Schéma nabídky - Quot scheme

v algebraická geometrie, Schéma nabídky je schéma parametrizující lokálně volné svazky na a projektivní schéma. Přesněji řečeno, pokud X je projektivní schéma přes noetherovské schéma S a pokud F je koherentní svazek na X, pak existuje schéma ${ displaystyle operatorname {Quot} _ {F} (X)}$ jehož soubor T- body ${ displaystyle operatorname {Quot} _ {F} (X) (T) = operatorname {Mor} _ {S} (T, operatorname {Quot} _ {F} (X))}$ je množina tříd izomorfismu kvocienty z ${ displaystyle F times _ {S} T}$ které jsou ploché T. Pojem představil Alexander Grothendieck.^[1]

Obvykle se používá ke konstrukci jiného schématu parametrizujícího geometrické objekty, které jsou zajímavé, například a Hilbertovo schéma. (Ve skutečnosti, přičemž F být svazkem struktury ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ dává Hilbertovo schéma.)

Definice

Pro schéma konečného typu ${ displaystyle X až S}$ přes Noetherian základní schéma ${ displaystyle S}$a koherentní svazek ${ displaystyle { mathcal {E}} v { text {Coh}} (X)}$, existuje funktor^[2]

${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} :( Sch / S) ^ {op} to { text {Sady}}}$

odesílání ${ displaystyle T až S}$ na

${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} (T) = left {({ mathcal {F}}, q): { begin {matrix} { mathcal {F}} v { text {Coh}} (X_ {T}) { text {Supp}} ({ mathcal {F}}) { text {je správné přes}} T { mathcal {F}} { text {je plochý}} T q: { mathcal {E}} _ {T} na { mathcal {F}} { text {surjective}} end {matrix}} right } / sim}$

kde ${ displaystyle X_ {T} = X krát _ {S} T}$ a ${ displaystyle { mathcal {E}} _ {T} = pr_ {X} ^ {*} { mathcal {E}}}$ pod projekcí ${ displaystyle pr_ {X}: X_ {T} až X}$. Existuje vztah ekvivalence daný ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, q) sim ({ mathcal {F}} ', q')}$ pokud existuje izomorfismus ${ displaystyle { mathcal {F}} na { mathcal {F}} ''}$ dojíždění s těmito dvěma projekcemi ${ displaystyle q, q '}$; to je

${ displaystyle { begin {matrix} { mathcal {E}} _ {T} & { xrightarrow {q}} & { mathcal {F}} downarrow {} && downarrow { mathcal {E}} _ {T} & { xrightarrow {q '}} & { mathcal {F}}' end {matrix}}}$

je komutativní diagram pro ${ displaystyle { mathcal {E}} _ {T} { xrightarrow {id}} { mathcal {E}} _ {T}}$ . Alternativně existuje rovnocenná podmínka držení ${ displaystyle { text {ker}} (q) = { text {ker}} (q ')}$. Tomu se říká cit funktor který má přirozenou stratifikaci do disjunktního spojení subfunktorů, z nichž každý je reprezentován projektivem ${ displaystyle S}$-scheme volal režim quot spojené s Hilbertovým polynomem ${ displaystyle Phi}$.

Hilbertův polynom

Za relativně velmi bohatý svazek řádků ${ displaystyle { mathcal {L}} v { text {Pic}} (X)}$^[3] a jakýkoli uzavřený bod ${ displaystyle s v S}$ existuje funkce ${ displaystyle phi: mathbb {N} až mathbb {N}}$ odesílání

${ displaystyle m mapsto chi ({ mathcal {F}} _ {s} (m)) = součet _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} { text {dim }} _ { kappa (s)} H ^ {i} (X, { mathcal {F}} _ {s} otimes { mathcal {L}} _ {s} ^ { otimes m})}$

což je polynom pro ${ displaystyle m >> 0}$. Tomu se říká Hilbertův polynom což dává přirozenou stratifikaci funktoru quot. Opět pro ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ opraveno je disjunktní spojení subfunktorů

${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} = coprod _ { Phi in mathbb {Q} [ lambda]} { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} ^ { Phi, { mathcal {L}}}}$

kde

${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} ^ { Phi, { mathcal {L}}} (T) = left {({ mathcal { F}}, q) in { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} (T): Phi _ { mathcal {F}} = Phi vpravo } }$

Hilbertův polynom ${ displaystyle Phi _ { mathcal {F}}}$ je Hilbertův polynom z ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t}}$ pro uzavřené body ${ displaystyle t v T}$. Všimněte si, že Hilbertův polynom je nezávislý na výběru velmi velkého svazku řádků ${ displaystyle { mathcal {L}}}$.

