teorie schémat.

V tomto článku vše prsteny bude považováno za komutativní a s identitou.

Projekty tříděného prstenu

Projekty jako sada

Nechat ${ displaystyle S}$ být odstupňovaný prsten, kde

${ displaystyle S = bigoplus _ {i geq 0} S_ {i}}$

je přímý součet rozklad spojený s gradací. The irelevantní ideál z ${ displaystyle S}$ je ideál prvků pozitivního stupně

${ displaystyle S _ {+} = bigoplus _ {i> 0} S_ {i}}$ .

Říkáme, že ideální je homogenní pokud je generován homogenními prvky. Pak jako sada

${ displaystyle operatorname {Proj} S = {P podmnožina S { text {homogenní primární ideál,}} S _ {+} ne podmnožina P }}$ .

Pro stručnost budeme někdy psát ${ displaystyle X}$ pro ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ .

Projekty jako topologický prostor

Můžeme definovat a topologie, nazvaný Zariski topologie, na ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ definováním uzavřených množin jako formulářů

{ displaystyle V (a) = {p in operatorname {Proj} S mid a subseteq p },}

kde ${ displaystyle a}$ je homogenní ideál z ${ displaystyle S}$ . Stejně jako v případě afinních schémat je rychle ověřeno, že ${ displaystyle V (a)}$ tvoří uzavřené množiny a topologie na ${ displaystyle X}$ .

Opravdu, pokud ${ displaystyle (a_ {i}) _ {i v I}}$ jsme rodina ideálů, pak máme ${ displaystyle bigcap V (a_ {i}) = V vlevo ( součet a_ {i} doprava)}$ a pokud je indexovací sada Já je tedy konečný ${ displaystyle bigcup V (a_ {i}) = V vlevo ( prod a_ {i} vpravo)}$ .

Ekvivalentně můžeme vzít otevřené množiny jako výchozí bod a definovat

{ displaystyle D (a) = {p v operatorname {Proj} S mid a ; ne subseteq ; p }.}

Běžnou zkratkou je označení D(Sv) od D(F), kde Sv je ideál generováno uživatelem F. Pro každý ideální A, sady D(A) a PROTI(A) se doplňují, a proto stejný důkaz jako dříve ukazuje, že množiny D(A) tvoří topologii na ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ . Výhodou tohoto přístupu je, že sady D(F), kde F se pohybuje přes všechny homogenní prvky prstence S, tvoří a základna pro tuto topologii, která je nepostradatelným nástrojem pro analýzu ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ , stejně jako je nepostradatelný analogický fakt pro spektrum prstenu.

Projekt jako schéma

Také konstruujeme a snop na ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ , nazývaný „struktura svazku“ jako v afinním případě, což z něj dělá a systém. Stejně jako v případě konstrukce Spec existuje mnoho způsobů, jak postupovat: nejpřímější, který také velmi naznačuje konstrukci pravidelných funkcí na projektivní varietě v klasické algebraické geometrii, je následující. Pro jakoukoli otevřenou sadu ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ (což je podle definice soubor homogenních hlavních ideálů ${ displaystyle S}$ neobsahující ${ displaystyle S _ {+}}$ ) definujeme prsten ${ displaystyle O_ {X} (U)}$ být souborem všech funkcí

{ displaystyle f colon U to bigcup _ {p in U} S _ {(p)}}

(kde ${ displaystyle S _ {(p)}}$ označuje podřetězec kruhu zlomků ${ displaystyle S_ {p}}$ skládající se z frakcí homogenních prvků stejného stupně) tak, že pro každý primární ideál ${ displaystyle p}$ z ${ displaystyle U}$ :

${ displaystyle f (p)}$ je prvek ${ displaystyle S _ {(p)}}$ ;
Existuje otevřená podmnožina ${ displaystyle V podmnožina U}$ ${ displaystyle V podmnožina U}$ obsahující ${ displaystyle p}$ $p$ a homogenní prvky ${ displaystyle s, t}$ $Svatý$ z ${ displaystyle S}$ stejného stupně, že pro každý hlavní ideál ${ displaystyle q}$ $q$ z ${ displaystyle Q}$ $Q$ :
- ${ displaystyle t}$ není v ${ displaystyle q}$ ;
- ${ displaystyle f (q) = s / t}$

Z definice bezprostředně vyplývá, že ${ displaystyle O_ {X} (U)}$ tvoří svazek prstenů ${ displaystyle O_ {X}}$ na ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ a může se ukázat, že dvojice ( ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ , ${ displaystyle O_ {X}}$ ) je ve skutečnosti schéma (toho lze dosáhnout ukázáním, že každá z otevřených podmnožin ${ displaystyle D (f)}$ je ve skutečnosti afinní schéma).

