Hladké schéma - Smooth scheme
v algebraická geometrie, a hladké schéma přes pole je systém což je dobře aproximováno afinní prostor poblíž jakéhokoli bodu. Hladkost je jedním ze způsobů upřesnění pojmu schéma bez č jednotné číslo bodů. Zvláštní případ je představa hladké odrůda přes pole. Hladká schémata hrají roli v algebraické geometrii rozdělovače v topologii.
Definice
Nejprve nechte X být afinním schématem konečný typ přes pole k. Ekvivalentně X má uzavřené ponoření do afinního prostoru An přes k pro nějaké přirozené číslo n. Pak X je uzavřený podsystém definovaný některými rovnicemi G1 = 0, ..., Gr = 0, kde každý Gi je v polynomiálním kruhu k[X1,..., Xn]. Afinní schéma X je hladký dimenze m přes k -li X má dimenze alespoň m v sousedství každého bodu a matice derivací (∂Gi/∂Xj) má alespoň hodnost n−m všude X.[1] (Z toho vyplývá, že X má rozměr rovný m v sousedství každého bodu.) Hladkost je nezávislá na volbě vložení X do afinního prostoru.
Podmínkou na matici derivátů se rozumí, že uzavřená podmnožina X kde vše (n−m) × (n − m) nezletilí matice derivátů je nula, je prázdná množina. Ekvivalentně ideál v polynomiálním kruhu generovaném všemi Gi a všichni ti nezletilí jsou celý polynomiální kruh.
Geometricky řečeno, matice derivátů (∂Gi/∂Xj) v určitém okamžiku p v X dává lineární mapu Fn → Fr, kde F je reziduální pole p. Jádro této mapy se nazývá Zariski tečný prostor z X na p. Hladkost X znamená, že dimenze Zariskiho tečného prostoru se rovná dimenzi X blízko každého bodu; v a singulární bod, Zariskiho tečna by byla větší.
Obecněji schéma X přes pole k je hladký přes k pokud každý bod X má otevřené sousedství, které je hladkým afinním schématem nějaké dimenze k. Zejména plynulé schéma k je místně konečného typu.
Existuje obecnější pojem a hladký morfismus schémat, což je zhruba morfismus s hladkými vlákny. Zejména schéma X je hladký nad polem k právě když morfismus X → Spec k je hladký.
Vlastnosti
Hladké schéma nad polem je pravidelný a tudíž normální. Zejména plynulé schéma nad polem je snížena.
Definovat a odrůda přes pole k být integrální oddělené schéma konečného typu k. Pak je každé hladké oddělené schéma konečného typu ukončeno k je konečné disjunktní spojení hladkých odrůd k.
Pro hladkou odrůdu X přes komplexní čísla, prostor X(C) složitých bodů X je komplexní potrubí pomocí klasické (euklidovské) topologie. Stejně tak pro hladkou odrůdu X nad reálnými čísly, mezerou X(R) skutečných bodů je skutečný potrubí, případně prázdné.
Pro jakékoli schéma X to je lokálně konečného typu nad polem k, tady je koherentní svazek Ω1 z diferenciály na X. Schéma X je hladký k právě když Ω1 je vektorový svazek hodnosti rovnající se rozměru X blízko každého bodu.[2] V takovém případě Ω1 se nazývá kotangenský svazek z X. The tečný svazek plynulého schématu k lze definovat jako duální svazek, TX = (Ω1)*.
Hladkost je a geometrická vlastnost, což znamená, že pro jakékoli rozšíření pole E z k, schéma X je hladký k jen a jen v případě, že schéma XE := X ×Spec k Spec E je hladký E. Pro perfektní pole k, schéma X je hladký k kdyby a jen kdyby X je místně konečného typu k a X je pravidelný.
Obecná hladkost
Schéma X se říká, že je obecně hladký dimenze n přes k -li X obsahuje otevřenou hustou podmnožinu, která má hladký rozměr n přes k. Každá odrůda přes dokonalé pole (zejména algebraicky uzavřené pole) je obecně plynulá.[3]
Příklady
- Afinní prostor a projektivní prostor jsou plynulá schémata nad polem k.
- Příklad hladkého nadpovrch v projektivním prostoru Pn přes k je Fermatova hyperplocha X0d + ... + Xnd = 0, pro jakékoli kladné celé číslo d to je invertibilní v k.
- Příklad singulárního (nehladkého) schématu nad polem k je uzavřený podsystém X2 = 0 v afinní linii A1 přes k.
- Příklad singulární (nehladké) odrůdy k je vrcholová kubická křivka X2 = y3 v afinní rovině A2, který je mimo původ hladký (X,y) = (0,0).
- 0rozměrná odrůda X přes pole k je ve formě X = Spec E, kde E je konečné pole rozšíření k. Odrůda X je hladký k kdyby a jen kdyby E je oddělitelný rozšíření k. Pokud tedy E nelze oddělit k, pak X je běžné schéma, ale není hladké k. Například nechte k být oblastí racionálních funkcí Fp(t) pro prvočíslo pa nechte E = Fp(t1/p); pak Spec E je řada dimenze 0 k což je běžné schéma, ale není hladké k.
- Odrůdy Schubert obecně nejsou hladké.
Poznámky
- ^ Definice hladkosti použitá v tomto článku je ekvivalentní s Grothendieckovou definicí hladkosti podle Theorems 30.2 a Theorem 30.3 in: Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).
- ^ Theorem 30.3, Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).
- ^ Lemma 1 v oddíle 28 a Dodatek k teorému 30.5, Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).
Reference
- D. Gaitsgory poznámky o rovinnosti a hladkosti v http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
- Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, PAN 0463157
- Matsumura, Hideyuki (1989), Komutativní teorie prstenů, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2. vydání), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, PAN 1011461