Grothendieckova věta o existenci

Jedná se o Grothendieckovu větu, že funktory ${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} ^ { Phi, { mathcal {L}}}}$ jsou všechny reprezentovatelné projektivními schématy ${ displaystyle { text {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} ^ { Phi}}$ přes ${ displaystyle S}$.

Příklady

Grassmannian

Grassmannian ${ displaystyle G (n, k)}$ z ${ displaystyle k}$- letadla v ${ displaystyle n}$-dimenzionální vektorový prostor má univerzální kvocient

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {G (n, k)} ^ { oplus k} do { mathcal {U}}}$

kde ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {x}}$ je ${ displaystyle k}$- letadlo představované ${ displaystyle x v G (n, k)}$. Od té doby ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ je místně zdarma a v každém okamžiku představuje a ${ displaystyle k}$-rovina, má konstantní Hilbertův polynom ${ displaystyle Phi ( lambda) = k}$. Toto ukazuje ${ displaystyle G (n, k)}$ představuje funktor quot

${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {O}} _ {G (n, k)} ^ { oplus (n)} / { text {Spec}} ( mathbb {Z} ) / { text {Spec}} ( mathbb {Z})} ^ {k, { mathcal {O}} _ {G (n, k)}}}$

Hilbertovo schéma

Hilbertovo schéma je zvláštním příkladem schématu kvót. Všimněte si dílčího schématu ${ displaystyle Z podmnožina X}$ lze uvést jako projekci

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} až { mathcal {O}} _ {Z}}$

a plochá rodina takových projekcí parametrizovaných schématem ${ displaystyle T v Sch / S}$ může být dáno

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X_ {T}} do { mathcal {F}}}$

Vzhledem k tomu, že existuje hilbertův polynom spojený s ${ displaystyle Z}$, označeno ${ displaystyle Phi _ {Z}}$, existuje izomorfismus schémat

${ displaystyle { text {Quot}} _ {{ mathcal {O}} _ {X} / X / S} ^ { Phi _ {Z}} cong { text {Hilb}} _ {X / S} ^ { Phi _ {Z}}}$

Příklad parametrizace

Li ${ displaystyle X = mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$ a ${ displaystyle S = { text {Spec}} (k)}$ pro algebraicky uzavřené pole pak nenulovou část ${ displaystyle s in Gamma ({ mathcal {O}} (d))}$ má mizející místo ${ displaystyle Z = Z (s)}$ s Hilbertovým polynomem

${ displaystyle Phi _ {Z} ( lambda) = { binom {n + lambda} {n}} - { binom {n-d + lambda} {n}}}$

Pak je tu překvapení

${ displaystyle { mathcal {O}} až { mathcal {O}} _ {Z}}$

s jádrem ${ displaystyle { mathcal {O}} (- d)}$. Od té doby ${ displaystyle s}$ byl libovolný nenulový úsek a mizející místo ${ displaystyle a cdot s}$ pro ${ displaystyle a v k ^ {*}}$ dává stejný mizející lokus, schéma ${ displaystyle Q = mathbb {P} ( Gamma ({ mathcal {O}} (d)))}$ poskytuje přirozenou parametrizaci všech těchto sekcí. Je tam snop ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ na ${ displaystyle X krát Q}$ takový, že pro každého ${ displaystyle [s] v Q}$, existuje související podsystém ${ displaystyle Z podmnožina X}$ a surjection ${ displaystyle { mathcal {O}} až { mathcal {O}} _ {Z}}$. Tato konstrukce představuje funktor quot

${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {O}} / mathbb {P} ^ {n} / { text {Spec}} (k)} ^ { Phi _ {Z}} }$

Kvadrics v projektivní rovině

Li ${ displaystyle X = mathbb {P} ^ {2}}$ a ${ displaystyle s in Gamma ({ mathcal {O}} (2))}$, Hilbertův polynom je