Svazek spojený s odstupňovaným modulem

Základní vlastnost ${ displaystyle S}$ pro výše uvedenou konstrukci byla schopnost vytvářet lokalizace ${ displaystyle S _ {(p)}}$ pro každý hlavní ideál ${ displaystyle p}$ z ${ displaystyle S}$ . Tuto vlastnost také vlastní každý odstupňovaný modul ${ displaystyle M}$ přes ${ displaystyle S}$ , a proto s příslušnými drobnými úpravami konstruuje předchozí část pro jakoukoli takovou ${ displaystyle M}$ svazek, označený ${ displaystyle { tilde {M}}}$ , z ${ displaystyle O_ {X}}$ - moduly zapnuty ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ . Tento svazek je kvazikoherentní podle konstrukce. Li ${ displaystyle S}$ je generováno konečně mnoha prvky stupně ${ displaystyle 1}$ (např. polynomiální kruh nebo jeho homogenní kvocient), všechny kvazikoherentní snopy ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ vznikají z odstupňovaných modulů touto konstrukcí.^[1] Odpovídající odstupňovaný modul není jedinečný.

Kroutící se svazek Serre

Související informace a klasický Serre twist svazek viz tautologický svazek

Zvláštní případ svazku spojeného s odstupňovaným modulem je, když vezmeme ${ displaystyle M}$ být ${ displaystyle S}$ sama s jiným hodnocením: jmenovitě jsme nechali titul ${ displaystyle d}$ prvky ${ displaystyle M}$ být titul ${ displaystyle (d + 1)}$ prvky ${ displaystyle S}$ , tak

${ displaystyle M_ {d} = S_ {d + 1}}$

a označit ${ displaystyle M = S (1)}$ . Poté získáme ${ displaystyle { tilde {M}}}$ jako kvazikoherentní svazek ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ , označeno ${ displaystyle O_ {X} (1)}$ nebo jednoduše ${ displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ , nazvaný kroucení snopu z Serre. To lze zkontrolovat ${ displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ je ve skutečnosti invertibilní svazek.

Jedním z důvodů užitečnosti ${ displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ je to, že obnovuje algebraické informace o ${ displaystyle S}$ to bylo ztraceno, když při stavbě ${ displaystyle O_ {X}}$ , prošli jsme do zlomků stupně nula. V případě Spec A za prsten A, tvoří se globální sekce svazku struktury A sám, zatímco globální sekce ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ zde tvoří pouze prvky stupně nula ${ displaystyle S}$ . Pokud definujeme

{ displaystyle { mathcal {O}} (n) = bigotimes _ {i = 1} ^ {n} { mathcal {O}} (1)}

pak každý ${ displaystyle { mathcal {O}} (n)}$ obsahuje stupeň- ${ displaystyle n}$ informace o ${ displaystyle S}$ , označeno ${ displaystyle S_ {n}}$ a společně obsahují všechny informace o hodnocení, které byly ztraceny. Stejně tak pro jakýkoli svazek tříděných ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ - moduly ${ displaystyle N}$ definujeme

{ displaystyle N (n) = N otimes { mathcal {O}} (n)}

a očekávejte, že tento „zkroucený“ svazek bude obsahovat informace o třídění ${ displaystyle N}$ . Zejména pokud ${ displaystyle N}$ je svazek spojený s odstupňovanou ${ displaystyle S}$ -modul ${ displaystyle M}$ rovněž očekáváme, že bude obsahovat ztracené informace o hodnocení ${ displaystyle M}$ . To však naznačuje mylně ${ displaystyle S}$ lze ve skutečnosti z těchto snopů rekonstruovat; tak jako

${ displaystyle bigoplus _ {n geq 0} H ^ {0} (X, { mathcal {O}} _ {X} (n))}$

to však platí v případě, že ${ displaystyle S}$ je polynomiální kruh níže. Tuto situaci je třeba porovnat se skutečností, že spec funktor je spojen s funktor globálních sekcí v kategorii místně prstencované prostory.

