Toddova třída - Todd class
v matematika, Toddova třída je určitá konstrukce, která je v současnosti považována za součást teorie algebraická topologie z charakteristické třídy. Toddova třída a vektorový svazek lze definovat pomocí teorie Třídy Chern, a setkáváme se tam, kde existují třídy Chern - zejména v diferenciální topologie, teorie složité potrubí a algebraická geometrie. Stručně řečeno, Toddova třída funguje jako převrácená hodnota Chernovy třídy, nebo k ní odpovídá jako společný svazek dělá a normální svazek.
Toddova třída hraje zásadní roli při zobecňování klasiky Riemann – Rochova věta do vyšších dimenzí, v Věta Hirzebruch – Riemann – Roch a Grothendieck – Hirzebruch – Riemann – Rochova věta.
Dějiny
Je pojmenován pro J. A. Todd, který představil speciální případ konceptu v algebraické geometrii v roce 1937, předtím, než byly definovány třídy Chern. Zapojená geometrická myšlenka se někdy nazývá Todd-Eger třída. Obecná definice ve vyšších dimenzích je způsobena Friedrich Hirzebruch.
Definice
Definovat třídu Todda kde je komplexní vektorový svazek na a topologický prostor , je obvykle možné omezit definici na případ a Whitney součet z svazky řádků, pomocí obecného zařízení teorie charakteristické třídy, použití Chern kořeny (aka, princip rozdělení ). Pro definici pojďme
být formální mocenské řady s vlastností, ze které je koeficient v je 1, kde označuje -th Bernoulliho číslo. Zvažte koeficient v produktu
pro všechny . Toto je symetrické v sa homogenní hmotnosti : lze tedy vyjádřit jako polynom v elementární symetrické funkce z s. Pak definuje Toddovy polynomy: tvoří a multiplikativní sekvence s jako charakteristická výkonová řada.
Li má jako jeho Chern kořeny, pak Toddova třída
který má být vypočítán v cohomologický prsten z (nebo v jeho dokončení, pokud chceme uvažovat o nekonečně dimenzionálních varietách).
Třídu Todd lze ve třídách Chern výslovně uvést jako formální řadu sil, a to následovně:
kde kurzy kohomologie jsou Chernovy třídy , a leží ve skupině kohomologie . Li je konečně-dimenzionální, pak většina termínů zmizí a je polynom ve třídách Chern.
Vlastnosti třídy Todd
Třída Todd je multiplikativní:
Nechat být základní třídou sekce nadroviny. Z multiplikativity a Eulerovy přesné posloupnosti pro tečný svazek
jeden získá[1]
Výpočty Toddovy třídy
Pro jakoukoli algebraickou křivku třída Todd je spravedlivá . Od té doby je projektivní, může být do některých zabudován a můžeme najít pomocí normální sekvence
a vlastnosti chernových tříd. Například pokud máme titul rovinná křivka v , zjistíme, že celková třída chern je
kde je třída hyperplánu v omezeno na .
Hirzebruch-Riemann-Rochův vzorec
Pro všechny souvislý svazek F na hladký projektiv komplexní potrubí M, jeden má
kde je jeho holomorfní Eulerova charakteristika,
a Ch*(F) své Chern charakter.
Viz také
Poznámky
- ^ Teorie křižovatky 18. třída tím, že Ravi Vakil
Reference
- Todd, J. A. (1937), „Aritmetické invarianty algebraických lokusů“, Proceedings of the London Mathematical Society, 43 (1): 190–225, doi:10.1112 / plms / s2-43.3.190, Zbl 0017.18504
- Friedrich Hirzebruch, Topologické metody v algebraické geometriiSpringer (1978)
- M.I. Voitsekhovskii (2001) [1994], „Toddova třída“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS