Stabilní křivka - Stable curve - Wikipedia

v algebraická geometrie, a stabilní křivka je algebraická křivka to je asymptoticky stabilní ve smyslu geometrická invariantní teorie.

To odpovídá podmínce, že se jedná o úplnou spojenou křivku, jejíž jediné singularity jsou běžné dvojité body a jehož automorfická skupina je konečný. Podmínka, že skupina automorfismu je konečná, může být nahrazena podmínkou, že není aritmetický rod jeden a každý jiný než singulární Racionální komponenta splňuje ostatní komponenty v minimálně 3 bodech (Deligne & Mumford 1969 ).

A polostabilní křivka je splňující podobné podmínky, až na to, že skupina automorfismu může být spíše redukční než konečná (nebo ekvivalentně může být její připojenou složkou torus). Alternativně je podmínka, že ne-singulární racionální komponenty splňují ostatní komponenty v alespoň třech bodech, nahrazena podmínkou, že se setkávají v nejméně dvou bodech.

Podobně se křivka s konečným počtem označených bodů nazývá stabilní, pokud je úplná, spojená, má pouze obyčejné dvojité body jako singularity a má konečnou skupinu automorfismu. Například an eliptická křivka (non-singulární rod 1 křivka s 1 označeným bodem) je stabilní.

Přes komplexní čísla je připojená křivka stabilní právě tehdy, když po odstranění všech singulárních a označených bodů je univerzální kryty všech jeho komponent je izomorfní s diskem jednotky.

Definice

Vzhledem k libovolnému schématu ${ displaystyle S}$ a nastavení ${ displaystyle g geq 2}$ A stabilní křivka rodu g ${ displaystyle S}$ je definován jako správný plochý morfismus ${ displaystyle pi: C až S}$ taková, že geometrická vlákna jsou redukována, spojená jednorozměrná schémata ${ displaystyle C_ {s}}$ takhle

${ displaystyle C_ {s}}$ má jen obyčejné dvoubodové singularity
Každá racionální složka ${ displaystyle E}$ splňuje další komponenty na více než ${ displaystyle 2}$ bodů
${ displaystyle dim H ^ {1} ({ mathcal {O}} _ {C_ {s}}) = g}$

Tyto technické podmínky jsou nezbytné, protože (1) snižuje technickou složitost (lze zde také použít Picard-Lefschetzovu teorii), (2) zpevňuje křivky tak, aby neexistovaly žádné nekonečně malé automorfismy modulů vytvořených později a (3) zaručuje, že aritmetický rod každého vlákna je stejný. Všimněte si, že pro (1) typy singularit nalezené v Eliptické povrchy lze zcela klasifikovat.

Příklady

Jeden klasický příklad rodiny stabilních křivek uvádí rodina křivek Weierstrass

{ displaystyle { begin {matrix} operatorname {Proj} left ({ frac { mathbb {Q} [t] [x, y, z]} {(y ^ {2} zx (xz) (x -tz)}} right) downarrow operatorname {Spec} ( mathbb {Q} [t]) end {matrix}}}

kde jsou vlákna v každém bodě ${ displaystyle neq 0,1}$ jsou hladké a zdegenerované body mají pouze jednu dvoubodovou singularitu. Tento příklad lze zobecnit na případ jedné parametrické rodiny hladkých hyperelliptických křivek degenerujících v konečně mnoha bodech.

Non-příklady

V obecném případě více než jednoho parametru je třeba věnovat pozornost odstranění křivek, které mají horší než dvojité bodové singularity. Vezměme si například celou rodinu ${ displaystyle mathbb {A} _ {s, t} ^ {2}}$ z polynomů

{ displaystyle y ^ {2} = x (x-s) (x-t) (x-1) (x-2)}

protože podél úhlopříčky ${ displaystyle s = t}$ existují dvojité bodové singularity. Dalším příkladem není rodina ${ displaystyle mathbb {A} _ {t} ^ {1}}$ dané polynomy

{ displaystyle x ^ {3} -y ^ {2} + t}

které jsou rodinou eliptických křivek degenerujících do racionální křivky s hrotem.

Vlastnosti

Jednou z nejdůležitějších vlastností stabilních křivek je skutečnost, že se jedná o lokální úplné křižovatky. To znamená, že lze použít standardní teorii Serre-duality. Zejména lze ukázat, že pro každou stabilní křivku ${ displaystyle omega _ {C / S} ^ { další 3}}$ je poměrně velký svazek; lze ji použít k vložení křivky ${ displaystyle mathbb {P} _ {S} ^ {5g-6}}$ . Pomocí standardní teorie Hilbertova schématu můžeme sestrojit modulové schéma křivek rodu ${ displaystyle g}$ vložené do nějakého projektivního prostoru. Hilbertův polynom je dán vztahem

{ displaystyle P_ {g} (n) = (6n-1) (g-1)}

Hilbertovo schéma obsahuje sublokus stabilních křivek

{ displaystyle H_ {g} podmnožina { textbf {Hilb}} _ { mathbb {P} _ { mathbb {Z}} ^ {5g-6}} ^ {P_ {g}}}

To představuje funktor

{ displaystyle { mathcal {M}} _ {g} (S) cong left. left {{ begin {matrix} & { text {stabilní křivky}} pi: C až S & { text {s iso}} & mathbb {P} ( pi _ {*} ( omega _ {C / S} ^ { otimes 3})) cong mathbb {P} ^ {5g-6} times S end {matrix}} right } { Bigg /} { sim} right. Cong operatorname {Hom} (S, H_ {g})}

kde ${ displaystyle sim}$ jsou izomorfismy stabilních křivek. Aby se to stalo moduli prostorem křivek bez ohledu na vložení (které je zakódováno izomorfismem projektivních prostorů), musíme mod out ${ displaystyle PGL (5g-6)}$ . To nám dává moduli stack

{ displaystyle { mathcal {M}} _ {g}: = [{ podtržení {H}} _ {g} / { podtržení {PGL}} (5g-6)]}

Viz také

Moduly algebraických křivek

Reference

Artin, M.; Winters, G. (01.11.1971). "Degenerovaná vlákna a stabilní redukce křivek ". Topologie. 10 (4): 373–383. doi:10.1016/0040-9383(71)90028-0. ISSN 0040-9383.
Deligne, Pierre; Mumford, David (1969), „Neredukovatelnost prostoru křivek daného rodu“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288, doi:10.1007 / BF02684599, PAN 0262240
Gieseker, D. (1982), Přednášky o modulech křivek (PDF), Tata Institute of Fundamental Research Přednášky z matematiky a fyziky, 69, Publikováno pro Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, ISBN 978-3-540-11953-1, PAN 0691308
Harris, Joe; Morrison, Ian (1998), Moduly křivek, Postgraduální texty z matematiky, 187, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98429-2, PAN 1631825