Projektivní n-prostor

Li ${ displaystyle A}$ je prsten, definujeme projektivní n-prostor přes ${ displaystyle A}$ být systém

{ displaystyle mathbb {P} _ {A} ^ {n} = operatorname {Proj} A [x_ {0}, ldots, x_ {n}].}

Hodnocení na polynomiálním kruhu ${ displaystyle S = A [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ je definován tak, že necháme každý ${ displaystyle x_ {i}}$ mít stupeň jeden a každý prvek ${ displaystyle A}$ , stupeň nula. Srovnání s definicí ${ displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ , výše, vidíme, že části ${ displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ jsou ve skutečnosti lineární homogenní polynomy generované ${ displaystyle x_ {i}}$ oni sami. To naznačuje další interpretaci ${ displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ , jmenovitě jako svazek „souřadnic“ pro ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ , protože ${ displaystyle x_ {i}}$ jsou doslova souřadnice pro projektivní ${ displaystyle n}$ -prostor.

Příklady projektů

Projděte přes afinní linii

Pokud necháme základní kroužek ${ displaystyle A = mathbb {C} [ lambda]}$ , pak

${ displaystyle X = operatorname {Proj} left ({ frac {A [X, Y, Z] _ { bullet}} {(ZY ^ {2} -X (XZ) (X- lambda Z) ) _ { bullet}}} vpravo)}$

má kanonický projektivní morfismus k afinní linii ${ displaystyle mathbb {A} _ { lambda} ^ {1}}$ jejichž vlákna jsou eliptické křivky kromě bodů ${ displaystyle lambda = 0,1}$ kde se křivky degenerují do uzlových křivek. Existuje tedy fibrace

${ displaystyle { begin {matrix} E _ { lambda} & longrightarrow & X && downarrow && mathbb {A} _ { lambda} ^ {1} - {0,1 } konec {matice}}}$

což je také a hladký morfismus schémat (které lze zkontrolovat pomocí Jacobské kritérium ).

Projektivní hyperplochy a odrůdy

Projektivní nadpovrch ${ displaystyle operatorname {Proj} left ( mathbb {C} [X_ {0}, ldots, X_ {4}] / (X_ {0} ^ {5} + cdots + X_ {4} ^ { 5}) vpravo)}$ je příkladem a Fermatův kvintický trojnásobek což je také a Rozdělovač Calabi – Yau. Kromě projektivních hypersurfaces, každá projektivní rozmanitost vystřižená systémem homogenních polynomů

${ displaystyle f_ {1} = 0, ldots, f_ {k} = 0}$

v ${ displaystyle (n + 1)}$ -variables lze převést do projektivního schématu pomocí konstrukce proj pro gradovanou algebru

${ displaystyle { frac {k [X_ {0}, ldots, X_ {n}] _ { bullet}} {(f_ {1}, ldots, f_ {k}) _ { bullet}}} }$

dávat zakotvení projektivních variet do projektivních schémat.

Vážený projektivní prostor

Vážené projektivní prostory lze sestrojit pomocí polynomiálního kruhu, jehož proměnné mají nestandardní stupně. Například vážený projektivní prostor ${ displaystyle mathbb {P} (1,1,2)}$ odpovídá braní ${ displaystyle operatorname {projekty}}$ prstenu ${ displaystyle A [X_ {0}, X_ {1}, X_ {2}]}$ kde ${ displaystyle X_ {0}, X_ {1}}$ mít váhu ${ displaystyle 1}$ zatímco ${ displaystyle X_ {2}}$ má váhu 2.

Bigraded prsteny

Konstrukce projektu se rozšiřuje na prstence s velkým a více paprsky. Geometricky to odpovídá převzetí produktů projektivních schémat. Například vzhledem k odstupňovaným prstencům

${ displaystyle A _ { bullet} = mathbb {C} [X_ {0}, X_ {1}], { text {}} B _ { bullet} = mathbb {C} [Y_ {0}, Y_ {1}]}$

se stupněm každého generátoru ${ displaystyle 1}$ . Pak tenzorový produkt těchto algeber skončil ${ displaystyle mathbb {C}}$ dává bigradovanou algebru

${ displaystyle { begin {aligned} A _ { bullet} otimes _ { mathbb {C}} B _ { bullet} & = S _ { bullet, bullet} & = mathbb {C} [X_ {0}, X_ {1}, Y_ {0}, Y_ {1}] end {zarovnáno}}}$

Kde ${ displaystyle X_ {i}}$ mít váhu ${ displaystyle (1,0)}$ a ${ displaystyle Y_ {i}}$ mít váhu ${ displaystyle (0,1)}$ . Pak konstrukce projektu dává

