Konečný morfismus - Finite morphism
v algebraická geometrie morfismus F: X → Y z schémata je konečný morfismus -li Y má otevřete kryt podle afinní schémata
takové, že pro každého i,
je otevřené afinní podsystém Spec Aia omezení F na Ui, který indukuje a kruhový homomorfismus
dělá Ai A konečně generovaný modul přes Bi.[1] Jeden to také říká X je konečný přes Y.
Ve skutečnosti, F je konečný právě tehdy, když pro každý open affine open subscheme PROTI = Spec B v Y, inverzní obraz PROTI v X je afinní, ve tvaru Spec A, s A konečně vygenerovaný B-modul.[2]
Například pro všechny pole k, je konečný morfismus od roku tak jako - moduly. Geometricky je to zjevně konečné, protože se jedná o rozvětvený kryt afinní linie s n-pláty, který degeneruje na počátku. Naproti tomu zahrnutí A1 - 0 do A1 není konečný. (Opravdu Laurentův polynom prsten k[y, y−1] není definitivně generován jako modul nad k[y].) To omezuje naši geometrickou intuici na surjektivní rodiny s konečnými vlákny.
Vlastnosti konečných morfismů
- Složení dvou konečných morfismů je konečné.
- Žádný základní změna konečného morfismu F: X → Y je konečný. To je, pokud G: Z → Y je jakýkoli morfismus schémat, pak výsledný morfismus X ×Y Z → Z je konečný. To odpovídá následujícímu algebraickému tvrzení: if A a C jsou (komutativní) B-algebry a A je definitivně generován jako B-modul, pak tenzorový produkt A ⊗B C je definitivně generován jako C-modul. Ve skutečnosti lze generátory považovat za prvky Ai ⊗ 1, kde Ai jsou dané generátory A jako B-modul.
- Uzavřené ponoření jsou konečné, protože jsou místně dány A → A/Já, kde Já je ideál odpovídající uzavřenému podsystému.
- Konečné morfismy jsou proto uzavřené (kvůli jejich stabilitě při změně základny) správně.[3] To vyplývá z stoupat věta Cohen-Seidenberg v komutativní algebře.
- Konečné morfismy mají konečná vlákna (to znamená, že jsou kvazi-konečný ).[4] To vyplývá ze skutečnosti, že pro pole k, každý konečný k-algebra je Artinian prsten. Související výrok je, že pro konečný surjektivní morfismus F: X → Y, X a Y mít stejné dimenze.
- Podle Deligne, morfismus schémat je konečný právě tehdy, je-li správný a kvazi-konečný.[5] To ukázal Grothendieck pokud morfismus F: X → Y je místně konečné prezentace, což vyplývá z dalších předpokladů, pokud Y je Noetherian.[6]
- Konečné morfismy jsou projektivní i afinní.[7]
Morfismy konečného typu
![]() | Bylo navrženo, aby tato část byla rozdělit do jiného článku. (Diskutujte) (Duben 2018) |
Pro homomorfismus A → B komutativních prstenů, B se nazývá A-algebra z konečný typ -li B je definitivně generováno jako A-algebra. Je to mnohem silnější pro B být a konečný A-algebra, což znamená, že B je definitivně vygenerován jako A-modul. Například pro jakýkoli komutativní kruh A a přirozené číslo n, polynomický kruh A[X1, ..., Xn] je A-algebra konečného typu, ale není to konečná A-modul, pokud A = 0 nebo n = 0. Další příklad morfismu konečného typu, který není konečný, je .
Analogický pojem z hlediska schémat je: morfismus F: X → Y schémat je z konečný typ -li Y má krytí afinními otevřenými podsystémy PROTIi = Spec Ai takhle F−1(PROTIi) má konečné pokrytí afinními otevřenými podsystémy Uij = Spec Bij s Bij an Ai-algebra konečného typu. Jeden to také říká X je z konečný typ přes Y.
Například pro jakékoli přirozené číslo n a pole k, afinní n-prostorové a projektivní n-prostor přes k jsou konečného typu k (to znamená přes Spec k), i když nejsou konečné k ledaže n = 0. Obecněji libovolné kvazi-projektivní schéma přes k je konečného typu k.
The Noetherovo normalizační lemma říká, geometricky, že každé afinní schéma X konečného typu nad polem k má konečný surjektivní morfismus na afinní prostor An přes k, kde n je rozměr X. Stejně tak každý projektivní schéma X nad polem má konečný surjektivní morfismus projektivní prostor Pn, kde n je rozměr X.
Viz také
Poznámky
- ^ Hartshorne (1977), oddíl II.3.
- ^ Stacks Project, značka 01WG.
- ^ Stacks Project, značka 01WG.
- ^ Stacks Project, značka 01WG.
- ^ Grothendieck, EGA IV, část 4, Corollaire 18.12.4.
- ^ Grothendieck, EGA IV, část 3, Théorème 8.11.1.
- ^ Stacks Project, značka 01WG.
Reference
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1966). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 28: 5–255. doi:10.1007 / bf02684343. PAN 0217086.
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 32: 5–361. doi:10.1007 / bf02732123. PAN 0238860.
- Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, PAN 0463157
externí odkazy
- Autoři projektu The Stacks, The Stacks Project