Racionální povrch - Rational surface - Wikipedia

v algebraická geometrie, pobočka matematika, a racionální povrch je povrch birationally ekvivalent do projektivní rovina, nebo jinými slovy a racionální rozmanitost dimenze dva. Racionální povrchy jsou nejjednodušší z přibližně 10 tříd povrchů v Klasifikace Enriques – Kodaira komplexních povrchů a byly prvními povrchy, které byly zkoumány.

Struktura

Každý nesingulární racionální povrch lze získat opakovaně vyhodit do vzduchu A minimální racionální povrch. Minimální racionální povrchy jsou projektivní rovina a Hirzebruchovy povrchy Σ_r pro r = 0 nebo r ≥ 2.

Invarianty: The plurigenera jsou všechny 0 a základní skupina je triviální.

Hodge diamant:

kde n je 0 pro projektivní rovinu a 1 pro Hirzebruchovy povrchy a větší než 1 pro jiné racionální povrchy.

The Picardova skupina je zvláštní unimodulární mříž Já_1,n, s výjimkou Hirzebruchovy povrchy Σ_2m když je to dokonce unimodulární mříž II_1,1.

Castelnuovo věta

Guido Castelnuovo dokázal, že jakýkoli složitý povrch takový q a P₂ (nepravidelnost a druhý plurigenus) oba zmizeli, je racionální. Toto se používá v klasifikaci Enriques – Kodaira k identifikaci racionálních povrchů. Zariski (1958) dokázal, že Castelnuovo věta má také pole pozitivní charakteristiky.

Castelnuovo věta také naznačuje, že jakýkoli iracionální komplexní povrch je racionální, protože pokud je komplexní povrch iracionální, pak jeho nepravidelnost a plurigenera jsou omezeny nerovnostmi racionálního povrchu, a proto jsou všechny 0, takže povrch je racionální. Většina iracionálních komplexních odrůd dimenze 3 nebo větší není racionální. Charakteristické str > 0 Zariski (1958) našel příklady neracionálních povrchů (Zariski povrchy ), které nejsou racionální.

Najednou nebylo jasné, zda je to složitý povrch q a P₁ oba zmizí je racionální, ale protipříklad (an Enriques povrch ) byl nalezen uživatelem Federigo Enriques.

Příklady racionálních povrchů

• Bordiga povrchy: Osazení stupně 6 projektivní roviny do P⁴ definovaný kvartiky přes 10 bodů v obecné poloze.
• Povrchy Châtelet
• Dlážděné povrchy
• Kubické povrchy Nesingulární kubické povrchy jsou izomorfní s projektivní rovinou vyfouknutou v 6 bodech a jsou to povrchy Fano. Mezi jmenované příklady patří Fermat kubický, Cayley kubický povrch a Clebschův diagonální povrch.
• povrchy del Pezzo (Povrchy Fano)
• Enneper povrch
• Hirzebruchovy povrchy Σ_n
• P¹×P¹ Produktem dvou projektivních linií je Hirzebruchův povrch Σ₀. Je to jediný povrch se dvěma různými pravidly.
• The projektivní rovina
• Segre povrch Křižovatka dvou kvadriků, izomorfní s projektivní rovinou vyhozenou do vzduchu v 5 bodech.
• Steinerův povrch Povrch v P⁴ se singularitami, které jsou birační vůči projektivní rovině.
• Bílé povrchy, zobecnění Bordigových povrchů.
• Veronese povrch Vložení projektivní roviny do P⁵.

Viz také

• Seznam algebraických povrchů

Reference

• Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M .; Van de Ven, Antonius (2004), Kompaktní komplexní povrchy, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlín, ISBN  978-3-540-00832-3, PAN  2030225
• Beauville, Arnaud (1996), Složité algebraické povrchyStudentské texty London Mathematical Society, 34 (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-49510-3, PAN  1406314
• Zariski, Oscar (1958), „K Castelnuovovu kritériu racionality str_A = P₂ = 0 algebraického povrchu ", Illinois Journal of Mathematics, 2: 303–315, ISSN  0019-2082, PAN  0099990

externí odkazy

• Le Superficie Algebriche: Nástroj pro vizuální studium geografie (minimálních) složitých algebraických hladkých povrchů