Diagonální morfismus (algebraická geometrie) - Diagonal morphism (algebraic geometry) - Wikipedia

V algebraické geometrii, vzhledem k morfismus schémat ${ displaystyle p: X až S}$, diagonální morfismus

${ displaystyle delta: X až X krát _ {S} X}$

je morfismus určený univerzálním vlastnictvím vláknitý výrobek ${ displaystyle X krát _ {S} X}$ z str a str aplikován na identitu ${ displaystyle 1_ {X}: X až X}$ a totožnost ${ displaystyle 1_ {X}}$.

Jedná se o speciální případ a morfismus grafů: dostal morfismus ${ displaystyle f: X až Y}$ přes S, jeho grafický morfismus je ${ displaystyle X až X krát _ {S} Y}$ vyvolané ${ displaystyle f}$ a totožnost ${ displaystyle 1_ {X}}$. Úhlopříčné vložení je morfismus grafu ${ displaystyle 1_ {X}}$.

Podle definice, X je oddělené schéma přes S (${ displaystyle p: X až S}$ je oddělený morfismus) pokud je diagonální morfismus a uzavřené ponoření. Také morfismus ${ displaystyle p: X až S}$ lokálně konečné prezentace je unramified morphism právě když je diagonální vložení otevřeným ponořením.

Vysvětlení

Jako příklad zvažte an algebraická rozmanitost přes algebraicky uzavřené pole k a ${ displaystyle p: X to operatorname {Spec} (k)}$ mapa struktury. Poté identifikace X se sadou jeho k- racionální body, ${ displaystyle X krát _ {k} X = {(x, y) v X krát X }}$ a ${ displaystyle delta: X až X krát _ {k} X}$ je uveden jako ${ displaystyle x mapsto (x, x)}$; odtud název diagonální morfismus.

Oddělený morfismus

A oddělený morfismus je morfismus ${ displaystyle f}$ takové, že vláknitý výrobek z ${ displaystyle f}$ se sebou ${ displaystyle f}$ má svoje úhlopříčka jako uzavřený podsystém - jinými slovy diagonální morfismus je uzavřené ponoření.

V důsledku toho schéma ${ displaystyle X}$ je oddělené když úhlopříčka ${ displaystyle X}$ v rámci produkt schématu z ${ displaystyle X}$ je samo o sobě uzavřeným ponořením. Zdůrazněním relativního úhlu pohledu by se dalo ekvivalentně definovat schéma, které se má oddělit, pokud jde o jedinečný morfismus ${ displaystyle X rightarrow { textrm {specifikace}} ( mathbb {Z})}$ je oddělen.

Všimněte si, že a topologický prostor Y je Hausdorff pokud je diagonální vložení

${ displaystyle Y { stackrel { Delta} { longrightarrow}} Y krát Y, , y mapsto (y, y)}$

je zavřený. V algebraické geometrii se používá výše uvedená formulace, protože schéma, které je Hausdorffovým prostorem, je nutně prázdné nebo nulové. Rozdíl mezi topologickým a algebro-geometrickým kontextem pochází z topologické struktury vláknového produktu (v kategorii schémat) ${ displaystyle X times _ {{ textrm {Spec}} ( mathbb {Z})} X}$, který se liší od produktu topologických prostorů.

Žádný afinní systém Spec A je oddělené, protože úhlopříčka odpovídá surjektivní mapě prstenů (tedy uzavřené ponoření schémat):

${ displaystyle A otimes _ { mathbb {Z}} A rightarrow A, a otimes a ' mapsto a cdot a'}$.

Nechat ${ displaystyle S}$ být schéma získané identifikací dvou afinních linií prostřednictvím mapy identity s výjimkou počátků (viz schéma lepení # Příklady ). Není oddělené.^[1] Ve skutečnosti je to obraz diagonálního morfismu ${ displaystyle S až S krát S}$ obrázek má dva původy, zatímco jeho uzavření obsahuje čtyři původy.

Použití v teorii křižovatky

Klasický způsob, jak definovat křižovatkový produkt z algebraické cykly ${ displaystyle A, B}$ na hladká odrůda X protíná (omezuje) jejich kartézský součin s (k) úhlopříčkou: přesně,

${ displaystyle A cdot B = delta ^ {*} (A krát B)}$

kde ${ displaystyle delta ^ {*}}$ je vytažení podél diagonálního zapuštění ${ displaystyle delta: X až X krát X}$.

Viz také

• pravidelné vkládání
• Diagonální morfismus

Reference

• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157

Tento související s algebraickou geometrií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.