Dimenze Kodaira - Kodaira dimension

v algebraická geometrie, Dimenze Kodaira κ(X) měří velikost kanonický model a projektivní rozmanitost  X.

Igor Šafarevič zavedl důležitou číselnou invariantu ploch s notací κ na semináři Shafarevich 1965. Shigeru Iitaka  (1970 ) rozšířil ji a definoval dimenzi Kodaira pro vícerozměrné odrůdy (pod názvem kanonické dimenze) a později ji pojmenoval podle Kunihiko Kodaira v Iitaka (1971).

Plurigenera

The kanonický svazek a hladký algebraická rozmanitost X dimenze n nad polem je svazek řádků z n-formuláře,

${ displaystyle , ! K_ {X} = bigwedge ^ {n} Omega _ {X} ^ {1},}$

který je nth vnější síla z kotangenský svazek z X.Pro celé číslo d, dtého tenzorového výkonu K._X je opět svazek řádků d ≥ 0, vektorový prostor globálních řezů H⁰(X,K._X^d) má pozoruhodnou vlastnost, že se jedná o a birational invariant hladkých projektivních odrůd X. To znamená, že tento vektorový prostor je kanonicky identifikován s odpovídajícím prostorem pro jakoukoli hladkou projektivní odrůdu, která je izomorfní X mimo nižší dimenzionální podmnožiny.

Pro d ≥ 0,dth plurigenus z X je definována jako rozměr vektorového prostoru globálních řezů K._X^d:

${ displaystyle P_ {d} = h ^ {0} (X, K_ {X} ^ {d}) = dim H ^ {0} (X, K_ {X} ^ {d}).}$

Plurigenera jsou důležité birational invarianty algebraické odrůdy. Zejména nejjednodušší způsob, jak dokázat, že odrůda není racionální (tj. Není biracní vůči projektivnímu prostoru), je ukázat, že určitý plurigenus P_d s d > 0 není nula. Pokud je prostor sekcí K._X^d je nenulová, pak existuje přirozená racionální mapa z X do projektivního prostoru

${ displaystyle mathbf {P} (H ^ {0} (X, K_ {X} ^ {d})) = mathbf {P} ^ {P_ {d} -1},}$

volal d-kanonická mapa. The kanonický prsten R(K._X) odrůdy X je odstupňovaný prsten

${ displaystyle R (K_ {X}): = bigoplus _ {d geq 0} H ^ {0} (X, K_ {X} ^ {d}).}$

Viz také geometrický rod a aritmetický rod.

The Dimenze Kodaira z X je definován jako ${ displaystyle - infty}$ pokud plurigenera P_d jsou nulové pro všechny d > 0; jinak je to minimální κ takové P_d/ d^κ je omezený. Kodaira dimenze n-dimenzionální odrůda je buď ${ displaystyle - infty}$ nebo celé číslo v rozsahu od 0 do n.

Výklady dimenze Kodaira

Následující celá čísla jsou si rovna, pokud jsou nezáporná. Dobrá reference je Lazarsfeld (2004) Věta 2.1.33.

• Pokud je kanonický kruh definitivně vygenerován, což platí v charakteristický nula a obecně předpokládaná: dimenze Stavba projektu ${ displaystyle operatorname {Proj} R (K_ {X})}$ (tato odrůda se nazývá kanonický model z X; záleží jen na třídě birational ekvivalence X).
• Rozměr obrazu d-kanonické mapování pro všechny kladné násobky d nějakého kladného celého čísla ${ displaystyle d_ {0}}$.
• The stupeň transcendence pole zlomku R, minus jedna, tj., ${ displaystyle t-1}$, kde t je počet algebraicky nezávislý generátory, které lze najít.
• Rychlost růstu plurigenera: to znamená nejmenší číslo κ takhle ${ displaystyle P_ {d} / d ^ { kappa}}$ je omezený. v Velká O notace, je minimální κ takhle ${ displaystyle P_ {d} = O (d ^ { kappa})}$.

Pokud je jedno z těchto čísel nedefinované nebo záporné, pak jsou všechna. V tomto případě se říká, že rozměr Kodaira je negativní nebo takový ${ displaystyle - infty}$. Některé historické odkazy definují, že je to -1, ale pak vzorec ${ displaystyle kappa (X krát Y) = kappa (X) + kappa (Y)}$ ne vždy platí, a prohlášení Iitaka domněnka se stává komplikovanějším. Například dimenze Kodaira z ${ displaystyle mathbf {P} ^ {1} krát X}$ je ${ displaystyle - infty}$ pro všechny odrůdyX.

aplikace

Dimenze Kodaira poskytuje užitečné hrubé rozdělení všech algebraických odrůd do několika tříd.

