Dimenze Iitaka - Iitaka dimension

v algebraická geometrie, Dimenze Iitaka a svazek řádků L na algebraická rozmanitost X je rozměr obrazu racionální mapa na projektivní prostor určeno L. To je o 1 méně než rozměr sekce prsten z L

${displaystyle R (X, L) = igoplus _ {d = 0} ^ {infty} H ^ {0} (X, L ^ {otimes d}).}$

Iitaka dimenze L je vždy menší nebo rovno dimenzi X. Li L není efektivní, pak je jeho dimenze Iitaka obvykle definována jako ${displaystyle -infty}$ nebo jednoduše řečeno jako negativní (některé časné reference to definují jako -1). Iitaka dimenze L se někdy nazývá dimenze L, zatímco dimenze dělitele D se nazývá dimenze D. Dimenzi Iitaka představil Shigeru Iitaka  (1970, 1971 ).

Velké řady svazků

A svazek řádků je velký pokud je maximální dimenze Iitaka, tj. pokud se její dimenze Iitaka rovná dimenzi podkladové odrůdy. Bigness je a birational invariant: Pokud f: Y → X je birational morphism odrůd, a pokud L je velký balíček linek na X, pak F^*L je velký balíček linek na Y.

Všechno dostatek svazků řádků jsou velké.

Big line svazky nemusí určovat birational izomorfismy X s jeho obrazem. Například pokud C je hyperelliptická křivka (jako je křivka rodu dva), pak jeho kanonický svazek je velká, ale racionální mapa, kterou určuje, není birationalním izomorfismem. Místo toho je to kryt dvou ku jedné kanonická křivka z C, což je racionální normální křivka.

Dimenze Kodaira

Dimenze Iitaka kanonického svazku a hladká odrůda se nazývá jeho Dimenze Kodaira.

Iitaka domněnka

M-pluricanonická mapa složitých variet M na Ž indukuje vláknovou vesmírnou strukturu.

Zvažte následující složité algebraické odrůdy.

Nechť K je kanonický svazek na M. Dimenze H⁰(M, K.^m), holomorfní řezy K.^m, označuje P_m(M), volal rod m. Nechat

${displaystyle N (M) = {mgeq 1 | P_ {m} (M) geq 1},}$

pak N (M) bude celé kladné celé číslo s nenulovým rodem m. Když N (M) není prázdný, pro ${displaystyle min N (M)}$ m-pluricanonical mapa ${displaystyle Phi _ {mK}}$ je definována jako mapa

${displaystyle {egin {aligned} Phi _ {mK}: & Mlongrightarrow mathbb {P} ^ {N} & z mapsto (varphi _ {0} (z): varphi _ {1} (z): cdots: varphi _ {N } (z)) konec {zarovnáno}}}$

kde ${displaystyle varphi _ {i}}$ jsou základny H⁰(M, K.^m). Pak obrázek ${displaystyle Phi _ {mK}}$, ${displaystyle Phi _ {mK} (M)}$ je definován jako podmanifold z ${displaystyle mathbb {P} ^ {N}}$.

Najisto ${displaystyle m}$ nechat ${displaystyle Phi _ {mk}: Mightarrow W = Phi _ {mK} (M) podmnožina mathbb {P} ^ {N}}$ být m-pluricanonická mapa, kde W je komplexní potrubí vložené do projektivního prostoru P^N.

V případě ploch s κ (M) = 1 je výše uvedené W nahrazeno křivkou C, což je eliptická křivka (κ (C) = 0). Chceme tuto skutečnost rozšířit na obecnou dimenzi a získat strukturu analytických vláken zobrazenou na obrázku vpravo nahoře.

M-pluricanonical mapa je birational invariantní. P_m(M) = P_m(Ž)

Vzhledem k birational mapě ${displaystyle varphi: Mlongrightarrow W}$, m-pluricanonical mapa přináší komutativní diagram zobrazený na levém obrázku, což znamená, že ${displaystyle Phi _ {mK} (M) = Phi _ {mK} (W)}$, tj. rod m-pluricanonical je birationally neměnný.

Existence biracní mapy ψ: W_m1 → Ž_m2 v projektivním prostoru

Ukazuje to Iitaka, že vzhledem k n-dimenzionálnímu kompaktnímu komplexu potrubí M s dimenzí Kodaira κ (M) splňující 1 ≤ κ (M) ≤ n-1, je zde dost velkých m₁,m₂ takhle ${displaystyle Phi _ {m_ {1} K}: Mlongrightarrow W_ {m_ {1}} (M)}$ a ${displaystyle Phi _ {m_ {2} K}: Mlongrightarrow W_ {m_ {2}} (M)}$ jsou birationally ekvivalentní, což znamená, že existují birational mapa ${displaystyle varphi: W_ {m_ {1}} longrightarrow W_ {m_ {2}} (M)}$. Schéma zobrazené na pravém obrázku je komutativní.

Dále lze vybrat ${displaystyle M ^ {*}}$ to je birational s ${displaystyle M}$ a ${displaystyle W ^ {*}}$ to je obojí s oběma ${displaystyle W_ {m_ {1}}}$ a ${displaystyle W_ {m_ {1}}}$ takhle

${displaystyle Phi: M ^ {*} longrightarrow W ^ {*}}$

je birational mapa, vlákna ${displaystyle Phi}$ jsou jednoduše spojeny a obecná vlákna z ${displaystyle Phi}$

${displaystyle M_ {w} ^ {*}: = Phi ^ {- 1} (w), výhra W ^ {*}}$

mít kótu Kodaira 0.

Výše uvedená struktura vláken se nazývá Vláknový prostor Iitaka. V případě povrchu S (n = 2 = dim (S)), W^* je algebraická křivka, struktura vláken je dimenze 1 a obecná vlákna pak mají dimenzi Kodaira 0, tj. eliptickou křivku. Proto je S eliptický povrch. Tyto skutečnosti lze zobecnit na obecné n. Studium vícerozměrné birakční geometrie se proto rozkládá na část κ = -∞, 0, n a vláknový prostor, jehož vlákna mají κ = 0.

Následující další vzorec Iitaky, nazvaný Iitaka domněnka, je důležité pro klasifikaci algebraických odrůd nebo kompaktních komplexních variet.

Tato domněnka byla vyřešena jen částečně, například v případě Moishezon potrubí. Teorii klasifikace lze říci jako snahu vyřešit Iitakovu domněnku a vést další věty, že trojrozměrná odrůda V je abelian právě když κ (V) = 0 a q (V) = 3 a jeho zobecnění atd. The minimální modelový program by mohlo být vedeno z tohoto dohadu.

Reference

• Iitaka, Shigeru (1970), „O dimenzích D algebraických odrůd“, Proc. Japan Acad., 46: 487–489, doi:10,3792 / pja / 1195520260, PAN  0285532
• Iitaka, Shigeru (1971), „O D-dimenzích algebraických odrůd.“, J. Math. Soc. Japonsko, 23: 356–373, doi:10.2969 / jmsj / 02320356, PAN  0285531
• Ueno, Kenji (1975), Teorie klasifikace algebraických variet a kompaktních komplexních prostorůPřednášky z matematiky, 439, Springer-Verlag, PAN  0506253