Hladký morfismus - Smooth morphism
v algebraická geometrie morfismus mezi schémata se říká, že je hladký -li
- (i) je místně konečné prezentace
- ii) je byt, a
- (iii) pro všechny geometrický bod vlákno je pravidelný.
(iii) znamená, že každé geometrické vlákno o F je nesmyslná rozmanitost (pokud je oddělen). Intuitivně řečeno, hladký morfismus dává plochou rodinu nesingulárních odrůd.
Li S je spektrum algebraicky uzavřené pole a F je konečného typu, pak se obnoví definice nesingulární odrůdy.
Ekvivalentní definice
Existuje mnoho ekvivalentních definic hladkého morfismu. Nechat být lokálně konečné prezentace. Pak jsou ekvivalentní následující.
- F je hladký.
- F je formálně hladký (viz níže).
- F je plochý a svazek relativních diferenciálů je místně prostý hodnosti rovnající se relativnímu rozměru .
- Pro všechny , existuje sousedství x a sousedství z takhle a ideál generovaný m-podle-m nezletilí je B.
- Lokálně, F faktory do kde G je étale.
- Lokálně, F faktory do kde G je étale.
Morfismus konečného typu je étale právě když je hladký a kvazi-konečný.
Hladký morfismus je stabilní při změně základny a složení. Hladký morfismus je místně konečnou prezentací.
Hladký morfismus je univerzální místně acyklický.
Příklady
Hladké morfismy mají geometricky odpovídat hladkým ponoření v diferenciální geometrii; to znamená, že jsou to hladké lokálně triviální fibrace přes nějaký základní prostor (podle Ehresmannovy věty).
Hladký morfismus do bodu
Nechat být morfismem schémat
Je to hladké kvůli Jacobově podmínce: Jacobské matici
zmizí v bodech který má prázdný průnik s polynomem, protože
které jsou nenulové.
Triviální fibrace
Vzhledem k hladkému schématu morfismus projekce
je hladký.
Vektorové svazky
Každý vektorový balíček nad schématem je hladký morfismus. Například lze ukázat, že přidružený vektorový svazek přes je vážený projektivní prostor minus bod
odesílání
Všimněte si, že balíček přímých součtů lze vyrobit pomocí vláknového produktu
Oddělitelná rozšíření pole
Připomeňme, že rozšíření pole se nazývá oddělitelný, pokud je dána prezentace
máme to . Tuto definici můžeme reinterpretovat z hlediska Kählerových diferenciálů následovně: přípona pole je oddělitelná iff
Všimněte si, že to zahrnuje každé dokonalé pole: konečná pole a pole s charakteristikou 0.
Nepříklady
Singulární odrůdy
Pokud vezmeme v úvahu základní algebry pro projektivní rozmanitost , nazývaný afinní kužel z , pak je bod v počátku vždy singulární. Zvažte například afinní kužel quintic -krát dáno
Pak je Jacobova matice dána vztahem
který mizí v počátku, proto je kužel singulární. Afinní hyperplochy, jako jsou tyto, jsou populární v teorii singularity kvůli své relativně jednoduché algebře, ale bohatým základním strukturám.
Dalším příkladem singulární odrůdy je projektivní kužel hladké odrůdy: vzhledem k hladké projektivní odrůdě jeho projektivní kužel je spojení všech linií v protínající se . Například projektivní kužel bodů
je schéma
Podíváme-li se do graf toto je schéma
a promítněte to dolů na afinní linii , jedná se o rodinu čtyř bodů degenerujících se u původu. Non-singularity tohoto schématu lze také zkontrolovat pomocí Jacobian podmínku.
Degenerující rodiny
Uvažujme o ploché rodině
Pak jsou vlákna hladká, s výjimkou bodu v počátku. Protože hladkost je stabilní při změně základny, tato rodina není hladká.
Neoddělitelná rozšíření pole
Například pole je neoddělitelný, a proto související morfismus schémat není plynulý. Podíváme-li se na minimální polynom rozšíření pole,
pak , proto budou Kählerovy diferenciály nenulové.
Formálně hladký morfismus
Lze definovat hladkost bez odkazu na geometrii. Říkáme, že S-systém X je formálně hladký pokud pro nějakou afinitu S-systém T a podsystém z T dané nilpotentním ideálem, je surjective, kde jsme psali . Potom je morfismus lokálně konečného typu hladký právě tehdy, pokud je formálně hladký.
Pokud v definici „formálně hladkého“ nahradíme surjektiv slovem „bijektivní“ (resp. „Injektivní“), dostaneme definici formálně étale (resp. formálně unramified).
Hladká změna základny
Nechat S být schématem a označit obrázek mapy struktury . The věta o hladké změně základny uvádí následující: let být kvazi-kompaktní morfismus, hladký morfismus a torzní snop na . Pokud pro každého v , je injekční, pak morfismus základní změny je izomorfismus.
Viz také
Reference
- J. S. Milne (2012). "Přednášky o Étale Cohomology "
- J. S. Milne. Étale cohomology, svazek 33 Princeton Mathematical Series. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1980.