Poincarého zbytek - Poincaré residue

v matematika, Poincarého zbytek je zobecnění, na několik složitých proměnných a komplexní potrubí teorie, zbytek na pólu z teorie komplexních funkcí. Je to jen jeden z mnoha možných rozšíření.

Vzhledem k nadpovrchu ${displaystyle Xsubset mathbb {P} ^ {n}}$ definované stupněm ${displaystyle d}$ polynomiální ${displaystyle F}$ a racionální ${displaystyle n}$ -formulář ${displaystyle omega}$ na ${displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ s pólem řádu ${displaystyle k> 0}$ na ${displaystyle X}$ , pak můžeme zkonstruovat třídu cohomologie ${displaystyle operatorname {Res} (omega) in H ^ {n-1} (X; mathbb {C})}$ . Li ${displaystyle n = 1}$ obnovíme klasickou konstrukci zbytků.

Historická konstrukce

Když Poincaré poprvé zavedl zbytky^[1] studoval dobové integrály formuláře

${displaystyle {underset {Gamma} {iint}} omega}$ pro ${displaystyle Gamma in H_ {2} (mathbb {P} ^ {2} -D)}$

kde ${displaystyle omega}$ byla racionální diferenciální forma s póly podél dělitele ${displaystyle D}$ . Dokázal provést redukci tohoto integrálu na integrál formy

${displaystyle int _ {gamma} {ext {Res}} (omega)}$ pro ${displaystyle gamma in H_ {1} (D)}$

kde ${displaystyle Gamma = T (gamma)}$ , odesílání ${displaystyle gamma}$ na hranici tělesa ${displaystyle varepsilon}$ -trubka kolem ${displaystyle gamma}$ na hladkém místě ${displaystyle D ^ {*}}$ dělitele. Li

${displaystyle omega = {frac {q (x, y) dxwedge dy} {p (x, y)}}}$

na afinním grafu, kde ${displaystyle p (x, y)}$ je nesnížitelný stupně ${displaystyle N}$ a ${displaystyle deg q (x, y) leq N-3}$ (takže na řádku v nekonečnu nejsou žádné póly^[2] ^{strana 150}). Poté dal vzorec pro výpočet tohoto zbytku jako

${displaystyle {ext {Res}} (omega) = {frac {qdx} {částečné f / částečné y}} = {frac {qdy} {částečné f / částečné x}}}$

které jsou oba cohomologous formy.

Konstrukce

Předběžná definice

Vzhledem k nastavení v úvodu, pojďme ${displaystyle A_ {k} ^ {p} (X)}$ být prostorem meromorfní ${displaystyle p}$ -formuje se ${displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ které mají póly řádu až ${displaystyle k}$ . Všimněte si, že standardní diferenciál ${displaystyle d}$ posílá

{displaystyle d: A_ {k-1} ^ {p-1} (X) o A_ {k} ^ {p} (X)}

Definovat

{displaystyle {mathcal {K}} _ {k} (X) = {frac {A_ {k} ^ {p} (X)} {dA_ {k-1} ^ {p-1} (X)}}}

jako racionální de-Rhamovy kohomologické skupiny. Tvoří filtraci

${displaystyle {mathcal {K}} _ {1} (X) podmnožina {mathcal {K}} _ {2} (X) podmnožina cdots podmnožina {mathcal {K}} _ {n} (X) = H ^ {n +1} (mathbb {P} ^ {n + 1} -X)}$

odpovídající Hodgeova filtrace.

Definice zbytku

Zvažte ${displaystyle (n-1)}$ -cyklus ${displaystyle gamma in H_ {n-1} (X; mathbb {C})}$ . Vezmeme tubu ${displaystyle T (gama)}$ kolem ${displaystyle gamma}$ (který je místně izomorfní s ${displaystyle gamma imes S ^ {1}}$ ), který leží v doplňku ${displaystyle X}$ . Protože se jedná o ${displaystyle n}$ -cyklus, můžeme integrovat racionální ${displaystyle n}$ -formulář ${displaystyle omega}$ a získejte číslo. Pokud to napíšeme jako

{displaystyle int _ {T (-)} omega: H_ {n-1} (X; mathbb {C}) o mathbb {C}}

pak dostaneme lineární transformaci na třídách homologie. Homologie / cohomology dualita znamená, že se jedná o třídu cohomology

{displaystyle operatorname {Res} (omega) in H ^ {n-1} (X; mathbb {C})}

kterému říkáme zbytek. Všimněte si, zda se omezujeme na případ ${displaystyle n = 1}$ , toto je jen standardní zbytek z komplexní analýzy (i když rozšiřujeme náš meromorfní ${displaystyle 1}$ -forma všem ${displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ . Tuto definici lze shrnout jako mapu

${displaystyle {ext {Res}}: H ^ {n + 1} (mathbb {P} ^ {n + 1} setminus X) o H ^ {n} (X)}$

Algoritmus pro výpočet této třídy

Existuje jednoduchá rekurzivní metoda výpočtu zbytků, která se redukuje na klasický případ ${displaystyle n = 1}$ . Připomeňme, že zbytek a ${displaystyle 1}$ -formulář

{displaystyle operatorname {Res} vlevo ({frac {dz} {z}} + aight) = 1}

Pokud vezmeme v úvahu graf obsahující ${displaystyle X}$ kde je mizejícím místem ${displaystyle w}$ , můžeme napsat meromorfní ${displaystyle n}$ -forma se zapnutým pólem ${displaystyle X}$ tak jako

{displaystyle {frac {dw} {w ^ {k}}} klín ho}

Pak to můžeme zapsat jako

{displaystyle {frac {1} {(k-1)}} vlevo ({frac {dho} {w ^ {k-1}}} + dleft ({frac {ho} {w ^ {k-1}}} hned) hned)}

To ukazuje, že dvě třídy cohomologie

{displaystyle left [{frac {dw} {w ^ {k}}} wedge ho ight] = left [{frac {dho} {(k-1) w ^ {k-1}}} ight]}

jsou rovny. Takto jsme snížili pořadí pólu, proto můžeme použít rekurzi k získání pólu řádu ${displaystyle 1}$ a definujte zbytek ${displaystyle omega}$ tak jako