Dimenze algebraické odrůdy - Dimension of an algebraic variety
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Duben 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika a konkrétně v algebraická geometrie, dimenze z algebraická rozmanitost mohou být definovány různými ekvivalentními způsoby.
Některé z těchto definic jsou geometrické povahy, zatímco jiné jsou čistě algebraické a spoléhají se na ně komutativní algebra. Některé jsou omezeny na algebraické odrůdy, zatímco jiné platí také pro všechny algebraická množina. Některé jsou vnitřní, nezávislé na jakémkoli vložení odrůdy do afinní nebo projektivní prostor, zatímco jiné souvisejí s takovým vkládáním.
Dimenze afinní algebraické množiny
Nechat K. být pole, a L ⊇ K. být algebraicky uzavřenou příponou. An afinní algebraická množina PROTI je množina společného nuly v Ln prvků ideálu Já v polynomiálním kruhu Nechat být algebrou polynomiálních funkcí PROTI. Rozměr PROTI je kterékoli z následujících celých čísel. Nezmění se, pokud K. je zvětšen, pokud L je nahrazeno jiným algebraicky uzavřeným rozšířením K. a pokud Já je nahrazen jiným ideálem, který má stejné nuly (který má stejné radikální ). Kóta je také nezávislá na výběru souřadnic; jinými slovy se nemění, pokud Xi jsou nahrazeny jejich lineárně nezávislými lineárními kombinacemi. Rozměr PROTI je
- Maximální délka řetězů odlišných neprázdných (neredukovatelných) poddruhů PROTI.
Tato definice zobecňuje vlastnost dimenze a Euklidovský prostor nebo a vektorový prostor. Je to tedy pravděpodobně definice, která dává nejjednodušší intuitivní popis pojmu.
- The Dimenze Krull souřadnicového kruhu A.
Toto je přepis předchozí definice v jazyce komutativní algebra, přičemž Krullův rozměr je maximální délka řetězů z hlavní ideály z A.
- Maximální Krullův rozměr místní prsteny v bodech PROTI.
Tato definice ukazuje, že dimenze je a místní majetek, pokud je neredukovatelný. Li je neredukovatelný, ukazuje se, že všechny místní prstence v uzavřených bodech mají stejnou Krull dimenzi (viz [1]).
- Li PROTI je odrůda, Krullův rozměr místního kruhu v kterémkoli bodě PROTI
Toto přeformuluje předchozí definici do více geometrického jazyka.
- Maximální rozměr tečné vektorové prostory na non singulární body z PROTI.
To souvisí s rozměrem odrůdy s rozměrem a diferencovatelné potrubí. Přesněji řečeno, pokud PROTI pokud je definována nad reálemi, pak sada jejích skutečných regulárních bodů, pokud není prázdná, je diferencovatelný variet, který má stejnou dimenzi jako varieta a variet.
- Li PROTI je odrůda, rozměr tečný vektorový prostor v každém non singulární bod z PROTI.
Toto je algebraický analog ke skutečnosti, že je připojen potrubí má konstantní rozměr. To lze také odvodit z výsledku uvedeného pod třetí definicí a ze skutečnosti, že rozměr tečného prostoru se rovná Krullově dimenzi v jakémkoli jiném než singulárním bodě (viz Zariski tečný prostor ).
- Počet hyperplanes nebo hyperplochy v obecná pozice které jsou potřebné k průniku s PROTI což je redukováno na nenulový konečný počet bodů.
Tato definice není vlastní, protože se vztahuje pouze na algebraické množiny, které jsou výslovně vloženy do afinního nebo projektivního prostoru.
- Maximální délka a pravidelná sekvence v souřadnicovém kruhu A.
Toto je algebraický překlad předchozí definice.
- Rozdíl mezi n a maximální délka pravidelných sekvencí obsažených v Já.
Toto je algebraický překlad skutečnosti, že křižovatka n – d obecné hyperplochy je algebraická množina dimenzí d.
- Stupeň Hilbertův polynom z A.
- Míra jmenovatele Hilbertova řada z A.
To umožňuje prostřednictvím a Gröbnerův základ výpočet k výpočtu dimenze algebraické množiny definované daným soustava polynomiálních rovnic.