Odrůdy s nízkou dimenzí Kodaira lze považovat za speciální, zatímco o odrůdách s maximální dimenzí Kodaira se říká, že jsou obecný typ.

Geometricky existuje velmi hrubá korespondence mezi kótou Kodaira a zakřivením: záporná kóta Kodaira odpovídá pozitivnímu zakřivení, nulová kóta Kodaira odpovídá plochosti a maximální kóta Kodaira (obecný typ) odpovídá negativnímu zakřivení.

Zvláštnost odrůd s nízkou dimenzí Kodaira je analogická se zvláštností Riemannovských variet pozitivního zakřivení (a obecný typ odpovídá obecnosti pozitivního zakřivení); vidět klasické věty, zejména na Sevřené řezové zakřivení a Pozitivní zakřivení.

Níže jsou uvedena přesnější prohlášení.

Rozměr 1

Hladké projektivní křivky jsou diskrétně klasifikovány podle rod, který může být libovolný přirozené číslo G = 0, 1, ....

Zde „diskrétně klasifikovaný“ znamená, že pro daný rod existuje neredukovatelný moduli prostor křivek tohoto rodu.

Kodaira rozměr křivky X je:

• κ = ${ displaystyle - infty}$: rod 0 ( projektivní linie P¹): K._X není efektivní, P_d = 0 pro všechny d> 0.
• κ = 0: rod 1 (eliptické křivky ): K._X je triviální svazek, P_d = 1 pro všechny d ≥ 0.
• κ = 1: rod G ≥ 2: K._X je dostatek, P_d = (2d − 1)(G - 1) pro všechnyd ≥ 2.

Porovnejte s Věta o uniformizaci pro povrchy (skutečné povrchy, protože složitá křivka má skutečnou dimenzi 2): kóta Kodaira ${ displaystyle - infty}$ odpovídá kladnému zakřivení, kóta Kodaira 0 odpovídá plochosti, kóta Kodaira 1 odpovídá zápornému zakřivení. Všimněte si, že většina algebraických křivek je obecného typu: v prostoru modulů křivek odpovídají dvě spojené komponenty křivkám, které nejsou obecného typu, zatímco všechny ostatní komponenty odpovídají křivkám obecného typu. Dále je prostor křivek rodu 0 bodem, prostor křivek rodu 1 má (komplexní) dimenzi 1 a prostor křivek rodu G ≥ 2 má rozměr 3G − 3.

klasifikační tabulka algebraických křivek
Dimenze Kodaira 　κ(C)
	rod z C : G(C)	struktura
${ displaystyle 1}$	${ displaystyle geq 2}$	křivka obecný typ
${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 1}$	eliptická křivka
${ displaystyle - infty}$	${ displaystyle 0}$	the projektivní linie ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$

Rozměr 2

The Klasifikace Enriques – Kodaira klasifikuje algebraické povrchy: hrubě podle dimenze Kodaira, poté podrobněji v rámci dané dimenze Kodaira. Uvedu několik jednoduchých příkladů: produkt P¹ × X má rozměr Kodaira ${ displaystyle - infty}$ pro jakoukoli křivku X; součin dvou křivek rodu 1 (abelianský povrch) má rozměr Kodaira 0; produkt křivky rodu 1 s křivkou rodu alespoň 2 (eliptický povrch) má Kodaira rozměr 1; a produkt dvou křivek rodu alespoň 2 má Kodaira dimenzi 2, a proto je obecný typ.

klasifikační tabulka algebraických povrchů
Dimenze Kodaira 　κ(C)
	geometrický rod pG	nesrovnalost q	struktura
${ displaystyle 2}$			povrch obecného typu
${ displaystyle 1}$			eliptický povrch
${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 2}$	abelian povrch
	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 1}$	hyperelliptický povrch
	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 0}$	Povrch K3
	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	Enriques povrch
${ displaystyle - infty}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle geq 1}$	ovládaný povrch
	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	racionální povrch

Pro povrch X obecného typu, obraz d-kanonická mapa je birational k X -lid ≥ 5.

Libovolná dimenze

Racionální odrůdy (odrůdy birational do projektivního prostoru) mají Kodaira rozměr ${ displaystyle - infty}$. Abelianské odrůdy (kompaktní komplexní tori které jsou projektivní) mají kótu Kodaira nulovou. Obecněji, Rozdělovače Calabi – Yau (v dimenzi 1, eliptické křivky; v dimenzi 2, abelianské povrchy, K3 povrchy a kvocienty těchto odrůd podle konečných skupin) mají Kodaira dimenzi nula (odpovídá přijetí Ricciho ploché metriky).

