Projektivní balíček - Projective bundle - Wikipedia

v matematika, a projektivní svazek je svazek vláken jejichž vlákna jsou projektivní prostory.

Podle definice schéma X přes Noetherian schéma S je Pⁿ-bundle, pokud se jedná o lokálně projektivní n-prostor; tj., ${ displaystyle X times _ {S} U simeq mathbb {P} _ {U} ^ {n}}$ a přechodové automorfismy jsou lineární. Přes běžné schéma S jako a hladká odrůda, každý projektivní svazek má formu ${ displaystyle mathbb {P} (E)}$ pro nějaký vektorový svazek (místně volný svazek) E.^[1]

Projektivní svazek vektorového svazku

Každý vektorový svazek přes odrůda X dává projektivní svazek tím, že vezme projektivní prostory vláken, ale ne všechny projektivní svazky vznikají tímto způsobem: existuje obstrukce v kohomologická skupina H²(X,Ó*).^{[je zapotřebí objasnění ]} Zejména pokud X je kompaktní Riemannova plocha, překážka zmizí, tj. H²(X, O *) = 0.

Projektivní svazek vektorového svazku E je totéž jako Grassmann svazek ${ displaystyle G_ {1} (E)}$ 1-letadel v E.

Projektivní balíček P(E) vektorového svazku E se vyznačuje univerzální vlastností, která říká:^[2]

Vzhledem k morfismu F: T → X, faktorizovat F přes projekční mapu p: P(E) → X je určit podskupinu řádků F^*E.

Například brát F být p, jeden získá podskupinu řádků Ó(-1) z p^*E, volal tautologický svazek linek na P(E). Navíc toto Ó(-1) je a univerzální balíček v tom smyslu, že když svazek linek L dává faktorizaci F = p ∘ G, L je pullback z Ó(-1) spolu G. Viz také Kužel#Ó(1) pro jasnější konstrukci Ó(-1).

Na P(E), existuje přirozená přesná sekvence (nazývá se tautologická přesná sekvence):

${ displaystyle 0 až { mathcal {O}} _ { mathbf {P} (E)} (- 1) až p ^ {*} E až Q až 0}$

kde Q se nazývá tautologický kvocient kvocientu.

Nechat E ⊂ F být vektorovými svazky (místně volné snopy konečné pozice) na X a G = F/E. Nechat q: P(F) → X být projekcí. Pak přirozená mapa Ó(-1) → q^*F → q^*G je globální část svazek hom Hom (Ó(-1), q^*G) = q^* G ⊗ Ó(1). Tato přirozená mapa navíc zmizí v bodě přesně, když je bod přímkou E; jinými slovy, nulový lokus této sekce je P(E).

Obzvláště užitečným příkladem této konstrukce je, když F je přímý součet E ⊕ 1 z E a triviální svazek řádků (tj. svazek struktury). Pak P(E) je hyperplán v P(E ⊕ 1), nazývaný hyperplán v nekonečnu, a doplněk P(E) lze identifikovat pomocí E. Takto, P(E ⊕ 1) se označuje jako projektivní dokončení (nebo „zhutnění“) E.

Projektivní balíček P(E) je stabilní při kroucení E svazkem řádků; přesně, vzhledem k řádku svazku L, existuje přirozený izomorfismus:

${ displaystyle g: mathbf {P} (E) { přesahující { sim} { to}} mathbf {P} (E otimes L)}$

takhle ${ displaystyle g ^ {*} ({ mathcal {O}} (- 1)) simeq { mathcal {O}} (- 1) otimes p ^ {*} L.}$^[3] (Ve skutečnosti jeden dostane G univerzální vlastností aplikovanou na svazek řádků vpravo.)

Příklady

Mnoho netriviálních příkladů projektivních svazků lze najít pomocí fibrací přes ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ jako Lefschetzovy fibrace. Například eliptický Povrch K3 ${ displaystyle X}$ je povrch K3 s fibrací

${ displaystyle pi: X to mathbb {P} ^ {1}}$

taková, že vlákna ${ displaystyle E_ {p}}$ pro ${ displaystyle p in mathbb {P} ^ {1}}$ jsou obecně eliptické křivky. Protože každá eliptická křivka je křivka rodu 1 s rozlišovacím bodem, existuje globální část fibrace. Kvůli této globální sekci existuje model ${ displaystyle X}$ dát morfismus projektivnímu svazku^[4]

${ displaystyle X to mathbb {P} ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {1}} (4) oplus { mathcal {O}} (6) _ { mathbb {P} ^ {1}} oplus { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {1}})}$

definováno Weierstrassova rovnice

${ displaystyle y ^ {2} z + a_ {1} xyz + a_ {3} yz ^ {2} = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} z + a_ {4} xz ^ { 2} + a_ {6} z ^ {3}}$

kde ${ displaystyle x, y, z}$ představují lokální souřadnice ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {1}} (4), { mathcal {O}} (6) _ { mathbb {P} ^ {1}}, { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {1}}}$a koeficienty

${ displaystyle a_ {i} v H ^ {0} ( mathbb {P} ^ {1}, { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {1}} (2i))}$

jsou části snopy na ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$. Všimněte si, že tato rovnice je dobře definovaná, protože každý člen Weierstraussovy rovnice má celkový stupeň ${ displaystyle 12}$ (což znamená stupeň koeficientu plus stupeň monomia. Například ${ displaystyle { text {deg}} (a_ {1} xyz) = 2 + (4 + 6 + 0) = 12}$).

Kohomologický prsten a skupina Chow

Nechat X být komplexní hladkou projektivní odrůdou a E komplexní vektorový svazek hodností r na to. Nechat p: P(E) → X být projektivní svazek E. Pak cohomologický prsten H^*(P(E)) je algebra skončila H^*(X) prostřednictvím zpětného rázu p^*. Pak první Třída Chern ζ = C₁(Ó(1)) generuje H^*(P(E)) se vztahem

${ displaystyle zeta ^ {r} + c_ {1} (E) zeta ^ {r-1} + cdots + c_ {r} (E) = 0}$

kde C_i(E) je i-th Chern třída E. Jedna zajímavá vlastnost tohoto popisu je, že člověk může definovat Chernovy třídy jako koeficienty ve vztahu; to je přístup, který zaujal Grothendieck.

Přes jiná pole než komplexní pole zůstává stejný popis pravdivý Chow prsten namísto cohomologického kruhu (stále za předpokladu X je hladký). Zejména pro skupiny Chow existuje přímý rozklad součtu

${ displaystyle A_ {k} ( mathbf {P} (E)) = bigoplus _ {i = 0} ^ {r-1} zeta ^ {i} A_ {k-r + 1 + i} (X ).}$

Jak se ukázalo, tento rozklad zůstává platný, i když X není plynulý ani projektivní.^[5] V porovnání, A_k(E) = A_k-r(X), prostřednictvím Gysin homomorfismus, morálně proto, že vlákna z E, vektorové prostory, jsou stahovatelné.

Viz také

• Stavba projektu
• kužel (algebraická geometrie)
• ovládaný povrch (příklad projektivního svazku)
• Odrůda Severi – Brauer
• Hirzebruchův povrch

Reference

• Elencwajg, G .; Narasimhan, M. S. (1983), „Projektivní svazky na komplexním torusu“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1983 (340): 1–5, doi:10.1515 / crll.1983.340.1, ISSN  0075-4102, PAN  0691957, S2CID  122557310
• William Fulton. (1998), Teorie křižovatky, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, PAN  1644323
• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157