Plücker vkládání - Plücker embedding

v matematika, Plücker vkládání je způsob realizace Grassmannian ${ displaystyle operatorname {Gr} _ {k} (V)}$ ze všech k-dimenzionální podprostory z n-dimenzionální vektorový prostor PROTI jako podrodina a projektivní prostor. Přesněji řečeno, mapa Plücker vloží ${ displaystyle operatorname {Gr} _ {k} (V)}$ algebraicky do projektivního prostoru ${ displaystyle k}$th vnější síla toho vektorového prostoru, ${ displaystyle mathbf {P} ( Lambda ^ {k} V)}$. Obrázek je průsečíkem řady kvadrik definovaných Plückerovými vztahy.

V tomto případě bylo poprvé definováno Plückerovo vložení k = 2, n = 4 podle Julius Plücker jako způsob popisu čar v trojrozměrném prostoru (který jako projektivní linie v reálném projektivním prostoru odpovídají dvojrozměrným podprostorům čtyřrozměrného vektorového prostoru). Obraz tohoto vložení je Klein quadric v RP⁵.

Hermann Grassmann zobecněné Plückerovo vkládání do svévolnosti k a n. Homogenní souřadnice obrazu Grassmannian ${ displaystyle operatorname {Gr} _ {k} (V)}$ pod Plückerovým zapuštěním, vzhledem k přirozenému základu ve vnějším prostoru ${ displaystyle Lambda ^ {k} V}$ odpovídající přírodnímu základu v ${ displaystyle V = K ^ {n}}$ (kde ${ displaystyle K}$ je základna pole ) jsou nazývány Plückerovy souřadnice.

Definice

Vkládání Plücker (přes pole K.) je mapa ι definován

${ displaystyle { begin {zarovnaný} iota colon mathbf {Gr} (k, K ^ {n}) & {} rightarrow mathbf {P} ( wedge ^ {k} K ^ {n}) , operatorname {span} (v_ {1}, ldots, v_ {k}) & {} mapsto [K (v_ {1} wedge cdots wedge v_ {k})], end { zarovnaný}}}$

kde GR(k, K.ⁿ) je Grassmannian, tj. prostor všech k-rozměrné podprostory n-dimenzionální vektorový prostor K.ⁿ.

Toto je izomorfismus od Grassmannian k obrazu ι, což je projektivní rozmanitost. Tuto odrůdu lze zcela charakterizovat jako křižovatku kvadriků, přičemž každá pochází ze vztahu na souřadnicích Plücker (nebo Grassmann), který pochází z lineární algebra.

The konzolový kroužek se objeví jako prstenec polynomiálních funkcí na vnější energii.^[1]

Grassmann – Plückerovy vztahy

Vložení Grassmannianů uspokojuje některé velmi jednoduché kvadratické vztahy zvané Grassmann – Plückerovy vztahy. Ukazují, že Grassmannian se vloží jako algebraická subvarieta P(∧^kPROTI) a dát další metodu konstrukce Grassmannian. Pro vyjádření vztahů Grassmann – Plücker, dovolte Ž být k-rozměrný podprostor překlenutý na základě vektorů řádků {w₁, ..., w_k}. Nechat ${ displaystyle W}$ být ${ displaystyle k krát n}$ matice homogenních souřadnic, jejichž řádky jsou w₁, ..., w_k a nechte Ž₁, ..., Ž_n být odpovídající vektory sloupců. Pro jakoukoli objednanou sekvenci ${ displaystyle 1 leq i_ {1} < cdots$ z ${ displaystyle k}$ kladná celá čísla, ať ${ displaystyle W_ {i_ {1}, tečky, i_ {k}}}$ být určujícím faktorem ${ displaystyle k krát k}$ matice se sloupci ${ displaystyle W_ {i_ {1}}, tečky, W_ {i_ {k}}}$. Pak ${ displaystyle W_ {i_ {1}, tečky, i_ {k}}}$ jsou Plückerovy souřadnice prvku ${ displaystyle W}$ Grassmannian. Jsou to lineární souřadnice obrazu ${ displaystyle iota (W)}$ z ${ displaystyle W}$ pod Plückerovou mapou ve srovnání se standardní základnou ve vnějším prostoru ${ displaystyle Lambda ^ {k} V}$

Pro libovolné dvě seřazené sekvence:

${ displaystyle i_ {1}$

kladných celých čísel ${ displaystyle 1 leq i_ {l}, j_ {m} leq n}$, následující homogenní rovnice jsou platné a určují obraz Ž pod mapou Plücker:

${ displaystyle sum _ {l = 1} ^ {k + 1} (- 1) ^ {l} W_ {i_ {1}, dots, i_ {k-1}, j_ {l}} W_ {j_ {1}, dots, { hat {j}} _ {l}, dots j_ {k + 1}} = 0,}$

kde ${ displaystyle j_ {1}, tečky, { hat {j}} _ {l} tečky j_ {k + 1}}$ označuje sekvenci ${ displaystyle j_ {1}, tečky, tečky j_ {k + 1}}$ s termínem ${ displaystyle j_ {l}}$ vynecháno.

Když ztlumit(PROTI) = 4, a k = 2, nejjednodušší Grassmannian, který není projektivním prostorem, se výše redukuje na jedinou rovnici. Označení souřadnic P(∧^kPROTI) podle Ž₁₂, Ž₁₃, Ž₁₄, Ž₂₃, Ž₂₄, Ž₃₄, obraz uživatele GR(2, PROTI) pod Plückerovou mapou je definována jedinou rovnicí

Ž₁₂Ž₃₄ − Ž₁₃Ž₂₄ + Ž₁₄Ž₂₃ = 0.

Obecně je však k definování Plückerova začlenění Grassmannianova v projektivním prostoru potřeba mnohem více rovnic.^[2]

Reference

Další čtení

• Miller, Ezra; Sturmfels, Bernd (2005). Kombinatorická komutativní algebra. Postgraduální texty z matematiky. 227. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN  0-387-23707-0. Zbl  1090.13001.