${ displaystyle { begin {zarovnaný} Phi _ {Z} ( lambda) & = { binom {2+ lambda} {2}} - { binom {2-2 + lambda} {2}} & = { frac {( lambda +2) ( lambda +1)} {2}} - { frac { lambda ( lambda -1)} {2}} & = { frac { lambda ^ {2} +3 lambda +2} {2}} - { frac { lambda ^ {2} - lambda} {2}} & = { frac {2 lambda +2 } {2}} & = lambda +1 end {zarovnáno}}}$

a

${ displaystyle { text {Quot}} _ {{ mathcal {O}} / mathbb {P} ^ {2} / { text {Spec}} (k)} ^ { lambda +1} cong mathbb {P} ( Gamma ({ mathcal {O}} (2))) cong mathbb {P} ^ {5}}$

Univerzální kvocient skončil ${ displaystyle mathbb {P} ^ {5} times mathbb {P} ^ {2}}$ je dána

${ displaystyle { mathcal {O}} do { mathcal {U}}}$

kde vlákno přes bod ${ displaystyle [Z] in { text {Quot}} _ {{ mathcal {O}} / mathbb {P} ^ {2} / { text {Spec}} (k)} ^ { lambda +1}}$ dává projektivní morfismus

${ displaystyle { mathcal {O}} až { mathcal {O}} _ {Z}}$

Například pokud ${ displaystyle [Z] = [a_ {0}: a_ {1}: a_ {2}: a_ {3}: a_ {4}: a_ {5}]}$ představuje koeficienty

${ displaystyle f = a_ {0} x ^ {2} + a_ {1} xy + a_ {2} xz + a_ {3} y ^ {2} + a_ {4} yz + a_ {5} z ^ { 2}}$

pak univerzální kvocient končí ${ displaystyle [Z]}$ dává krátkou přesnou sekvenci

${ displaystyle 0 až { mathcal {O}} (- 2) { xrightarrow {f}} { mathcal {O}} až { mathcal {O}} _ {Z} až 0}$

Semistabilní vektorové svazky na křivce

Semistable vector bundles na křivce ${ displaystyle C}$ rodu ${ displaystyle g}$ lze ekvivalentně popsat jako lokálně volné snopy konečné pozice. Takové lokálně volné snopy ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ hodnosti ${ displaystyle n}$ a stupeň ${ displaystyle d}$ mít vlastnosti^[4]

1. ${ displaystyle H ^ {1} (C, { mathcal {F}}) = 0}$
2. ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je generován globálními sekcemi

pro ${ displaystyle d> n (2g-1)}$. To znamená, že existuje překvapení

${ displaystyle H ^ {0} (C, { mathcal {F}}) otimes { mathcal {O}} _ {C} cong { mathcal {O}} _ {C} ^ { oplus N } to { mathcal {F}}}$

Potom schéma kvót ${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {O}} _ {C} ^ { oplus N} / { mathcal {C}} / mathbb {Z}}}$ parametrizuje všechna taková surjekce. Za použití Grothendieck – Riemann – Rochova věta rozměr ${ displaystyle N}$ je rovný

${ displaystyle chi ({ mathcal {F}}) = d + n (1-g)}$

Pro svazek pevné linky ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ stupně ${ displaystyle 1}$ dochází k kroucení ${ displaystyle { mathcal {F}} (m) = { mathcal {F}} otimes { mathcal {L}} ^ { otimes m}}$, posunutí stupně o ${ displaystyle nm}$, tak

${ displaystyle chi ({ mathcal {F}} (m)) = mn + d + n (1-g)}$^[4]

dává Hilbertův polynom

${ displaystyle Phi _ { mathcal {F}} ( lambda) = n lambda + d + n (1-g)}$

Poté je obsažen lokus polostabilních vektorových svazků

${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {O}} _ {C} ^ { oplus N} / { mathcal {C}} / mathbb {Z}} ^ { Phi _ { mathcal {F}}, { mathcal {L}}}}$

který lze použít ke konstrukci prostoru modulů ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {C} (n, d)}$ semistable vector bundles using a GIT kvocient.^[4]

Viz také

• Hilbertův polynom
• Plochý morfismus
• Hilbertovo schéma
• Prostor modulů
• GIT kvocient

Reference

• Konstrukce Hilberta a schémat nabídek
• Poznámky ke stabilním mapám a kvantové kohomologii
• Nitsure, N. Konstrukce schémat Hilberta a Quota. Základní algebraická geometrie: vysvětlil Grothendieck FGA, Mathematical Surveys and Monographs 123, American Mathematical Society 2005, 105–137.
• https://amathew.wordpress.com/2012/06/02/the-stack-of-coherent-sheaves/