Jakákoli odrůda s charakteristickou nulou, na kterou se vztahuje racionální křivky (nekonstantní mapy z P¹), nazvaný a neřízený odrůda, má rozměr Kodaira −∞. Naopak hlavní dohady teorie minimálního modelu (zejména dohad o hojnosti) by znamenal, že každá paleta kóty Kodaira −∞ je nezvládnutá. Tato konverzace je známá pro odrůdy dimenze maximálně 3.

Siu (2002) prokázal invariance plurigenera pod deformacemi u všech hladkých komplexních projektivních odrůd. Dimenze Kodaira se zejména nemění, když se neustále mění složitá struktura potrubí.

klasifikační tabulka algebraických trojnásobků
Dimenze Kodaira 　κ(C)
	geometrický rod 　pG	nesrovnalost q	příklady
${ displaystyle 3}$			trojnásobek obecný typ
${ displaystyle 2}$			fibrace na povrchu obecným vláknem a eliptická křivka
${ displaystyle 1}$			fibrace přes křivku s obecným vláknem povrch s κ = 0
${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 3}$	abelianská odrůda
	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 2}$	svazek vláken přes abelianský povrch, jehož vlákna jsou eliptické křivky
	${ displaystyle 0}$ nebo ${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	svazek vláken přes eliptickou křivku, jejíž vlákna jsou povrchy κ = 0
	${ displaystyle 0}$ nebo ${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 0}$	Calabi – Yau 3krát
${ displaystyle - infty}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle geq 1}$	neřízený 3krát
	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	Racionální 3krát Fano 3krát a další

A fibrace normálních projektivních odrůd X → Y znamená surjektivní morfismus se spojenými vlákny.

Za trojnásobek X obecného typu, obraz d-kanonická mapa je birational k X -li d ≥ 61.^[1]

Obecný typ

Různé obecný typ X je jedním z maximálních rozměrů Kodaira (rozměr Kodaira rovný jeho rozměru):

${ displaystyle kappa (X) = dim X.}$

Rovnocenné podmínky jsou, že linka svazku ${ displaystyle K_ {X}}$ je velký, nebo že d-kanonická mapa je obecně injektivní (tj. birační mapa k jejímu obrazu) pro d dostatečně velký.

Například odrůda s dostatek kanonický svazek je obecného typu.

V určitém smyslu je většina algebraických odrůd obecného typu. Například hladký nadpovrch stupně d v n-dimenzionální projektivní prostor je obecného typu právě tehdy ${ displaystyle d> n + 1}$. V tomto smyslu je většina hladkých povrchů v projektivním prostoru obecného typu.

Odrůdy obecného typu se zdají příliš komplikované na to, aby je bylo možné explicitně klasifikovat, dokonce i pro povrchy. U odrůd obecného typu však existují určité silné pozitivní výsledky. Například, Enrico Bombieri v roce 1973 ukázal, že d-kanonická mapa libovolného komplexního povrchu obecného typu je pro každého birational ${ displaystyle d geq 5}$. Obecněji, Christopher Hacon a James McKernan, Shigeharu Takayama a Hajime Tsuji v roce 2006 ukázali, že pro každé kladné celé číslo n, existuje konstanta ${ displaystyle c (n)}$ takové, že d-kanonická mapa libovolného komplexu n-rozměrná paleta obecného typu je birational když ${ displaystyle d geq c (n)}$.

Skupina birational automorphism různých obecných typů je konečná.

Aplikace na klasifikaci

Nechat X být paleta nezáporné dimenze Kodaira nad polem charakteristické nuly a nechat B být kanonickým modelem X, B = Proj R(X, K._X); rozměr B se rovná dimenzi Kodaira z X. Existuje přirozená racionální mapa X – → B; jakýkoli morfismus z něj získaný vyhodit do vzduchu X a B se nazývá Fibrace Iitaka. The minimální model a domněnky hojnosti by naznačovaly, že obecné vlákno Iitakovy fibrace může být uspořádáno jako a Calabi – Yau odrůda, která má zejména rozměr Kodaira nula. Kromě toho existuje efektivní Q-rozdělovač Δ zapnutý B (není jedinečný) takový, že pár (B, Δ) je klt, K._B + Δ je dostatek a kanonický kruh X je stejný jako kanonický kruh (B, Δ) ve stupních několikanásobně d > 0.^[2] V tomto smyslu, X je rozložen na rodinu odrůd Kodaira dimenze nula na základně (B, Δ) obecného typu. (Všimněte si, že odrůda B samo o sobě nemusí být obecného typu. Například existují povrchy Kodaira dimenze 1, pro které je Iitakaova fibrace eliptická P¹.)