${ displaystyle { text {Proj}} (S _ { bullet, bullet}) = mathbb {P} ^ {1} times _ {{ text {Spec}} ( mathbb {C})} mathbb {P} ^ {1}}$

což je produkt projektivních schémat. Taková schémata se vkládají do projektivního prostoru pomocí celkové gradované algebry

${ displaystyle S _ { bullet, bullet} na S _ { bullet}}$

kde titul ${ displaystyle (a, b)}$ prvek je považován za titul ${ displaystyle (a + b)}$ živel. To znamená ${ displaystyle k}$ -tříděný kus ${ displaystyle S _ { bullet}}$ je modul

${ displaystyle S_ {k} = bigoplus _ {a + b = k} S_ {a, b}}$

Kromě toho schéma ${ displaystyle { text {Proj}} (S _ { bullet, bullet})}$ nyní přichází s bigraded snopy ${ displaystyle { mathcal {O}} (a, b)}$ které jsou tenzorovým produktem snopů ${ displaystyle pi _ {1} ^ {*} { mathcal {O}} (a) otimes pi _ {2} ^ {*} { mathcal {O}} (b)}$ kde

${ displaystyle pi _ {1}: { text {Proj}} (S _ { bullet, bullet}) do { text {Proj}} (A _ { bullet})}$ a ${ displaystyle pi _ {2}: { text {Proj}} (S _ { bullet, bullet}) do { text {Proj}} (B _ { bullet})}$

jsou kanonické projekce vycházející z injekcí těchto algeber z tenzorového produktového diagramu komutativních algeber.

Globální projekty

Zobecnění konstrukce projektu nahradí prsten S s svazek algeber a produkuje jako konečný výsledek schéma, které by mohlo být považováno za fibraci Projektů prstenů. Tato konstrukce se často používá například ke konstrukci projektivního prostoru svazky přes základní schéma.

Předpoklady

Formálně, pojďme X být kdokoli systém a S být svazek tříděných ${ displaystyle O_ {X}}$ -algebry (jejichž definice je podobná definici ${ displaystyle O_ {X}}$ - moduly na místně prstencový prostor ): tj. svazek s přímým rozkladem součtu

{ displaystyle S = bigoplus _ {i geq 0} S_ {i}}

kde každý ${ displaystyle S_ {i}}$ je ${ displaystyle O_ {X}}$ -modul takový, že pro každou otevřenou podmnožinu U z X, S(U) je ${ displaystyle O_ {X} (U)}$ -algebra a výsledný přímý rozklad součtu

{ displaystyle S (U) = bigoplus _ {i geq 0} S_ {i} (U)}

je známkování této algebry jako prstenu. Tady to předpokládáme ${ displaystyle S_ {0} = O_ {X}}$ . Děláme další předpoklad, že S je kvazi-koherentní svazek; jedná se o předpoklad „konzistence“ na úsecích přes různé otevřené sady, který je nezbytný pro pokračování stavby.

Konstrukce

V tomto nastavení můžeme vytvořit schéma ${ displaystyle operatorname { mathbf {Proj}} S}$ a „projekční“ mapa p na X tak, že pro každého otevřená afinita U z X,

{ displaystyle ( operatorname { mathbf {Proj}} S) | _ {p ^ {- 1} (U)} = operatorname {Proj} (S (U)).}

Tato definice naznačuje, že konstruujeme ${ displaystyle operatorname { mathbf {Proj}} S}$ nejprve definováním schémat ${ displaystyle Y_ {U}}$ pro každý otevřený vztah U, nastavením

{ displaystyle Y_ {U} = operatorname {Proj} S (U),}

a mapy ${ displaystyle p_ {U} dvojtečka Y_ {U} do U}$ , a poté ukazuje, že tato data lze slepit „přes“ každou křižovatku dvou otevřených afinit U a PROTI vytvořit schéma Y které definujeme jako ${ displaystyle operatorname { mathbf {Proj}} S}$ . Není těžké ukázat, že každý z nich je definován ${ displaystyle p_ {U}}$ být mapou odpovídající zahrnutí ${ displaystyle O_ {X} (U)}$ do S(U), protože prvky stupně nula poskytují potřebnou konzistenci ${ displaystyle p_ {U}}$ , zatímco konzistence ${ displaystyle Y_ {U}}$ samy vyplývá z předpokladu kvazi-koherence S.

