Noetherian schéma - Noetherian scheme

v algebraická geometrie, a noetherian schéma je systém který připouští konečné pokrytí otevřenými afinními podmnožinami ${ displaystyle operatorname {Spec} A_ {i}}$, ${ displaystyle A_ {i}}$ noetherian prsteny. Obecněji řečeno, schéma je místně noetherian pokud je pokryto spektry noetherských prstenů. Schéma je tedy noetherian právě tehdy, když je lokálně noetherian a kvazi kompaktní. Stejně jako u noetherských prstenů je koncept pojmenován Emmy Noetherová.

Je možné ukázat, že v lokálně noetherian schématu, pokud ${ displaystyle operatorname {specifikace} A}$ je tedy otevřená afinní podmnožina A je noetherianský prsten. Zejména, ${ displaystyle operatorname {specifikace} A}$ je noetherian schéma právě tehdy A je noetherian ring. Nechat X být lokálně noetherským schématem. Pak místní kroužky ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, x}}$ jsou noetherian prsteny.

Noetherian schéma je a noetherian topologický prostor. Ale konverzace je obecně falešná; zvažte například spektrum neanetheranského oceňovacího kruhu.

Definice se rozšiřují na formální schémata.

Vlastnosti a noetherovské hypotézy

Mít (lokálně) netherianskou hypotézu pro prohlášení o schématech obecně zpřístupňuje mnoho problémů, protože dostatečně ztuhnou mnoho jeho vlastností.

Dévissage

Jednou z nejdůležitějších vět o struktuře noetherských kruhů a noetherských schémat je Dévissageova věta. Tato věta umožňuje rozložit argumenty o koherentní snopy do induktivních argumentů. Je to proto, že vzhledem ke krátké přesné posloupnosti koherentních snopy

${ displaystyle 0 to { mathcal {E}} ' to { mathcal {E}} to { mathcal {E}}' ' to 0}$

prokázat, že jeden z snopů má nějakou vlastnost, je ekvivalentní prokázat, že ostatní dva mají tuto vlastnost. Zejména vzhledem k pevné koherentní svazku ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ a subkoherentní svazek ${ displaystyle { mathcal {F}} '}$, zobrazeno ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ má nějakou vlastnost lze snížit na pohled ${ displaystyle { mathcal {F}} '}$ a ${ displaystyle { mathcal {F}} / { mathcal {F}} '}$. Vzhledem k tomu, že tento proces lze aplikovat pouze konečně několikrát netriviálním způsobem, umožňuje to mnoho indukčních argumentů.

Počet neredukovatelných složek

Každé noetherovské schéma může mít pouze konečně mnoho komponent.^[1]

Morfismy z noetherských schémat jsou kvazi kompaktní

Každý morfismus z Noetherian schématu ${ displaystyle X až S}$ je kvazi-kompaktní.^[2]

Homologické vlastnosti

Existuje mnoho pěkných homologických vlastností noetherských schémat.^[3]

Čechova a Snopova kohomologie

Čechova a kohomologie se shodují na afinním otevřeném obalu. Díky tomu je možné vypočítat Snopová kohomologie z ${ displaystyle mathbb {P} _ {S} ^ {n}}$ pomocí Čechovy kohomologie pro standardní otevřený obal.

Kompatibilita kolimit s cohomologií

Vzhledem k přímému systému ${ displaystyle {{ mathcal {F}} _ { alpha}, phi _ { alpha beta} } _ { alpha in Lambda}}$ snopy abelianských skupin na noetherianském schématu existuje kanonický izomorfismus

${ displaystyle varinjlim H ^ {i} (X, { mathcal {F}} _ { alpha}) až H ^ {i} (X, varinjlim { mathcal {F}} _ { alpha} )}$

což znamená funktory

${ displaystyle H ^ {i} (X, -): { text {Ab}} (X) do { text {Ab}}}$

zachovat přímé limity a vedlejší produkty.

