Zariskisova hlavní věta - Zariskis main theorem - Wikipedia

V algebraické geometrii Zariskiho hlavní věta, prokázáno Oscar Zariski (1943 ), je prohlášení o struktuře biracních morfismů, které zhruba uvádí, že v jakémkoli normálním bodě odrůdy existuje pouze jedna větev. Jedná se o speciální případ Zariskiho věta o propojenosti když jsou obě odrůdy birational.

Zariskiho hlavní teorém lze konstatovat několika způsoby, které se na první pohled zdají být zcela odlišné, ale ve skutečnosti hluboce souvisí. Některé z variant, které se nazývají Zariskiho hlavní věta, jsou následující:

Celková transformace normálního základního bodu birational mapy má pozitivní rozměr. Toto je v podstatě Zariskiho původní podoba jeho hlavní věty.
Birational morphism s konečnými vlákny k normální odrůdě je izomorfismus k otevřené podmnožině.
Celková transformace normálního bodu pod správným biracním morfismem je spojena.
Úzce související věta o Grothendieckovi popisuje strukturu kvazi-konečné morfismy z schémata, což implikuje Zariskiho původní hlavní větu.
Několik výsledků v komutativní algebře, které naznačují geometrickou formu Zariskiho hlavní věty.
Normální místní kruh je jednobodový, což je variace tvrzení, že transformace normálního bodu je spojena.
Místní kruh normálního bodu odrůdy je analyticky normální. Toto je silná forma prohlášení, že je jednobodové.

Název „Zariskiho hlavní věta“ pochází ze skutečnosti, že jej Zariski označil jako „HLAVNÍ VĚTU“ v Zariski (1943 ).

Zariskiho hlavní věta o biracních morfismech

Nechat F být birational mapování algebraických odrůd PROTI a Ž. Odvolej to F je definována uzavřenou podvariátou ${ displaystyle Gamma podmnožina V krát W}$ ("graf" z F) taková, že projekce na první faktor ${ displaystyle p_ {1}}$ indukuje izomorfismus mezi otevřeným ${ displaystyle U podmnožina V}$ a ${ displaystyle p_ {1} ^ {- 1} (U)}$ a tak dále ${ displaystyle p_ {2} circ p_ {1} ^ {- 1}}$ je isomorfismus na U také. Doplněk U v PROTI se nazývá a základní rozmanitost nebo neurčitý lokusa obrázek podmnožiny PROTI pod ${ displaystyle p_ {2} circ p_ {1} ^ {- 1}}$ se nazývá a celková transformace toho.

Původní tvrzení věty v (Zariski 1943, str. Zní:

HLAVNÍ VĚTA: Pokud Ž je neredukovatelná základní odrůda PROTI birational korespondence T mezi PROTI a PROTI' a pokud T nemá žádné základní prvky PROTI′ Tedy - za předpokladu, že PROTI je místně normální v Ž - každá neredukovatelná složka transformace T[Ž] má vyšší rozměr než Ž.

Tady T je v podstatě morfismus z PROTI′ Až PROTI to je birational, Ž je subvarieta množiny, kde inverzní z T není definováno, jehož lokální kruh je normální, a transformace T[Ž] znamená inverzní obraz Ž pod morfismem z PROTI′ Až PROTI.

Zde jsou některé varianty této věty uvedené pomocí novější terminologie. Hartshorne (1977 „Corollary III.11.4) nazývá následující prohlášení o propojenosti„ Zariskiho hlavní věta “:

Li F:X→Y je birational projektivní morfismus mezi noetherian integrálních schémat, pak inverzní obraz každého normálního bodu Y je připojen.

Následující důsledek (Věta V.5.2,cit. cit.) také spadá pod tímto názvem:

Li F:X→Y je birational transformace projektivních odrůd s Y normální, pak celková transformace základního bodu F je připojen a má rozměr alespoň 1.

Příklady

Předpokládejme to PROTI je plynulá paleta dimenze větší než 1 a PROTI′ Je dáno vybouchnutím bodu Ž na PROTI. Pak PROTI je normální v Ža komponenta transformace Ž je projektivní prostor, který má rozměr větší než Ž jak předpovídal Zariskiho původní forma jeho hlavní věty.
V předchozím příkladu transformace Ž bylo neredukovatelné. Je snadné najít příklady, kde je celková transformace redukovatelná vyhozením dalších bodů transformace. Například pokud PROTI′ Je dáno vybouchnutím bodu Ž na PROTI a pak vyhodit do povětří další bod této transformace, totální transformace Ž má 2 neredukovatelné složky, které se setkávají v jednom bodě. Jak předpověděla Hartshornova forma hlavní věty, je celková transformace spojena a má dimenzi alespoň 1.
Například kde Ž není normální a závěr hlavní věty selže, vezměte PROTI′ Být plynulé odrůdy, a vzít PROTI bude dáno určením dvou odlišných bodů na PROTI′ A brát Ž být obrazem těchto dvou bodů. Pak Ž není normální a transformace Ž skládá se ze dvou bodů, které nejsou spojeny a nemají kladný rozměr.