Kroutící se svazek

Li S má další vlastnost, která ${ displaystyle S_ {1}}$ je koherentní svazek a místně generuje S přes ${ displaystyle S_ {0}}$ (tj. když přejdeme k stonek snopu S v určitém okamžiku X z X, což je gradovaná algebra, jejíž prvky s nulovým stupněm tvoří kruh ${ displaystyle O_ {X, x}}$ pak prvky prvního stupně tvoří konečně vygenerovaný modul ${ displaystyle O_ {X, x}}$ a také generovat stopku jako algebru nad ní), pak můžeme udělat další konstrukci. Přes každou otevřenou afinitu U, Proj S(U) nese invertibilní svazek O (1) a předpoklad, který jsme právě vytvořili, zajišťuje, že tyto snopy mohou být lepeny stejně jako ${ displaystyle Y_ {U}}$ výše; výsledný svazek zapnutý ${ displaystyle operatorname { mathbf {Proj}} S}$ je také označen Ó(1) a slouží téměř stejnému účelu ${ displaystyle operatorname { mathbf {Proj}} S}$ jako to dělá kroutící se svazek na Projekcích prstenu.

Projekt kvazi-koherentního svazku

Nechat ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ být kvazi-koherentní svazek v systému ${ displaystyle X}$ . Svazek symetrických algeber ${ displaystyle mathbf {Sym} _ {O_ {X}} ({ mathcal {E}})}$ je přirozeně kvazi-koherentní svazek odstupňovaných ${ displaystyle O_ {X}}$ -moduly, generované prvky stupně 1. Výsledné schéma je označeno ${ displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {E}})}$ . Li ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ je konečného typu, pak jeho kanonický morfismus ${ displaystyle p: mathbb {P} ({ mathcal {E}}) až X}$ je projektivní morfismus.^[2]

Pro všechny ${ displaystyle x v X}$ , vlákno výše uvedeného morfismu skončilo ${ displaystyle x}$ je projektivní prostor ${ displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {E}} (x))}$ spojené s duálem vektorového prostoru ${ displaystyle { mathcal {E}} (x): = { mathcal {E}} další krát _ {O_ {X}} k (x)}$ přes ${ displaystyle k (x)}$ .

Li ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ je kvazi-koherentní svazek odstupňovaných ${ displaystyle O_ {X}}$ -moduly, generované ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {1}}$ a takhle ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {1}}$ je tedy konečného typu ${ displaystyle mathbf {Projekty} { mathcal {S}}}$ je uzavřeným podsystémem ${ displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {S}} _ {1})}$ a poté projektivně končí ${ displaystyle X}$ . Ve skutečnosti každé uzavřené dílčí schéma projektivu ${ displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {E}})}$ je této formy.^[3]

Projektivní svazky prostoru

Jako zvláštní případ, kdy ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ je místně bez hodnosti ${ displaystyle n + 1}$ , dostaneme projektivní svazek ${ displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {E}})}$ přes ${ displaystyle X}$ relativního rozměru ${ displaystyle n}$ . Opravdu, pokud si vezmeme otevřete kryt z X otevřenými afiny ${ displaystyle U = operatorname {specifikace} (A)}$ takový, že když je omezen na každý z nich, ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ je zdarma A, pak

{ displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {E}}) | _ {p ^ {- 1} (U)} simeq operatorname {Proj} A [x_ {0}, dots, x_ {n }] = mathbb {P} _ {A} ^ {n} = mathbb {P} _ {U} ^ {n},}

a tudíž ${ displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {E}})}$ je svazek projektivního prostoru. Mnoho rodin odrůd lze konstruovat jako podsystémy těchto projektivních svazků, jako je například rodina eliptických křivek Weierstrass. Další podrobnosti najdete v hlavním článku.

Příklad globálních projektů

Globální projekt lze použít ke konstrukci Lefschetz tužky. Například nechte ${ displaystyle X = mathbb {P} _ {s, t} ^ {1}}$ a vezměte homogenní polynomy ${ displaystyle f, g in mathbb {C} [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ stupně k. Můžeme považovat ideální svazek ${ displaystyle { mathcal {I}} = (sf + tg)}$ z ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ a postavit globální projekt tohoto kvocientu svazku algeber ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} [x_ {0}, ldots, x_ {n}] / { mathcal {I}}}$ . Toto lze výslovně popsat jako projektivní morfismus ${ displaystyle operatorname {Proj} ( mathbb {C} [s, t] [x_ {0}, ldots, x_ {n}] / (sf + tg)) to mathbb {P} _ {s , t} ^ {1}}$ .