Integrace podél vláken - Integration along fibers - Wikipedia

v diferenciální geometrie, integrace podél vláken a k-formulář výnosy a ${ displaystyle (k-m)}$ -forma kde m je rozměr vlákna prostřednictvím „integrace“.

Definice

Nechat ${ displaystyle pi: E do B}$ být svazek vláken přes potrubí s kompaktně orientovanými vlákny. Li ${ displaystyle alpha}$ je k-formovat dál E, pak pro tangenciální vektory w_ije v b, nechť

{ displaystyle ( pi _ {*} alpha) _ {b} (w_ {1}, tečky, w_ {k-m}) = int _ { pi ^ {- 1} (b)} beta}

kde ${ displaystyle beta}$ je indukovaná vrchní forma na vlákně ${ displaystyle pi ^ {- 1} (b)}$ ; tj ${ displaystyle m}$ -forma daná: s ${ displaystyle { widetilde {w_ {i}}}}$ výtahy ${ displaystyle w_ {i}}$ na E,

{ displaystyle beta (v_ {1}, dots, v_ {m}) = alpha (v_ {1}, dots, v_ {m}, { widetilde {w_ {1}}}, dots, { widetilde {w_ {km}}}).}

(Vidět ${ displaystyle b mapsto ( pi _ {*} alpha) _ {b}}$ je plynulý, vypracujte to v souřadnicích; srov. příklad níže.)

Pak ${ displaystyle pi _ {*}}$ je lineární mapa ${ displaystyle Omega ^ {k} (E) až Omega ^ {k-m} (B)}$ . Podle Stokesova vzorce, pokud vlákna nemají žádné hranice (tj. ${ displaystyle [d, int] = 0}$ ), mapa klesá k de Rhamova kohomologie:

{ displaystyle pi _ {*}: operatorname {H} ^ {k} (E; mathbb {R}) to operatorname {H} ^ {k-m} (B; mathbb {R}).}

Toto se také nazývá optická integrace.

Nyní předpokládejme ${ displaystyle pi}$ je koule svazek; tj. typické vlákno je koule. Pak je tu přesná sekvence ${ displaystyle 0 až K až Omega ^ {*} (E) { přesahující { pi _ {*}} { to}} Omega ^ {*} (B) až 0}$ , K. jádro, které vede k dlouhé přesné posloupnosti, čímž klesá koeficient ${ displaystyle mathbb {R}}$ a pomocí ${ displaystyle operatorname {H} ^ {k} (B) simeq operatorname {H} ^ {k + m} (K)}$ :

{ displaystyle cdots rightarrow operatorname {H} ^ {k} (B) { overset { delta} { to}} operatorname {H} ^ {k + m + 1} (B) { overset { pi ^ {*}} { rightarrow}} operatorname {H} ^ {k + m + 1} (E) { overset { pi _ {*}} { rightarrow}} operatorname {H} ^ {k + 1} (B) rightarrow cdots}

,

volal Gysinová sekvence.

Příklad

Nechat ${ displaystyle pi: M krát [0,1] až M}$ být zjevnou projekcí. Nejprve předpokládej ${ displaystyle M = mathbb {R} ^ {n}}$ se souřadnicemi ${ displaystyle x_ {j}}$ a zvažte k-formulář:

{ displaystyle alpha = f , dx_ {i_ {1}} klín tečky klín dx_ {i_ {k}} + g , dt klín dx_ {j_ {1}} klín tečky klín dx_ {j_ {k-1}}.}

Pak v každém bodě M,

{ displaystyle pi _ {*} ( alpha) = pi _ {*} (g , dt klín dx_ {j_ {1}} klín tečky klín dx_ {j_ {k-1}}) = left ( int _ {0} ^ {1} g ( cdot, t) , dt right) , {dx_ {j_ {1}} wedge dots wedge dx_ {j_ {k-1 }}}.}

^[1]

Z tohoto lokálního výpočtu snadno následuje další vzorec: if ${ displaystyle alpha}$ je jakýkoli k-formovat dál ${ displaystyle M krát já,}$

{ displaystyle pi _ {*} (d alpha) = alpha _ {1} - alpha _ {0} -d pi _ {*} ( alpha)}

kde ${ displaystyle alpha _ {i}}$ je omezení ${ displaystyle alpha}$ na ${ displaystyle M krát {i }}$ .

Jako aplikaci tohoto vzorce pojďme ${ displaystyle f: M krát [0,1] N$ být plynulá mapa (považována za homotopii). Pak složení ${ displaystyle h = pi _ {*} circ f ^ {*}}$ je operátor homotopy:

{ displaystyle d circ h + h circ d = f_ {1} ^ {*} - f_ {0} ^ {*}: Omega ^ {k} (N) až Omega ^ {k} (M ),}

z čehož vyplývá ${ displaystyle f_ {1}, f_ {0}}$ indukuje stejnou mapu na kohomologii, fakt známý jako homotopická invariance de Rhamovy kohomologie. Jako důsledek například nechte U být otevřený míč dovnitř Rⁿ se středem v počátku a nechat ${ displaystyle f_ {t}: U až U, x mapsto tx}$ . Pak ${ displaystyle operatorname {H} ^ {k} (U; mathbb {R}) = operatorname {H} ^ {k} (pt; mathbb {R})}$ , skutečnost známá jako Poincaré lemma.

