Kvazi-projektivní rozmanitost - Quasi-projective variety

v matematika, a kvazi-projektivní rozmanitost v algebraická geometrie je lokálně uzavřená podmnožina a projektivní rozmanitost, tj. křižovatka uvnitř některých projektivní prostor a Zariski otevřeno a a Zariski zavřený podmnožina. Podobná definice se používá v teorie schémat, kde kvazi-projektivní schéma je místně uzavřený podsystém některých projektivní prostor.^[1]

Vztah k afinním odrůdám

An afinní prostor je podmořská otevřená podmnožina a projektivní prostor a od jakékoli uzavřené afinní podmnožiny ${ displaystyle U}$ lze vyjádřit jako průsečík projektivní dokončení ${ displaystyle { bar {U}}}$ a afinní prostor vložený do projektivního prostoru, to znamená, že jakýkoli afinní odrůda je kvaziprojektivní. Existují místně uzavřeno podmnožiny projektivního prostoru, které nejsou afinní, takže kvazi-projektivní je obecnější než afinní. Vezmeme-li doplněk jediného bodu v projektivním prostoru dimenze alespoň 2, získáme afinní kvazi-projektivní rozmanitost. Toto je také příklad kvazi-projektivní odrůdy, která není ani afinní, ani projektivní.

Příklady

Vzhledem k tomu, že kvazi-projektivní odrůdy zobecňují jak afinní, tak projektivní odrůdy, jsou někdy označovány jednoduše jako odrůdy. Odrůdy izomorfní až afinní algebraické odrůdy, jak se nazývají kvazi-projektivní odrůdy afinní odrůdy; podobně pro projektivní odrůdy. Například doplněk bodu v afinní linii, tj. ${ displaystyle X = mathbb {A} ^ {1} setminus {0 }}$, je izomorfní s nulovou množinou polynomu ${ displaystyle xy-1}$ v afinní rovině. Jako afinní set ${ displaystyle X}$ není uzavřen, protože jakákoli polynomiální nula na komplementu musí být nula na afinní linii. Pro další příklad doplněk libovolného kónický v projektivním prostoru dimenze 2 je afinní. Odrůdy izomorfní pro otevřené podskupiny afinních odrůd se nazývají kvazi-afinní.

Kvazi-projektivní odrůdy jsou místně afinní ve stejném smyslu, že a potrubí je lokálně Euklidovský : každý bod kvazi-projektivní odrůdy má sousedství, které je afinní odrůdou. Tím se získá základ afinních sad pro Zariski topologie na kvazi-projektivní odrůdě.

Viz také

• Abstraktní algebraická odrůda, často synonymem pro „kvazi-projektivní rozmanitost“.
• dělicí schéma, zobecnění kvazi-projektivní odrůdy

Reference

• Igor R. Šafarevič, Základní algebraická geometrie 1„Springer-Verlag 1999: Kapitola 1, oddíl 4.

Poznámky