- Dimenze zjednodušeného komplexu, jehož Stanley-Reisnerův prsten je kde je radikální jakéhokoli počátečního ideálu I.
Přijímání počátečních ideálů zachovává Hilbertovu polynomii / řadu a přijímání radikálů zachovává dimenzi.[2]
- Li Já je prvotřídním ideálem (tj. PROTI je algebraická odrůda), stupeň transcendence přes K. z pole zlomků z A.
To umožňuje snadno dokázat, že dimenze je neměnná pod birational ekvivalence.
Dimenze projektivní algebraické množiny
Nechat PROTI být projektivní algebraická množina je definován jako množina běžných nul homogenního ideálu Já v polynomiálním kruhu přes pole K.a nechte A=R/Já být odstupňovaná algebra polynomů přes PROTI.
Platí všechny definice z předchozí části se změnou, kdy A nebo Já Pokud se v definici objeví výslovně, hodnota dimenze musí být snížena o jednu. Například rozměr PROTI je o jeden menší než Krullův rozměr A.
Výpočet dimenze
Vzhledem k soustava polynomiálních rovnic přes algebraicky uzavřené pole , může být obtížné vypočítat rozměr algebraické množiny, kterou definuje.
Bez dalších informací o systému existuje pouze jedna praktická metoda, která spočívá ve výpočtu Gröbnerovy báze a odvození stupně jmenovatele Hilbertova řada ideálu generovaného rovnicemi.
Druhý krok, který je obvykle nejrychlejší, lze zrychlit následujícím způsobem: Za prvé, Gröbnerův základ je nahrazen seznamem jeho předních monomiálů (to je již provedeno pro výpočet Hilbertovy řady). Pak se každé monomii líbí je nahrazen součinem proměnných v něm: Dimenzí je pak maximální velikost podmnožiny S proměnných, takže žádný z těchto produktů proměnných závisí pouze na proměnných v S.
Tento algoritmus je implementován v několika systémy počítačové algebry. Například v Javor, toto je funkce Groebner [HilbertDimension], a v Macaulay2, toto je funkce ztlumit.
Skutečný rozměr
The skutečný rozměr množiny reálných bodů, obvykle a semialgebraická množina, je jeho rozměr Zariski uzavření. Pro semialgebraickou množinu S, skutečná dimenze je jedno z následujících stejných celých čísel:[3]
- Skutečný rozměr je rozměr jeho uzavření Zariski.
- Skutečný rozměr je maximální celé číslo takové, že existuje homeomorfismus z v .
- Skutečný rozměr je maximální celé číslo takové, že existuje projekce z přes -dimenzionální podprostor s neprázdným interiér.
Pro algebraickou množinu definovanou nad realita (který je definován polynomy se skutečnými koeficienty), může se stát, že skutečná dimenze množiny jejích reálných bodů je menší než její dimenze jako poloalgebraická množina. Například algebraický povrch rovnice je algebraická paleta dimenze dva, která má pouze jeden skutečný bod (0, 0, 0), a má tedy skutečnou dimenzi nula.
Skutečná dimenze je obtížnější vypočítat než algebraická dimenze. V případě skutečné nadpovrch (to je soubor reálných řešení jedné polynomiální rovnice), existuje pravděpodobnostní algoritmus pro výpočet jeho skutečné dimenze.[4]
Viz také
Reference
- ^ Kapitola 11 Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Úvod do komutativní algebry, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8.
- ^ Cox, David A .; Malý, Johne; O'Shea, Donal Ideály, variace a algoritmy. Úvod do výpočetní algebraické geometrie a komutativní algebry. Čtvrté vydání. Pregraduální texty z matematiky. Springer, Cham, 2015.
- ^ Basu, Saugata; Pollack, Richard; Roy, Marie-Françoise (2003), Algoritmy v reálné algebraické geometrii (PDF)Algoritmy a výpočty v matematice, 10, Springer-Verlag
- ^ Ivan, Bannwarth; Mohab, Safey El Din (2015), Pravděpodobnostní algoritmus pro výpočet dimenze reálných algebraických množin, Proceedings of the 2015 international symposium on Symbolic and algebraic computation, ACM