Jacobian odrůda - Jacobian variety - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Jacobian variety"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Jacobian odrůda J(C) jiného než singulárního algebraická křivka C z rod G je moduli prostor stupně 0 svazky řádků. Jedná se o propojenou součást identity v Picardova skupina z C, proto abelianská odrůda.

Úvod

Jacobská odrůda je pojmenována po Carl Gustav Jacobi, který prokázal úplnou verzi Věta Abel – Jacobi, učinil prohlášení o injekci z Niels Abel do izomorfismu. Je to hlavně polarizované abelianská odrůda, z dimenze G, a tedy přes komplexní čísla je to a komplexní torus. Li str je bod C, pak křivka C lze mapovat na a podrodina z J s daným bodem str mapování na identitu J, a C generuje J jako skupina.

Konstrukce pro složité křivky

Přes komplexní čísla lze Jacobskou odrůdu realizovat jako kvocientový prostor PROTI/L, kde PROTI je dvojí z vektorový prostor všech globálních holomorfních diferenciálů na C a L je mříž všech prvků PROTI formuláře

${ displaystyle [ gamma]: omega mapsto int _ { gamma} omega}$

kde y je uzavřený cesta v C. Jinými slovy,

${ displaystyle J (C) = H ^ {0} ( Omega _ {C} ^ {1}) ^ {*} / H_ {1} (C),}$

s ${ displaystyle H_ {1} (C)}$ vloženo do ${ displaystyle H ^ {0} ( Omega _ {C} ^ {1}) ^ {*}}$ přes výše uvedenou mapu. To lze provést výslovně pomocí theta funkce.^[1]

Jakobián křivky nad libovolným polem byl sestrojen pomocí Weil (1948) jako součást jeho důkazu Riemannovy hypotézy o křivkách nad konečným polem.

The Věta Abel – Jacobi uvádí, že takto vytvořený torus je odrůda, klasická jakobiánská křivka, která skutečně parametrizuje svazky řádků stupně 0, to znamená, že ji lze identifikovat pomocí Odrůda Picard dělitelů stupně 0 modulo lineární ekvivalence.

Algebraická struktura

Jako skupina je jakobiánská rozmanitost křivky isomorfní s kvocientem skupiny dělitelů stupně nula podskupinou hlavních dělitelů, tj. Děliteli racionálních funkcí. To platí pro pole, která nejsou algebraicky uzavřená, za předpokladu, že vezmeme v úvahu dělitele a funkce definované v tomto poli.

Další pojmy

Torelliho věta uvádí, že složitá křivka je určena její Jacobian (s jeho polarizací).

The Schottkyho problém ptá se, které hlavně polarizované abelianské odrůdy jsou jakobijci křivek

The Odrůda Picard, Albánská odrůda, zobecněný Jacobian, a střední Jacobians jsou zobecnění jakobiána pro odrůdy vyšších dimenzí. U odrůd vyšší dimenze se konstrukce Jacobské odrůdy jako kvocient prostoru holomorfních 1 forem zobecňuje a dává Albánská odrůda, ale obecně to nemusí být isomorfní s odrůdou Picard.

Viz také

• Dobová matice - periodické matice jsou užitečnou technikou pro výpočet Jacobovy křivky
• Hodgeova struktura - toto jsou zobecnění Jacobians
• Věta Honda – Tate - klasifikuje abelianské odrůdy přes konečná pole až po isogeny
• Střední Jacobian

Reference

Výpočtové techniky

• Periodické matice hyperelliptických křivek
• Abelianty a jejich aplikace na základní konstrukci Jacobians - techniky konstrukce Jacobians

Třídy isogeny

• Nekonečné rodiny dvojic křivek Q s izomorfními Jacobians
• Abelian odrůdy isogenní k Jacobian
• Abelianské odrůdy jsou isogenní až žádné Jacobian

Kryptografie

• Křivky, Jacobians a kryptografie

Všeobecné

• P. Griffiths; J. Harris (1994), Principy algebraické geometrie„Wiley Classics Library, Wiley Interscience, str. 333–363, ISBN  0-471-05059-8
• Jacobi, C.G.J. (1832), „Considerationes generales de transcendentibus abelianis“, J. Reine Angew. Matematika., 9: 349–403
• Jacobi, C.G.J. (1835), „De functionibus duarum variabilium quadrupliciter periodicis, quibus theoria transcendentium abelianarum innititur“, J. Reine Angew. Matematika., 13: 55–78
• J.S. Milne (1986), „jakobijské odrůdy“, Aritmetická geometrie, New York: Springer-Verlag, s. 167–212, ISBN  0-387-96311-1
• Mumford, David (1975), Křivky a jejich Jacobians„The University of Michigan Press, Ann Arbor, Mich.“ PAN  0419430
• Shokurov, V.V. (2001) [1994], "Odrůda Jacobi", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Weil, André (1948), Variétés abéliennes et courbes algébriques, Paříž: Hermann, PAN  0029522, OCLC  826112
• Hartshorne, Robine, Algebraická geometrie, New York: Springer, ISBN  0-387-90244-9