Dualizace svazku - Dualizing sheaf

V algebraické geometrii je vizualizace svazku na správném schématu X dimenze n přes pole k je koherentní svazek ${ displaystyle omega _ {X}}$ spolu s lineární funkcí

{ displaystyle t_ {X}: operatorname {H} ^ {n} (X, omega _ {X}) do k}

který indukuje přirozený izomorfismus vektorových prostorů

{ displaystyle operatorname {Hom} _ {X} (F, omega _ {X}) simeq operatorname {H} ^ {n} (X, F) ^ {*}, , varphi mapsto t_ {X} circ varphi}

pro každý souvislý svazek F na X (horní index * označuje a duální vektorový prostor ).^[1] Lineární funkční ${ displaystyle t_ {X}}$ se nazývá a stopový morfismus.

Pár ${ displaystyle ( omega _ {X}, t_ {X})}$ , pokud existuje, je jedinečný až do přirozeného izomorfismu. Ve skutečnosti v jazyce teorie kategorií, ${ displaystyle omega _ {X}}$ je objekt představující kontravariantní funktor ${ displaystyle F mapsto operatorname {H} ^ {n} (X, F) ^ {*}}$ z kategorie koherentních snopů na X do kategorie k-vektorové mezery.

Pro normální projektivní odrůdu X, dualizační svazek existuje a ve skutečnosti je kanonický svazek: ${ displaystyle omega _ {X} = { mathcal {O}} _ {X} (K_ {X})}$ kde ${ displaystyle K_ {X}}$ je kanonický dělitel. Obecněji řečeno, dualizační svazek existuje pro jakékoli projektivní schéma.

K dispozici je následující varianta Serreova věta o dualitě: pro projektivní schéma X čisté dimenze n a a Cohen – Macaulay snop F na X takhle ${ displaystyle operatorname {Supp} (F)}$ je čisté dimenze n, existuje přirozený izomorfismus^[2]

{ displaystyle operatorname {H} ^ {i} (X, F) simeq operatorname {H} ^ {ni} (X, operatorname {{ mathcal {H}} om} (F, omega _ { X})) ^ {*}}

.

Zejména pokud X sám o sobě je Schéma Cohen – Macaulay, pak výše uvedená dualita platí pro jakýkoli lokálně volný svazek.

Relativní dualizační svazek

Vzhledem k řádně definovaně prezentovanému morfismu schémat ${ displaystyle f: X až Y}$ , (Kleiman 1980 ) definuje relativní dualizační svazek ${ displaystyle omega _ {f}}$ nebo ${ displaystyle omega _ {X / Y}}$ tak jako^[3] svazek takový, že pro každou otevřenou podmnožinu ${ displaystyle U podmnožina Y}$ a kvazi-koherentní svazek ${ displaystyle F}$ na ${ displaystyle U}$ , existuje kanonický izomorfismus

{ displaystyle (f | _ {U}) ^ {!} F = omega _ {f} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {Y}} F}

,

který je funkční v ${ displaystyle F}$ a dojíždí s otevřenými omezeními.

Příklad:^[4]Li ${ displaystyle f}$ je místní morfismus úplné křižovatky mezi schématy konečného typu nad polem, pak (podle definice) každý bod ${ displaystyle X}$ má otevřené sousedství ${ displaystyle U}$ a faktorizace ${ displaystyle f | _ {U}: U { overset {i} { to}} Z { overset { pi} { to}} Y}$ , a pravidelné vkládání codimension ${ displaystyle k}$ následuje a hladký morfismus relativního rozměru ${ displaystyle r}$ . Pak

{ displaystyle omega _ {f} | _ {U} simeq wedge ^ {r} i ^ {*} Omega _ { pi} ^ {1} otimes wedge ^ {k} N_ {U / Z}}

kde ${ displaystyle Omega _ { pi} ^ {1}}$ je svazek relativních Kählerových diferenciálů a ${ displaystyle N_ {U / Z}}$ je normální svazek na ${ displaystyle i}$ .

Příklady

Dualizace svazku uzlové křivky

Pro hladkou křivku C, jeho dualizační svazek ${ displaystyle omega _ {C}}$ může být dán kanonický svazek ${ displaystyle Omega _ {C} ^ {1}}$ .

Pro uzlovou křivku C s uzlem p, můžeme uvažovat o normalizaci ${ displaystyle pi: { tilda {C}} do C}$ se dvěma body X, y identifikováno. Nechat ${ displaystyle Omega _ { tilda {C}} (x + y)}$ být svazkem racionálních 1 forem ${ displaystyle { tilde {C}}}$ s možnými jednoduchými póly na X a ya nechte ${ displaystyle Omega _ { tilde {C}} (x + y) _ {0}}$ být podnoží skládající se z racionálních 1 forem se součtem zbytků v X a y rovna nule. Pak přímý obraz ${ displaystyle pi _ {*} Omega _ { tilda {C}} (x + y) _ {0}}$ definuje dualizační svazek pro uzlovou křivku C. Konstrukci lze snadno zobecnit na uzlové křivky s více uzly.

To se používá při stavbě Balíček Hodge na zhutněném prostor modulů křivek: umožňuje nám rozšířit relativní kanonický svazek přes hranici, která parametrizuje uzlové křivky. Svazek Hodge je pak definován jako přímý obraz relativního dualizačního svazku.

Dualizace svazku projektivních schémat

Jak bylo uvedeno výše, dualizační svazek existuje pro všechna projektivní schémata. Pro X uzavřený podsystém Pⁿ codimension r, jeho dualizační svazek lze dát jako ${ displaystyle { mathcal {Ext}} _ { mathbf {P} ^ {n}} ^ {r} ({ mathcal {O}} _ {X}, omega _ { mathbf {P} ^ { n}})}$ . Jinými slovy, jeden používá dualizační svazek na okolí Pⁿ postavit dualizační svazek X.^[5]

Viz také

Reference

^ Hartshorne, Ch. III, § 7.
^ Kollár – Mori, Věta 5.71.
^ Kleiman 1980, Definice 6
^ Arbarello – Cornalba – Griffiths 2011, Ch. X., blízko konce § 2.
^ Hartshorne, Ch. III, § 7.

E. Arbarello, M. Cornalba a P.A. Griffithové, Geometrie algebraických křivek. Sv. II, s příspěvkem Josepha Daniela Harrise, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, sv. 268, Springer, Heidelberg, 2011. MR-2807457
Kleiman, Steven L. Relativní dualita pro kvazikoherentní snopy. Složení matematiky. 41 (1980), č. 1. 1, 39–60.
Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational geometrie algebraických odrůd„Cambridge Tracts in Mathematics“, 134, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63277-5, PAN 1658959
Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, PAN 0463157

externí odkazy

Tento související s algebraickou geometrií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] Hartshorne, Ch. III, § 7.

[2] Kollár – Mori, Věta 5.71.

[3] Kleiman 1980, Definice 6

[4] Arbarello – Cornalba – Griffiths 2011, Ch. X., blízko konce § 2.

[5] Hartshorne, Ch. III, § 7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]