Věta o formálních funkcích - Theorem on formal functions

v algebraická geometrie, věta o formálních funkcích uvádí následující:^[1]

Nechat

{ displaystyle f: X až S}

být správný morfismus z noetherian schémata s koherentním svazkem

{ displaystyle { mathcal {F}}}

na X. Nechat

{ displaystyle S_ {0}}

být uzavřeným podsystémem S definován

{ displaystyle { mathcal {I}}}

a

{ displaystyle { widehat {X}}, { widehat {S}}}

formální dokončení s ohledem na

{ displaystyle X_ {0} = f ^ {- 1} (S_ {0})}

a

{ displaystyle S_ {0}}

. Pak pro každého

{ displaystyle p geq 0}

kanonická (souvislá) mapa:

{ displaystyle (R ^ {p} f _ {*} { mathcal {F}}) ^ { wedge} to varprojlim _ {k} R ^ {p} f _ {*} { mathcal {F}} _ {k}}

je izomorfismus (topologické)

{ displaystyle { mathcal {O}} _ { widehat {S}}}

-moduly, kde

Levý termín je ${ displaystyle varprojlim R ^ {p} f _ {*} { mathcal {F}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {S}} { mathcal {O}} _ {S} / { { mathcal {I}} ^ {k + 1}}}$ .
${ displaystyle { mathcal {F}} _ {k} = { mathcal {F}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {S}} ({ mathcal {O}} _ {S} / { mathcal {I}} ^ {k + 1})}$
Kanonická mapa je ta, která se získá přechodem k omezení.

Věta se používá k odvození některých dalších důležitých vět: Steinová faktorizace a verze Zariskiho hlavní věta to říká, že a správně birational morphism do normální odrůda je izomorfismus. Některé další důsledky (s výše uvedenými poznámkami) jsou:

Důsledek:^[2] Pro všechny ${ displaystyle s v S}$ topologicky,

{ displaystyle ((R ^ {p} f _ {*} { mathcal {F}}) _ {s}) ^ { wedge} simeq varprojlim H ^ {p} (f ^ {- 1} (s ), { mathcal {F}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {S}} ({ mathcal {O}} _ {s} / { mathfrak {m}} _ {s} ^ {k}))}

kde dokončení vlevo je s ohledem na ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {s}}$ .

Důsledek:^[3] Nechat r být takový, že ${ displaystyle operatorname {dim} f ^ {- 1} (s) leq r}$ pro všechny ${ displaystyle s v S}$ . Pak

{ displaystyle R ^ {i} f _ {*} { mathcal {F}} = 0, quad i> r.}

Corollay:^[4] Pro každého ${ displaystyle s v S}$ , existuje otevřené sousedství U z s takhle

{ displaystyle R ^ {i} f _ {*} { mathcal {F}} | _ {U} = 0, quad i> operatorname {dim} f ^ {- 1} (s).}

Důsledek:^[5] Li ${ displaystyle f _ {*} { mathcal {O}} _ {X} = { mathcal {O}} _ {S}}$ , pak ${ displaystyle f ^ {- 1} s}}$ je připojen pro všechny ${ displaystyle s v S}$ .

Věta také vede k Věta o Grothendieckově existenci, který dává rovnocennost mezi kategorií koherentních snopů na schématu a kategorií koherentních snopů při jeho formálním dokončení (zejména poskytuje algebralizovatelnost).

Nakonec je možné hypotézu ve větě oslabit; srov. Illusie. Podle Illusieho (str. 204) je důkaz uveden v EGA III kvůli Serre. Původní důkaz (kvůli Grothendieckovi) nebyl nikdy zveřejněn.

Konstrukce kanonické mapy

Nechť je nastavení jako v lede. V důkazu se používá následující alternativní definice kanonické mapy.

Nechat ${ displaystyle i ': { widehat {X}} na X, i: { widehat {S}} na S}$ být kanonickými mapami. Pak máme základní změna mapy z ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { widehat {S}}}$ - moduly

{ displaystyle i ^ {*} R ^ {q} f _ {*} { mathcal {F}} do R ^ {p} { widehat {f}} _ {*} (i '^ {*} { mathcal {F}})}

.

kde ${ displaystyle { widehat {f}}: { widehat {X}} to { widehat {S}}}$ je vyvolána ${ displaystyle f: X až S}$ . Od té doby ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je koherentní, můžeme identifikovat ${ displaystyle i '^ {*} { mathcal {F}}}$ s ${ displaystyle { widehat { mathcal {F}}}}$ . Od té doby ${ displaystyle R ^ {q} f _ {*} { mathcal {F}}}$ je také koherentní (jako F je správné), při stejné identifikaci, výše zní:

{ displaystyle (R ^ {q} f _ {*} { mathcal {F}}) ^ { wedge} do R ^ {p} { widehat {f}} _ {*} { widehat { mathcal {F}}}}

.

Použitím ${ displaystyle f: X_ {n} až S_ {n}}$ kde ${ displaystyle X_ {n} = (X_ {0}, { mathcal {O}} _ {X} / { mathcal {J}} ^ {n + 1})}$ a ${ displaystyle S_ {n} = (S_ {0}, { mathcal {O}} _ {S} / { mathcal {I}} ^ {n + 1})}$ , jeden také získá (po přechodu na limit):