Behrends stopový vzorec - Behrends trace formula - Wikipedia

v algebraická geometrie, Behrendův stopový vzorec je zobecněním Grothendieck – Lefschetzův sledovací vzorec do a hladký algebraický zásobník přes konečné pole, domnělé v roce 1993 ^[1] a prokázáno v roce 2003 ^[2] podle Kai Behrend. Na rozdíl od toho klasického počítá vzorec body v „skládaný způsob "; bere v úvahu přítomnost netriviálních automorfismů.

Touha po vzorci vychází ze skutečnosti, že platí pro zásobník hlavních svazků na křivce nad konečným polem (v některých případech nepřímo přes Tvrdší – Narasimhanova stratifikace, protože zásobník modulů není konečného typu.^[3][4]) Viz zásobník hlavních svazků a v tomto případě odkazy na přesnou formulaci.

Pierre Deligne našel příklad^[5] , který ukazuje, že vzorec může být interpretován jako druh Selbergův stopový vzorec.

Důkaz vzorce v kontextu šest operací formalismus vyvinutý Yvesem Laszlem a Martinem Olssonem^[6] je dán Shenghao Sun.^[7]

Formulace

Podle definice, pokud C je kategorie, ve které má každý objekt konečně mnoho automorfismů, což je počet bodů ${ displaystyle C}$ je označen

${ displaystyle # C = součet _ {p} {1 nad # operatorname {Aut} (p)},}$

s částkou přejíždějící zástupci p ze všech tříd izomorfismu v C. (Série se může obecně lišit.) Ve vzorci je uvedeno: pro plynulý algebraický zásobník X konečného typu přes konečné pole ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$ a „aritmetický“ Frobenius ${ displaystyle phi ^ {- 1}: X až X}$, tj. inverzní k obvyklému geometrickému Frobeniovi ${ displaystyle phi}$ v Grothendieckově vzorci,^[8][9]

${ displaystyle #X ( mathbb {F} _ {q}) = q ^ { dim X} součet _ {i = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {i} operatorname {tr } left ( phi ^ {- 1}; H ^ {i} (X, mathbb {Q} _ {l}) right).}$

Zde je zásadní, aby: cohomology of a stack je s ohledem na hladká topologie (ne etal).

Když X je odrůda, plynulá cohomologie je stejná jako etale a prostřednictvím Poincaré dualita, to je ekvivalentní Grothendieckovu stopovému vzorci. (Důkaz Behrendova stopového vzorce se však opírá o Grothendieckův vzorec, takže Grothendieckův subsum nepočítá.)

Jednoduchý příklad

Zvážit ${ displaystyle B mathbb {G} _ {m} = [ operatorname {Spec} mathbb {F} _ {q} / mathbb {G} _ {m}]}$, klasifikace zásobníku multiplikativního skupinového schématu (tj. ${ displaystyle mathbb {G} _ {m} (R) = R ^ { times}}$). Podle definice, ${ displaystyle B mathbb {G} _ {m} ( mathbb {F} _ {q})}$ je kategorie ředitel školy ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$- svazky ${ displaystyle operatorname {Spec} mathbb {F} _ {q}}$, který má pouze jednu třídu izomorfismu (protože všechny tyto svazky jsou triviální) Langova věta ). Jeho skupina automorfismů je ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$, což znamená, že počet ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$-izomorfismus je ${ displaystyle # mathbb {G} _ {m} ( mathbb {F} _ {q}) = # mathbb {F} _ {q} ^ { times} = q-1}$.

Na druhou stranu můžeme vypočítat l- adic cohomology of ${ displaystyle B mathbb {G} _ {m}}$ přímo. Poznamenáváme, že v topologickém prostředí ano ${ displaystyle B mathbb {C} ^ { times} cong mathbb {CP} ^ { infty}}$ (kde ${ displaystyle B mathbb {C} ^ { times}}$ nyní označuje obvyklý klasifikační prostor topologické skupiny), jehož racionální kohomologický kruh je polynomický kruh v jednom generátoru (Borelův teorém ), ale nebudeme to přímo používat. Pokud si přejeme zůstat ve světě algebraické geometrie, můžeme místo toho „přiblížit“ ${ displaystyle B mathbb {G} _ {m}}$ projektivními prostory většího a většího rozměru. Zvažujeme tedy mapu ${ displaystyle B mathbb {G} _ {m} až mathbb {P} ^ {N}}$ vyvolané ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$-bundle odpovídající ${ displaystyle { mathcal {O}} (1).}$ Tato mapa indukuje izomorfismus v cohomologii až do stupňů 2N. Takže sudá (resp. Lichá) Betti čísla ${ displaystyle B mathbb {G} _ {m}}$ jsou 1 (resp. 0) a l-adic Galois zastoupení na (2n)tou kohomologickou skupinou je nta síla cyklotomického charakteru. Druhá část je důsledkem skutečnosti, že kohomologie ${ displaystyle mathbb {P} ^ {N}}$ je generován třídami algebraického cyklu. To ukazuje

${ displaystyle sum _ {i geq 0} (- 1) ^ {i} operatorname {tr} left ( phi ^ {- 1}; H ^ {i} (B mathbb {G} _ { m}, mathbb {Q} _ {l}) right) = 1 + { frac {1} {q}} + { frac {1} {q ^ {2}}} + cdots = { frac {q} {q-1}}.}$

Všimněte si, že

${ displaystyle dim B mathbb {G} _ {m} = dim operatorname {Spec} mathbb {F} _ {q} - dim mathbb {G} _ {m} = - 1.}$

Vynásobením ${ displaystyle q ^ {- 1}}$, jeden získá předpokládanou rovnost.

Poznámky

Reference

• Shenghao, Sun (2011). "Artin série L se hromadí nad konečnými poli". Algebra a teorie čísel. 6: 47–122. arXiv:1008.3689. doi:10.2140 / ant.2012.6.47.