Projekční vzorec

Vzhledem k tomu, vektorový balíček π : E → B přes potrubí, říkáme diferenciální formu α na E má vertikální kompaktní podporu, pokud je omezení ${ displaystyle alpha | _ { pi ^ {- 1} (b)}}$ má kompaktní podporu pro každého b v B. Píšeme ${ displaystyle Omega _ {vc} ^ {*} (E)}$ pro vektorový prostor diferenciálních forem na E s vertikální kompaktní podporou E je orientované jako vektorový svazek, přesně jako dříve, můžeme definovat integraci podél vlákna:

{ displaystyle pi _ {*}: Omega _ {vc} ^ {*} (E) až Omega ^ {*} (B).}

Toto je známé jako projekční vzorec.^[2] Děláme ${ displaystyle Omega _ {vc} ^ {*} (E)}$ právo ${ displaystyle Omega ^ {*} (B)}$ -modul nastavením ${ displaystyle alpha cdot beta = alpha klín pi ^ {*} beta}$ .

Tvrzení — Nechat ${ displaystyle pi: E do B}$ být orientovaným vektorovým svazkem přes potrubí a ${ displaystyle pi _ {*}}$ integrace podél vlákna. Pak

${ displaystyle pi _ {*}}$ je ${ displaystyle Omega ^ {*} (B)}$ -lineární; tj. pro jakoukoli formu β na B a jakoukoli formu α na E s vertikální kompaktní podporou,
${ displaystyle pi _ {*} ( alpha wedge pi ^ {*} beta) = pi _ {*} alpha wedge beta.}$
Li B je orientován jako potrubí, pak pro jakoukoli formu α na E s vertikální kompaktní podporou a jakoukoli formou β na B s kompaktní podporou,
${ displaystyle int _ {E} alpha klín pi ^ {*} beta = int _ {B} pi _ {*} alpha klín beta}$ .

Důkaz: 1. Protože tvrzení je místní, můžeme předpokládat π je triviální: tj. ${ displaystyle pi: E = B krát mathbb {R} ^ {n} do B}$ je projekce. Nechat ${ displaystyle t_ {j}}$ být souřadnice na vlákně. Li ${ displaystyle alpha = g , dt_ {1} klín cdots klín dt_ {n} klín pi ^ {*} eta}$ poté ${ displaystyle pi ^ {*}}$ je prstenový homomorfismus,

{ displaystyle pi _ {*} ( alpha wedge pi ^ {*} beta) = left ( int _ { mathbb {R} ^ {n}} g ( cdot, t_ {1} , dots, t_ {n}) dt_ {1} dots dt_ {n} right) eta wedge beta = pi _ {*} ( alpha) wedge beta.}

Podobně jsou obě strany nulové, pokud α neobsahuje dt. Důkaz 2. je podobný. ${ displaystyle square}$

Viz také

Mapa přestupků

Poznámky

^ Li ${ displaystyle alpha = g , dt klín dx_ {j_ {1}} klín cdots klín dx_ {j_ {k-1}}}$ , tedy v určitém okamžiku b z M, identifikace ${ displaystyle částečné _ {x_ {j}}}$ s jejich výtahy máme:
${ displaystyle beta ( částečné _ {t}) = alfa ( částečné _ {t}, částečné _ {x_ {j_ {1}}}, tečky, částečné _ {x_ {j_ {k- 1}}}) = g (b, t)}$
a tak
${ displaystyle pi _ {*} ( alpha) _ {b} ( částečné _ {x_ {j_ {1}}}, tečky, částečné _ {x_ {j_ {k-1}}}) = int _ {[0,1]} beta = int _ {0} ^ {1} g (b, t) , dt.}$
Proto, ${ displaystyle pi _ {*} ( alpha) _ {b} = left ( int _ {0} ^ {1} g (b, t) , dt right) dx_ {j_ {1}} klín cdots klín dx_ {j_ {k-1}}.}$ Stejným výpočtem ${ displaystyle pi _ {*} ( alfa) = 0}$ -li dt neobjevuje se v α.
^ Bott-Tu 1982, Návrh 6.15.; Všimněte si, že používají jinou definici než tu, což vede ke změně znaménka.

Reference

Michele Audin „Akce torusu na symplektická potrubí, Birkhauser, 2004
Bott, Raoul; Tu, Loring (1982), Diferenciální formy v algebraické topologii, New York: Springer, ISBN 0-387-90613-4

[1] Li ${ displaystyle alpha = g , dt klín dx_ {j_ {1}} klín cdots klín dx_ {j_ {k-1}}}$ , tedy v určitém okamžiku b z M, identifikace ${ displaystyle částečné _ {x_ {j}}}$ s jejich výtahy máme:
${ displaystyle beta ( částečné _ {t}) = alfa ( částečné _ {t}, částečné _ {x_ {j_ {1}}}, tečky, částečné _ {x_ {j_ {k- 1}}}) = g (b, t)}$
a tak
${ displaystyle pi _ {*} ( alpha) _ {b} ( částečné _ {x_ {j_ {1}}}, tečky, částečné _ {x_ {j_ {k-1}}}) = int _ {[0,1]} beta = int _ {0} ^ {1} g (b, t) , dt.}$
Proto, ${ displaystyle pi _ {*} ( alpha) _ {b} = left ( int _ {0} ^ {1} g (b, t) , dt right) dx_ {j_ {1}} klín cdots klín dx_ {j_ {k-1}}.}$ Stejným výpočtem ${ displaystyle pi _ {*} ( alfa) = 0}$ -li dt neobjevuje se v α.

[2] Bott-Tu 1982, Návrh 6.15.; Všimněte si, že používají jinou definici než tu, což vede ke změně znaménka.

[1]

[2]