Kvocient zásobníku - Quotient stack
V algebraické geometrii, a zásobník kvocientů je zásobník že parametrizuje ekvivariantní objekty. Geometricky generalizuje kvocient schématu nebo odrůdy podle skupiny: odrůda kvocientu, řekněme, by byla hrubou aproximací zásobníku kvocientů.
Pojem má zásadní význam při studiu komínů: komín, který vzniká v přírodě, je často buď samotný kvocient klastrů, nebo připouští stratifikaci podle kvocientů Deligne – Mumford stack.) Zásobník kvocientů se také používá ke konstrukci dalších podobných zásobníků klasifikace hromádek.
Definice
Zásoba kvocientů je definována následovně. Nechat G být afinní hladký skupinové schéma přes schéma S a X A S- schéma, na kterém G činy. Nechat být kategorie skončila kategorie Sschémata:
- přes objekt T je ředitel školy G- svazek společně s ekvivariantní mapou ;
- šipka z na je mapa svazků (tj. tvoří komutativní diagram), která je kompatibilní s ekvivariantními mapami a .
Předpokládejme kvocient existuje jako algebraický prostor (např Věta Keel – Mori ). Kanonická mapa
- ,
který pošle balíček P přes T na odpovídající T-směřovat,[1] nemusí to být izomorfismus hromádek; to znamená, že prostor „X / G“ je obvykle hrubší. Kanonická mapa je izomorfismem právě tehdy, jsou-li stabilizátory triviální (v takovém případě existuje.)[Citace je zapotřebí ]
Obecně, je Artin stack (nazývaný také algebraický zásobník). Pokud stabilizátory geometrické body jsou konečné a redukované, pak je to a Deligne – Mumford stack.
Burt Totaro (2004 ) ukázal: let X být normálním noetherovským algebraickým komínem, jehož stabilizační skupiny v uzavřených bodech jsou afinní. Pak X je kvocient zásob právě tehdy, když má vlastnost rozlišení; tj. každý koherentní svazek je kvocient vektorového svazku. Dříve, Robert Wayne Thomason dokázal, že kvocient zásob má vlastnost rozlišení.
Příklady
Efektivní kvocient orbifold, např. Kde akce má na hladkém prostoru pouze konečné stabilizátory , je příkladem kvocientu.[2]
Li s triviální akcí G (často S je bod) se nazývá klasifikace zásobníku z G (analogicky s třídicí prostor z G) a je obvykle označen BG. Borelův teorém popisuje cohomologický prsten klasifikačního stohu.
Příklad:[3] Nechat L být Lazardův prsten; tj., . Pak kvocient podle ,
- ,
se nazývá zásobník formálních zákonů skupiny, označeno .
Viz také
- Homotopický kvocient
- Zásobník modulů hlavních svazků (což je zhruba nekonečný produkt klasifikace zásobníků.)
- Akce skupinového schématu
Reference
- ^ The T-bod se získá vyplněním diagramu .
- ^ Orbifolds a Stringy Topologie. Definice 1.7: Cambridge Tracts in Mathematics. p. 4.CS1 maint: umístění (odkaz)
- ^ Vzáno z http://www.math.harvard.edu/~lurie/252xnotes/Lecture11.pdf
- Deligne, Pierre; Mumford, David (1969), „Neredukovatelnost prostoru křivek daného rodu“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288, doi:10.1007 / BF02684599, PAN 0262240
- Totaro, Burte (2004). Msgstr "Vlastnost rozlišení pro schémata a komíny". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 577: 1–22. arXiv:matematika / 0207210. doi:10.1515 / crll.2004.2004.577.1. PAN 2108211.
Některé další reference jsou
- Behrend, Kai (1991). Lefschetzův vzorec trasování pro zásobník modulů hlavních svazků (PDF) (Teze). University of California, Berkeley.
- Edidin, Dan. „Poznámky ke konstrukci modulového prostoru křivek“ (PDF).