Zariskiho hlavní věta o kvazifinitních morfismech

V EGA III Grothendieck nazývá následující výrok, který nezahrnuje propojenost, „hlavní teorémem“ Zariskiho Grothendieck (1961, Théorème 4.4.3):

Li F:X→Y je kvazi-projektivní morfismus noetherských schémat, pak je soubor bodů, které jsou izolovány v jejich vláknech, otevřen v X. Navíc indukované schéma této množiny je izomorfní s otevřenou podmnožinou schématu, které je konečné Y.

V EGA IV Grothendieck poznamenal, že poslední tvrzení lze odvodit z obecnější věty o struktuře kvazi-konečné morfismy, a ten je často označován jako „hlavní Zariskiho věta ve formě Grothendiecka“. Je dobře známo, že otevřené ponoření a konečné morfismy jsou kvazi-konečné. Grothendieck dokázal, že pod hypotézou odloučenosti jsou všechny kvazi-konečné morfismy takové Grothendieck (1966, Théorème 8.12.6):

-li Y je kvazi-kompaktní oddělené schéma a

{ displaystyle f: X až Y}

je oddělené, kvazi-konečný, konečně prezentovaný morfismus, pak je zde faktorizace do

{ displaystyle X až Z až Y}

, kde první mapa je otevřené ponoření a druhá je konečná.

Vztah mezi touto teorémem o kvazi-konečných morfismech a výše uvedenou Théorème 4.4.3 EGA III je ten, že pokud F:X→Y je projektivní morfismus odrůd, pak je množina bodů, které jsou izolovány v jejich vláknech, téměř kvazifinitní Y. Poté platí věta o struktuře kvazi-konečných morfismů a získá požadovaný výsledek.

Zariskiho hlavní věta pro komutativní prstence

Zariski (1949) přeformuloval svou hlavní větu ve smyslu komutativní algebry jako výrok o místních prstencích. Grothendieck (1961, Théorème 4.4.7) zobecnil Zariskiho formulaci takto:

Li B je algebra konečného typu přes místní noetherianský kruh A, a n je maximálním ideálem B což je mezi ideály minimální B jehož inverzní obraz v A je maximální ideál m z A, pak je konečný A-algebra A′ S maximálním ideálem m′ (Jehož inverzní obraz v A je m) takové, že lokalizace B_n je isomorfní s A-algebra A′_m′.

Pokud navíc A a B jsou integrální a mají stejné pole zlomků a A je integrálně uzavřená, pak z této věty vyplývá, že A a B jsou rovny. Toto je v podstatě Zariskiho formulace jeho hlavní věty z hlediska komutativních prstenů.

Zariskiho hlavní věta: topologická forma

Topologická verze hlavní Zariskiho věty říká, že pokud X je (uzavřený) bod normální komplexní odrůdy jednobodový; jinými slovy, existují libovolně malé čtvrti U z X taková, že množina nesingulárních bodů U je připojen (Mumford 1999, III.9).

Vlastnost být normální je silnější než vlastnost být unibranch: například hrot rovinné křivky je unibranch, ale není normální.

Zariskiho hlavní věta: forma výkonové řady

Formální mocninová řada hlavní Zariskiho věty říká, že pokud X je normální bod odrůdy, pak je analyticky normální; jinými slovy dokončení místního okruhu v X je normální integrální doména (Mumford 1999, III.9).

Viz také

Reference

Danilov, V.I. (2001) [1994], „Zariskiho věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Grothendieck, Alexandre (1961), Eléments de géométrie algébrique (rédigés avec la kolaborace de Jean Dieudonné): III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 11, s. 5–167
Grothendieck, Alexandre (1966), Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la kolaborace de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 28, str. 43–48
Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, PAN 0463157
Mumford, David (1999) [1988], Červená kniha odrůd a schématPřednášky z matematiky, 1358 (rozšířeno, Zahrnuje Michigan Lectures (1974) o Curves and their Jacobians ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / b62130, ISBN 978-3-540-63293-1, PAN 1748380
Peskine, Christian (1966), „Une généralisation du hlavní věta de Zariski ", Býk. Sci. Matematika. (2), 90: 119–127
Raynaud, Michel (1970), Anneaux locaux henséliensPřednášky z matematiky, 169, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0069571, ISBN 978-3-540-05283-8, PAN 0277519
Zariski, Oscar (1943), „Základy obecné teorie biracních korespondencí.“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 53 (3): 490–542, doi:10.2307/1990215, JSTOR 1990215, PAN 0008468
Zariski, Oscar (1949), „Jednoduchý analytický důkaz základní vlastnosti biracních transformací.“, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 35 (1): 62–66, doi:10.1073 / pnas.35.1.62, JSTOR 88284, PAN 0028056, PMC 1062959, PMID 16588856

externí odkazy

Existuje intuitivní důvod pro Zariskiho hlavní větu?