Odvozený přímý obrázek

Vzhledem k místně konečnému morfismu ${ displaystyle f: X až S}$ do noetherianského schématu ${ displaystyle S}$ a komplex snopů ${ displaystyle { mathcal {E}} ^ { bullet} v D_ {Coh} ^ {b} (X)}$ s omezenou koherentní kohomologií takovou, že snopy ${ displaystyle H ^ {i} ({ mathcal {E}} ^ { bullet})}$ mít pořádnou podporu ${ displaystyle S}$, pak odvozený dopředný ${ displaystyle mathbf {R} f _ {*} ({ mathcal {E}} ^ { bullet})}$ má ohraničenou koherentní kohomologii ${ displaystyle S}$, což znamená, že se jedná o objekt v ${ displaystyle D_ {Coh} ^ {b} (S)}$.^[4]

Příklady

Mnoho režimů nalezených ve volné přírodě je noetherianských.

Lokálně konečného typu na netherianské základně

Další třída příkladů noetherských schémat^[5] jsou rodiny schémat ${ displaystyle X až S}$ kde základna ${ displaystyle S}$ je Noetherian a ${ displaystyle X}$ je konečného typu ${ displaystyle S}$. To zahrnuje mnoho příkladů, například připojené komponenty a Hilbertovo schéma, tj. s pevným Hilbertovým polynomem. To je důležité, protože z toho vyplývá mnoho modulové prostory ve volné přírodě kódovaní jsou noetherští, například Moduly algebraických křivek a Moduly stabilních vektorových svazků. Tuto vlastnost lze také použít k zobrazení mnoha schémat uvažovaných v algebraické geometrii, která jsou ve skutečnosti noetherianská.

Kvazi-projektivní odrůdy

Zejména kvazi-projektivní odrůdy jsou noetherovské schémata. Tato třída zahrnuje algebraické křivky, eliptické křivky, abelianské odrůdy, schémata calabi-yau, odrůdy shimura, K3 povrchy, a kubické povrchy. V podstatě všechny objekty z klasické algebraické geometrie zapadají do této třídy příkladů.

Infinitezimální deformace noetherských schémat

Zejména nekonečně malé deformace noetherských schémat jsou opět noetherskými. Například daná křivka ${ displaystyle C / { text {Spec}} ( mathbb {F} _ {q})}$, jakýkoli deformace ${ displaystyle { mathcal {C}} / { text {Spec}} ( mathbb {F} _ {q} [ varepsilon] / ( varepsilon ^ {n}))}$ je také noetherovské schéma. Věž takových deformací lze použít ke konstrukci formálních noetherských schémat.

Non-příklady

Schémata nad základnami Adelic

Jedním z přírodních prstenů, které nejsou netheranské, jsou Prsten z Adelsu ${ displaystyle mathbb {A} _ {K}}$ pro algebraické číslo pole ${ displaystyle K}$. Aby bylo možné se s takovými kroužky vypořádat, uvažuje se topologie, která dává topologické kruhy. Tam je představa o algebraické geometrii přes takové prstence vyvinuta Weil a Alexander Grothendieck.^[6]

Kruhy celých čísel nad nekonečnými rozšířeními

Vzhledem k nekonečnému rozšíření pole Galois ${ displaystyle K / L}$, jako ${ displaystyle mathbb {Q} ( zeta _ { infty}) / mathbb {Q}}$ (spojením všech kořenů jednoty), kruh celých čísel ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ je netheretheranský kruh, který je dimenzí ${ displaystyle 1}$. To narušuje intuici, že konečná dimenzionální schémata jsou nutně noetherianská. Tento příklad také poskytuje motivaci, proč studovat schémata na jiné než netheretherské základně; to znamená schémata ${ displaystyle { text {Sch}} / { text {Spec}} ({ mathcal {O}} _ {E})}$, může být zajímavým a plodným předmětem.

Polynomiální kruh s nekonečně mnoha generátory

Další příklad neanetherského konečně-dimenzionálního schématu (ve skutečnosti nulového) je dán následujícím kvocientem polynomiálního kruhu s nekonečně mnoha generátory.

${ displaystyle { frac { mathbb {Q} [x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ldots]} {(x_ {1}, x_ {2} ^ {2}, x_ { 3} ^ {3}, ldots)}}}$

Viz také

• Vynikající prsten - o něco tužší než noetherovské prsteny, ale má lepší vlastnosti
• Chevalleyova věta o konstruktivních množinách
• Zariskiho hlavní věta
• Dualizační komplex
• Nagatova věta o zhutnění

Reference

• Robin Hartshorne, Algebraická geometrie.
• Těžší. Kohomologie aritmetických skupin
• Noetherian schéma. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Noetherian_scheme&oldid=34135