Vzhledem ke zmíněným dohadům by se klasifikace algebraických odrůd do značné míry snížila na případy dimenze Kodaira ${ displaystyle - infty}$, 0 a obecný typ. Pro rozměr Kodaira ${ displaystyle - infty}$ a 0, existují některé přístupy ke klasifikaci. Minimální domněnky modelu a hojnosti by naznačovaly, že každá paleta dimenze Kodaira ${ displaystyle - infty}$ je neřízený, a je známo, že každá neřízená odrůda v charakteristické nule je birational k a Prostor Fano vláken. Minimální domněnky o modelu a hojnosti by naznačovaly, že každá odrůda Kodaira dimenze 0 je birational k odrůdě Calabi-Yau s terminální singularity.

Iitaka dohad říká, že Kodaira rozměr fibrace je alespoň součet Kodaira dimenze základny a Kodaira dimenze obecného vlákna; vidět Mori (1987) pro průzkum. Iitaka dohad pomohl inspirovat vývoj teorie minimálního modelu v 70. a 80. letech. Nyní je známo v mnoha případech a bude následovat obecně z dohadů o minimálním modelu a hojnosti.

Vztah k Moishezonovi

Nakamura a Ueno prokázali následující vzorec aditivity pro komplexní potrubí (Ueno (1975) ). Ačkoli základní prostor nemusí být algebraický, předpoklad, že všechna vlákna jsou izomorfní, je velmi zvláštní. I s tímto předpokladem může vzorec selhat, pokud vlákno není Moishezon.

Nechť π: V → W je svazek analytických vláken kompaktních komplexních potrubí, což znamená, že π je lokálně produkt (a tak jsou všechna vlákna izomorfní jako komplexní potrubí). Předpokládejme, že vlákno F je a Moishezon potrubí. Pak

${ displaystyle kappa (V) = kappa (F) + kappa (W).}$

Poznámky

Reference

• Chen, Jungkai A .; Chen, Meng (2014), „Explicit birational geometry of 3-folds and 4-folds of general type, III“, Compositio Mathematica, 151 (6): 1041–1082, arXiv:1302.0374, Bibcode:2013arXiv1302.0374M, doi:10.1112 / S0010437X14007817
• Dolgachev, Igor (2001) [1994], „Rozměr Kodaira“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Fujino, Osamu; Mori, Shigefumi (2000), "Kanonický vzorec svazku", Journal of Differential Geometry, 56 (1): 167–188, doi:10,4310 / jdg / 1090347529, PAN  1863025
• Iitaka, Shigeru (1970), „O dimenzích D algebraických odrůd“, Proc. Japan Acad., 46 (6): 487–489, doi:10,3792 / pja / 1195520260, PAN  0285532
• Iitaka, Shigeru (1971), „On D-Dimensions of Algebraic variety.“, J. Math. Soc. Japonsko, 23 (2): 356–373, doi:10.2969 / jmsj / 02320356, PAN  0285531
• Lazarsfeld, Robert (2004), Pozitivita v algebraické geometrii, 1, Berlín: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN  978-3-540-22533-1, PAN  2095471
• Mori, Shigefumi (1987), „Klasifikace odrůd vyšších rozměrů“, Algebraická geometrie (Bowdoin, 1985), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 46, Part 1, American Mathematical Society, str. 269–331, PAN  0927961
• Šafarevič, Igor R.; Averbuh, B. G .; Vaĭnberg, Ju. R .; Zhizhchenko, A. B .; Manin, Yuri I.; Moĭshezon, Boris G.; Tjurina, G. N .; Tjurin, A. N. (1965), "Algebraické povrchy", Akademiya Nauk SSSR. Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 75: 1–215, ISSN  0371-9685, PAN  0190143, Zbl  0154.21001
• Siu, Yum-Tong (2002), „Rozšíření zkroucených plurikónických řezů s plurisubharmonickou hmotností a invariantností semipozitivně zkroucených plurigener pro různá potrubí, která nemusí být nutně obecného typu“, Složitá geometrie (Gottingen, 2000), Berlín: Springer-Verlag, str. 223–277, PAN  1922108
• Ueno, Kenji (1975), Teorie klasifikace algebraických variet a kompaktních komplexních prostorůPřednášky z matematiky, 439, Springer-Verlag, PAN  0506253